线性代数课件第5章特征值和特征向量_矩阵的对角化

第5章特征值和特征向量、矩阵的对角化第5章特征值和特征向量、矩阵的对角化矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵可对角化的条件实对称矩阵的对角化5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量定义：设A为复数C上的n阶矩阵，如果存在数λ∈C和非零的n维向量x，使得Ax=λx，就称λ是矩阵A的特征值，x是A的属于（或对应于）特征值λ的特征向量。注意：1)特征向量x≠0；2)特征值问题是对方阵而言的，本章的矩阵如不加说明，都是方阵。5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量根据定义，n阶矩阵A的特征值，就是使齐次线性方程组(λI－A)x=0有非零解的λ值，即满足方程det(λI－A)=0的λ都是矩阵A的特征值。因此，特征值是λ的多项式det(λI－A)的根。5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量定义：设n阶矩阵A=(aij)，则：称为矩阵A的特征多项式，λI－A称为A的特征矩阵，det(λI－A)=0称为A的特征方程。111212122212detInnnnnnaaaaaafaaaA5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量显然，n阶矩阵A的特征多项式是λ的n次多项式。特征多项式的k重根也称为k重特征值。当n≥5时，特征多项式没有一般的求根公式，即使是三阶矩阵的特征多项式，一般也难以求根，所以求矩阵的特征值一般要采用近似计算的方法，它是计算方法课中的一个专题。5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量举例例1：求矩阵的特征值和特征向量。511311421A5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量举例解：矩阵A的特征方程为该特征矩阵的行列式的每行之和均为λ-3，将各列加到第1列，并将第1行乘-1加到第2、3行得：511detI3110421A5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量举例故A的特征值为λ1＝3，λ2＝2（二重特征值）。2111detI3020320012A5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量举例当λ1＝3时，由(λ1I－A)x=0，即：得其基础解系为x1=(1,1,1)T，因此，k1x1（k1为非零任意常数）是A的对应于λ1＝3的全部特征向量。123211032104220xxx5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量举例当λ2＝2时，由(λ2I－A)x=0，即：得其基础解系为x2=(1,1,2)T，因此，k2x2（k2为非零任意常数）是A的对应于λ2＝2的全部特征向量。123311031104210xxx5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量举例例2：主对角元为a11,a22,…,ann的对角矩阵A或上（下）三角矩阵B的特征多项式是：|λI－A|=|λI－B|=(λ－a11)(λ－a22)…(λ－ann)故A，B的n个特征值就是n个主对角元。5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质定理：若x1和x2都是A的属于特征值λ0的特征向量，则k1x1+k2x2也是A的属于λ0的特征向量（其中k1，k2是任意常数，但k1x1+k2x2≠0）。证：由于x1，x2是齐次线性方程组(λ0I－A)x=0的解，因此k1x1+k2x2也是上式的解，故当k1x1+k2x2≠0时，是A的属于λ0的特征向量。5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质在(λ0I－A)x=0的解空间中，除零向量以外的全体解向量就是A的属于特征值λ的全体特征向量，因此(λI－A)x=0的解空间也称为矩阵A关于特征值λ的特征子空间，记作Vλ。n阶矩阵A的特征子空间是n维向量空间的子空间，它的维数为：dimVλ=n－r(λI－A)5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质需要注意的是，n阶矩阵的特征值可能是复数，所以特征子空间一般是n维复向量空间Cn（见附录）的子空间。例1中矩阵A的两个特征子空间为：12TTV|1,1,1,CV|1,1,2,Ckkkkxxxx5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质定理：设n阶矩阵A=(aij)的n个特征值为λ1,λ2,…,λn，则：证明过程见课本用*标注的部分。11111)2)det()nniiiiiniiniiiaaAAAAtr其中是的主角元之和，矩阵的，作。对称为迹记5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质由前面定理的第2项可知：当detA≠0（即A为可逆矩阵）时，其特征值全为非零数；反之，奇异矩阵A至少有一个零特征值。5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的。一个特征向量不能属于不同的特征值，这是因为，如果x同时是A的属于特征值λ1,λ2(λ1≠λ2)的特征向量，即有：Ax=λ1x且Ax=λ2x则：λ1x=λ2x即(λ1-λ2)x=0。由于λ1-λ2≠0，则x=0，这与x≠0矛盾。矩阵的特征值和特征向量还有以下性质：5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质性质1：若λ是矩阵A的特征值，x是A的属于λ的特征向量，则：1)kλ是kA的特征值（k是任意常数）2)λm是Am的特征值（m是正整数）3)当A可逆时，λ-1是A-1的特征值且x仍是矩阵kA,Am,A-1的分别对应于特征值kλ,λm,1/λ的特征向量。5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质证：1）省略。2）由已知条件Ax=λx，可得：A(Ax)=A(λx)=λ(Ax)=λ(λx)即A2x=λ2x再继续施行上述步骤m-2次，就得：Amx=λmx故λm是矩阵Am的特征值，且x也是Am对应于λm的特征向量。