线性规划常见题型及解法

线性规划常见题型及解法四川省武胜飞龙中学校梁洪斌郑秋华（638402）线性规划是新教材中新增的内容之一，也是高考的必考内容之一，同时也是同学们的易错题之一。本文拟就线性规划在高考中的常见题型及解法做一归纳以帮助同学们掌握其解法。一、求线性约束条件所表示的区域。例1、若x、y满足约束条件101210yyx，则其所表示的区域是（）答案：选A小结：这类题就按三步法求解：即“画线—取点—判断”。二、给线性区域求对应的线性约束条件例2、下列二元一次不等式组中，能表示图中阴影部分的是（）A、0221yxyB、0221yxyC、02201yxxyD02210yxyx答案：选C小结：这类题是上一类型题的变式题同样按三步法求解：即“定边界—取点—判断”。三、求可行域的面积例3、不等式组203062yyxyx表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B小结：这类题就按四步法求解：即“画线—取点—判断—求面积”。常涉及到两点间距离公式或点到直线的距离公式。四、求线性目标函数的取值范围例4、若x、y满足约束条件222xyxy，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值为2，过点B（2,2）时，有最大值为6，故选A小结：这类题就按四步法求解：即“定可行域—令Z=0画直线.0l—平移找点—计算”。五、求线性目标函数中参数的取值范围例5、已知x、y满足以下约束条件5503xyxyx，使z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1故选D。小结：这类题就按四步法求解：即“定可行域—令Z=0画直线.0l—平移找点—计算”。六、求非线性目标函数的最值（常考查求距离或斜率的最值问题）例6、已知x、y满足以下约束条件3005xyxyx(1)求u=x2+y2的最大值和最小值(2)求5xyv的最大值和最小值解：画出满足条件的可行域。（1）u=x2+y2，表示求可行域内的点到原点的距离的平方。则先画出可行域如图所示，由图可知：当（x，y）在可行域内取值时，当且仅当为C点时，u最大，过（0，0）时，u最小，又点C坐标为（3，8）所以umax=73，umin=0.（2）5xyv表示可行域内的点P（x，y）与定点D（5，0）的连线的斜率，由图可知，kBD最大kCD最小。又C(3,8),B(3,-3),所以vmax=23533，vmin=4538小结：这类题是高考的常客，它是将线性规划与解析几何相结合进行考查。其一是求出现平方和结构的最值，转化为求两点间距离（或两点间距离的平方）的最值。可用数形结合求解，即先画出可行域，再由图分析可行域内的点与定点间距离的最值。其二是求分式结构的最值，转化为求可行域内的点与定点的斜率的最值。可用数形结合求解，即先画出可行域，再由图分析可行域内的点与定点的斜率的最值。七、求约束条件中参数的取值范围例7、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230230xymxym由右图可知3330mm,故0＜m＜3，选C小结：这类题就按三步法求解：即“画线—取点—判断”。八、求可行域中整点个数的问题例8、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个O2x–y=0y2x–y+3=0解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)xyxyxyxyxyxyxyxy作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D小结：整点问题一般用网格法即可。即作出可行域后，先打网格，描出整点。