线性代数课件41

第四章选择节次第一节向量的内积一、内积的定义及性质二、向量的长度及性质三、正交向量组的概念及求法四、正交矩阵与正交变换第四章选择节次定义4.11122,,nnxyxyxy设n维向量称[,]=a1b1+a2b2+…+anbn=1niiiab为向量和的内积.一、内积的定义及性质第四章选择节次向量的内积是一种运算,其结果是一个实数,如果把向量看成列矩阵的形式,那么向量的内积可表示为矩阵的乘法：[,]=T=121234,,,.nbbaaabb第四章选择节次说明1维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．4nn[].,:,,,2yxyxyxT为内积可用矩阵记号表示向量都是列如果内积是向量的一种运算第四章选择节次第四章性质4.1向量的内积具有如下性质(其中,,为n维向量,k为实数)：(1)[,]=[,];(2)[+,]=[,]+[,];(3)[k,]=k[,];(4)[,]≥0,当且仅当向量=0时,等号成立.第四章选择节次二、向量的长度及性质定义4.2设n维向量=12naaa，[],22212=naaa称||||=为n维向量的长度(范数).第四章选择节次性质4.2向量长度具有如下性质(其中,,为n维向量,k为实数)：(1)非负性:||||≥0,当且仅当向量=0时,等号成立;(2)齐次性:||k||=|k|||||;(3)柯西-不涅柯夫斯基不等式|[,]|≤||||·||||;(4)三角不等式:||+||≤||||+||||.第四章选择节次1、长度为1的向量,即||||=1,称为单位向量.注意2、分量全为1的向量不一定是单位向量，11.1如=3、对于任何向量≠0,显然为一个单位向量.1||||第四章选择节次定义4.3设有两个非零的n维向量,,即||||≠0,称=arccos[],||||||||为n维向量与的夹角,其中0≤≤.||||≠0,第四章选择节次例1已知向量=(1,1,0)T,=(1,0,1)T,求1)、与的内积;2)、将单位化;3)、求出与的夹角.解[,]=1×1+1×0+0×1=1,1||||221+12222,20===[],||||||||12.3=arccos=arccos=第四章选择节次例2求[([,]-[,]),3].解[([,]-[,]),3]=3[,][,]-[,][,]={3[,]-[,]}[,]=2[,][,]第四章选择节次例3,,是n维实向量(n1),试判断下列算式有无意义:1)、[,]+[,][,];2)、3-[[,],].解在1)中,由向量的内积定义知[,]表示一个数,因此[,]是一个向量,而[,]及[,]都是数,故[,][,]也是数.于是1)式的实际含义为一个向量加一个数,显然没有意义.第四章选择节次例3,,是n维实向量(n1),试判断下列算式有无意义:1)、[,]+[,][,];2)、3-[[,],].解在2)中,[,]是数,[,]表示[,]与的数乘,[[,],]表示[,]与的内积,事实上[[,],]=[,][,],因此2)式的实际含义为第二项是一个数,而第一项3是一个向量,向量与数相减无意义.第四章选择节次定义4.4若[,]=0,则称向量与正交,记为⊥三、正交向量组的概念及求法定义4.5若n维向量组中的向量均为非零向量,且两两正交,则称此向量组为正交向量组.定理4.1正交向量组必线性无关.证明设n维向量组1,2,…,r是一个正交向量组,即i≠0(i=1,2,…,r),且[i,j]=iTj=0(i,j=1,2,…,i≠j)第四章选择节次[i,j]=iTj=0(i,j=1,2,…,i≠j)设有数1,2,…,r,使1a1+2a2+…+rar=0,用iT左乘上式两端,得i[iTi]=0(i=1,2,…,r),因为iTi≠0,故必有i=0(i=1,2,…,r),故向量组1,2,…,r线性无关.第四章选择节次定义4.6设向量组1,2,…,r为正交向量组,且其定义4.7中每个向量都是单位向量,则称该向量组为规范正交向量组.设VRn是一个向量空间1)若正交的向量组1,2,…,r是向量空间V的一个基,则称1,2,…,r是向量空间V的一个正交基.2)若e1,e2,…,er是向量空间V的一个正交基,且都是单位向量,则称e1,e2,…,er是向量空间V的一个规范正交基(标准正交基).