线性方程组-练习

1．设向量组123,,线性无关，向量1可由123,,线性表示，而向量2不能由123,,线性表示，则对于任意常数k,必有（）A(A)12312,,,k线性无关；（B）12312,,,k线性相关;(C)12312,,,k线性无关；(D)12312,,,k线性相关2．n维向量组)1(,,,21nss线性无关的充要条件是（D）(A)存在一组不全为零的skkk,,21,使得02211sskkk(B)s,,21中的任何两个向量都线性无关(C)s,,21中存在一个向量，它不能被其余向量线性表示(D)s,,21中的任何一个向量都不能被其余向量线性表示3.（1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同；（2）若向量组}{21r，，，线性无关，1r可由r,21,线性表出，则向量组}{121r，，，也线性无关；（3）设}{21r，，，线性无关，则}{121r，，，也线性无关；（4）}{21r，，，线性相关，则r一定可由121,r，线性表出；以上说法正确的有（A）个。A.1个B.2个C．3个D.4个4．向量组A:12,,,n与B:12,,,m等价的充要条件为（C）.A.()()RARB；B.()RAn且()RBm；C．()()(,)RARBRAB；D.mn5．讨论a，b取什么值时，下面方程组有解，对有解的情形，求出一般解。1234123423412341322235433xxxxxxxxaxxxxxxxb。答案：a＝0，b＝2有解；其他无解。(-2,3,0,0)’+k1(1,-2,1,0)’+k2(1,-2,0,1)’6．试就k的取值情况讨论以下线性方程组的解,并在有无穷的解时求出通解:251823532321321xxkkxxxxxkx1）k不为0且不等于2时，有唯一解。2）k＝0或k＝2时，无解7．已知1(1,0,2,3)，2(1,1,3,5)，3(1,1,2,1)a，4(1,2,4,8)a，(1,1,3,5)b.（1）,ab为何值时，不能表示成1234,,,的线性组合？（2）,ab为何值时，能由1234,,,惟一线性表示？并写出表示式。答案：1)a=-1,b不为02)a不等于－1，b为任意常数；2(,1,,0)111bbbaaa8．设nmA为矩阵，下面结论正确的是（D）(A)若0Ax仅有零解，则bAx有唯一解(B)若0Ax有非零解，则bAx有无穷多解(C)若bAx有无穷多解，则0Ax仅有零解(D)若bAx有无穷多解，则0Ax有非零解9．已知12,是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解，12,是0Ax的基础解系，12,kk为任意常数，则方程组Axb的通解必是（B）（A）1211212();2kk（B）1211212();2kk(C)1211212();2kk(D)1211212().2kk10．设线性方程组(Ⅰ)的导出组(Ⅱ)必有下面(A)(A)当(Ⅰ)只有唯一解,则(Ⅱ)只有零解(B)(Ⅰ)有解的充分必要是(Ⅱ)有解(C)(Ⅰ)有非零解,则(Ⅱ)有无穷多解(D)(Ⅱ)有非零解,则(Ⅰ)有无穷多解11．记4阶矩阵A=12341234(,,,),,,,为A的列向量，其中123,,线性无关，4122.若1234254，求线性方程组AX的通解.答案：(1，－2，5，4）’＋k(1,-2,0,-1),k为任意常数。12．若方程组123121123231120xtxx无解，则_____.t若此方程组有唯一解，则_____.t答案：t＝－3；t不等于－313．设*是非齐次线性方程组AXb的一个解，,,,12nr是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）*，,,,12nr线性无关；（2）*，***1,,,2nr线性无关；(3)非齐次线性方程组AXb的任一个解可表示为*1122xkkkknrnr（其中1=*1，，*nrnr且112kkkknr）。