5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质3)当A可逆时，λ≠0，由Ax=λx可得：A-1(Ax)=A-1(λx)=λA-1x因此A-1x=λ-1x故λ-1是A-1的特征值，且x也是A-1对应于λ-1的特征向量。5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质性质2：矩阵A和AT的特征值相同。5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质证：因为(λI-A)T=(λI)T-AT=λI-AT，所以det(λI-A)=det(λI-AT)因此，A和AT有完全相同的特征值。5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质例3：设1）求A的特征值和特征向量；2）求可逆矩阵P，使P-1AP为对角阵。111222111A5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质解：1）A的特征值为λ1=λ2=0（二重特征值）和λ3=-2。21111012222211111101221332303IA5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质当λ1=0时，由(λ1I-A)x=0，即Ax=0得基础解系x1=(1,1,0)T和x2=(-1,0,1)T故A对应于λ1=0的全体特征向量为k1x1+k2x2=k1(1,1,0)T+k2(-1,0,1)T其中k1,k2为不全为零的任意常数。5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质当λ3=-2时，由(λ3I-A)x=0，即：得基础解系为x3=(-1,-2,1)T，A对应于λ3=-2的全体特征向量为k3x3=k3(-1,-2,1)Tk3为非零任意常数。123311020201110xxx5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质2）将Axi=λixi(i=1,2,3)排成矩阵等式取AP=PΛ，且|P|=2≠0，因此就得P-1AP=Λ为对角阵。11231232312300,,,,00001110,,102,00112xxxxxxxxxAPΛ取5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质定义：对于矩阵A和B，若存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，就称A相似于B，记作A～B。5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质矩阵的相似关系也是一种等价关系，即也有以下三条性质。1）反身性：A～A2）对称性：若A～B，则B～A3）传递性：若A～B，B～C，则A～C证明略。5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质相似矩阵有以下性质：1）P-1(k1A1+k2A2)P=k1P-1A1P+k2P-1A2P（其中k1,k2是任意常数）2）P-1(A1A2)P=(P-1A1P)(P-1A2P)3）若A～B，则Am～Bm（m为正整数）5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质证：因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使P-1AP=B于是Bm=(P-1AP)(P-1AP)…(P-1AP)=P-1AmP故Am～Bm5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质定理：相似矩阵的特征值相同。5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质证：只需证明相似矩阵有相同的特征多项式。设A～B，则存在可逆矩阵P，使得：P-1AP=B于是|λI-B|=|λI-P-1AP|=|P-1(λI-A)P|=|P-1||λI-A||P|=|λI-A|5.1矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质必须注意，该定理的逆命题不成立，例如：都以1为二重特征值，但对于任何可逆矩阵P，都有P-1IP=I≠A，故A和I不相似。10011101IA5.2矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件所谓矩阵可对角化指的是，矩阵与对角阵相似。本节讨论矩阵可对角化的条件。其主要结论是：矩阵可对角化的充分必要条件是n阶矩阵有n个线性无关的特征向量，或矩阵的每个特征值的（代数）重数等于对应特征子空间的（几何）维数。今后我们常将主对角元为a1,a2,…,an的对角阵记作diag(a1,a2,…,an)，或记作Λ。5.2矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件从5.1节例3可见，当三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量x1,x2,x3时，取P=(x1,x2,x3)就有：P-1AP=diag(λ1,λ2,λ3)其中λ1,λ2,λ3分别是特征向量x1,x2,x3所对应的特征值，这表明，三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量是A与对角阵相似的充分条件。事实上它也是必要条件。下面给出一般结论。5.2矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件定理：n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。5.2矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件证：必要性：设即：AP=PΛ将P矩阵按列分块，表示成P=(x1,x2,…,xn)则：112(,,,)ndiagPAPΛ记作121212(,,,)(,,,)nnnAxxxxxx5.2矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件即：(Ax1,Ax2,…,Axn)=(λ1x1,λ2x2,…,λnxn)于是：Axi=λixi(i=1,2,…,n)故x1,x2,…,xn是A分别对应于特征值λ1,λ2,…,λn的特征向量。由于P可逆，所以它们是线性无关的，必要性得证。上述步骤显然可逆，所以充分性也成立。5.1节例1中的A只存在两个线性无关的特征向量，所以不可对角化。5.2矩阵可对角化的条