第四章选择节次例如e1=121,200e2=121,200e3=001,212e4=001.212故e1,e2,e3,e4是向量空间R4的一个规范正交基..4,3,2,1,,1],[.4,3,2,1,,0],[jijieejijieejiji且且由于第四章选择节次如果e1,e2,…,er是向量空间V的一个规范正交基,那么V中任一向量a都能由e1,e2,…,er线性表示,即存在1,2,…,r使得a=1e1+2e2+…+rer,即i=eiTa=[a,ei]为确定上式中的系数i(i=1,2,…,r),可用eiT左乘上式,有eiTa=ieiTei=i第四章选择节次求规范正交基的方法对于任意一组基,通过一定的方法,可以得到与该基等价的正交基,再进一步单位化,可得到一个等价的规范正交基。上述方法称为斯密特(Schmidt)正交规范化,具体步骤如下:设1,2,…,r是向量空间V的一个基1)正交化:令1=1,2=2-1,3=3-1-2,[][]3111,,[][]3222,,…r=r-1-2-…-r-1.[][]111,,r[][]222,,r[][]111,,rrrr第四章选择节次2)单位化:到一个与该正交基等价的规范正交基e1,e2,…,er,将正交基中的向量1,2,…,r单位化,便可得即e1=1,e2=2,e3=3,…,er=r.11||||21||||31||||1||||r第四章选择节次例4设向量1=(1,1,1)T,2=(1,2,2)T,3=(1,3,4)T,试用施密特正交规范化的方法，把它们化为规范正交向量组.解第一步:正交化,令1=1,2=2-1=-=,[][]2111,,12215131-211313=3-1-2=--=,[][]3111,,[][]3222,,134181312516101-121第四章选择节次解第二步:单位化,即得到所求规范正交向量组e1=1=,e2=2=,11||||1313121||||-2616131||||02-1.21e3=3=第四章选择节次2,3两两正交.解方法一:例5已知1=(1,1,1)T,求一组非零向量2,3,使1,因为1,2,3两两正交,所以2,3应满足线性方程1Tx=0,即x1+x2+x3=0,该方程的基础解系为：1=,2=.-110-101把基础解系正交化,即为所求.亦即取第四章选择节次把基础解系正交化,即为所求.亦即取2=1,3=2-1,[][]1211,,其中[1,2]=1,[1,1]=2,于是可得2=,3=-=-110-101-1112011-1.2-2方法二:因为1,2,3两两正交,所以2,3应满足线性第四章选择节次1Tx=0,即x1+x2+x3=0,任取该线性方程的一个非零解:2=-11.0显然3应满足方程1Tx=0以及2Tx=0,即必然满足下列线性方程组120,TTx取上述线性方程组的一个解3=1-21.21第四章选择节次定义4.8如果n阶方阵A满足ATA=E,则称A为正交矩阵.四、正交矩阵与正交变换性质4.3正交矩阵具有如下性质:1)若A是正交矩阵,则A也是可逆矩阵,且AT=A-1.2)两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵.3)A是正交矩阵的充分必要条件是A的列(行)向量组是单位正交向量组.证明我们只证明结论3)第四章选择节次设A用列向量组的形式来表示为A=(a1,a2,…,an),由正交矩阵的定义可得ATA===1212,,,TTnTnaaaaaa111212122212TTTnTTTnTTTnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa=E,100010001即A的n个列向量满足aiTaj=ij=(i,j=1,2,…,n),1,0,ijij第四章选择节次即列向量组为单位正交向量组.同理由ATA=AAT=E可证明A的行向量组也是单位正交向量组.解因为P的每个列(行)向量都两两正交,且都是单例6验证矩阵P=是正交矩阵.1111--22221111--2222110022110022位向量,所以矩阵P是正交矩阵.第四章选择节次定义4.9若P是正交矩阵,则称线性变换Y=PX为正交变换.正交变换保持向量的长度和内积不变.设Y=PX为正交变换,且Y1=PX1,Y2=PX2,则||Y1||====||X1||,11TYY11TTXPPX11TXX[Y1,Y2]=Y1TY2=X1TPTPX2=X1TEX2=X1TX2=[X1,X2].第四章选择节次•课堂练习与习题