线性代数第四次作业

向量的线性关系填空题1．向量α=（1，3，5，7），β=（a,b,5,7），若α=β，则a=1,b=3.2．已知向量1=（1，2，3），2=（3，2，1），则31+22=（9，10，11），1-2=（-2，0，2）．3．设向量组321,,线性无关，则向量组1，1+2，1+2+3线性无关．4．设向量321,,aaa线性无关，则3212,,aaa线性无关。5．设向量321,,aaa线性无关，则向量0,,,321aaa线性无关．6.4321,,,是3维向量组,则4321,,,线性相关.7．零向量是线性相关的，非零向量α是线性无关的.线性关系部分证明题（注：下面的题目中只需选做3道题即可）1证明：如果向量组,,线性无关，则向量组,,亦线性无关．证明：设有一组数321,,kkk，使0)()()(321kkk成立，整理得0)()()(322131kkkkkk由于,,线性无关，所以000322131kkkkkk因为其系数行列式02110011101，所以方程组只有零解，即0321kkk．向量组,,线性无关得证．2．设向量β可由向量α1，α2，…，αr线性表示，但不能由α1，α2，…，αr-1线性表示，问向量组α1，α2，…，αr-1，αr与向量组α1，α2，…，αr-1，β是否等价？为什么？答案：等价。因为β可由α1，α2，…，αr线性表示，所以有λ1，λ2，…，λr，使β=λ1α1+λ2α2+…+λrαr，λr≠0①又α1=α1，…，αr-1=αr-1，故向量组α1，α2，…，αr-1，β可由向量α1，α2，…，αr线性表示。由式①有,1112211rrrrrrr即α1，α2，…，αr也可由向量组α1，α2，…，αr-1，β线性表示，故两向量组等价。3．设α1，α2是某个齐次线性方程组的基础解系，问α1+α2，2α1－α2是否也可构成该方程组的基础解系？4．已知)2,5,3(),0,2,2(),1,0,1(321，判定此向量组是线性相关还是线性无关。5．设1=（1，1，2）T，2=（1，2，3）T，3=（1，3，t）T请问当t为何值时，1，2，3线性相关？并将3用1，2线性表示．6,设s,,,21线性无关，而,,,,21s线性相关，则能由s,,,21线性表示，且表示法惟一。答案：因,,,,21s线性相关，故有kkkks,,,,21不全为零，使2211kk.0kkss要证可由s,,,21线性表示，只要证明0k，假设k=0，则skkk,,,21不全为零，且有2211kk.0ssk故s,,,21线性相关，矛盾，所以0k。设有个表示式ss2211ss2211两式相减得0)()()(222111sss因s,,,21线性无关，所以0ii，即).,2,1(siii所以表示法惟一。