练习题-参考答案2014年复变函数与积分变换

12014年复变函数与积分变换练习题参考答案一、选择题（每题2分，共16分）1．设{|1||3}Pzz，则P为【B】(A)无界区域(B)多连通区域(C)单连通区域(D)闭区域.2.函数),(),()(yxivyxuzf在点000zxiy处连续的充要条件是【D】(A)函数)(zf在区域D内可导(B)函数),(yxu在点00,()xy处连续(C)函数),(yxv在点00,()xy处连续(D)函数),(yxu和),(yxv在点00,()xy处连续.3.若),(),()(yxivyxuzf在区域D内解析，则下列命题中错误的是【D】(A)函数)(zf在区域D内可导(B)函数),(),,(yxvyxu是区域D内的调和函数(C)函数),(),,(yxvyxu在区域D内满足柯西-黎曼方程(D)函数),(yxu是),(yxv在区域D内的共轭调和函数4．设C为|1|0zr的正向圆周，则1Czdzz【B】(A)0(B)2i(C)1(D)4i5.下列复数项级数中绝对收敛的是【A】(A)1(6+8)!nnin(B)1)1(nn(C)1nnni(D)113()2nni6．下列函数中以0z为本性奇点的是【D】(A)2sinzzz(B)zzsin(C)zsin1(D)1()zcos7．函数()hz在单连通区域D内解析是函数()hz在D内存在原函数的【B】(A)必要条件(B)充分条件(C)充要条件(D)既非必要条件也非充分条件.28．指数衰减函数,0()=0,0tetftt（其中0）的傅里叶变换是【B】(A)1j(B)1j(C)11j(D)1j二、填空题（每题2分，共14分）9.设复数22iz指数表示为42ie.10．计算复值函数3(1)niLln2(/32)ki.11．已知C为|1|2z的正向圆周，求3zCedzzi.12．设C为正向圆周1||z,则积分2116Cdzz0.13．幂级数061nnzn的收敛半径R=1.14．映射2zz在点1+zi处的伸缩率是13.15．设k为实常数，2()sinfttktt,则)(tf的拉普拉斯变换为222322()kssks.三、计算题（每题5分，共25分）16．讨论函数3232()3(3)fzyxyixxy的解析性，其中zxyi,求导函数()fz.（参考习题集P16第5题）17．利用留数计算43|z|=1/51dzzz.（习题集P46第4题）解令430=zz得到=0=1zz，为函数431()zzfz孤立奇点，……..(1分)3但是=1z在圆||=1/5z之内，=0z是431()zzfz的三阶极点。……..(1分)根据留数定理，得到43|z|=1/534301112Re((),0)2lim()2!zdzzzisfzizzz300001lim()|lim2(1)|21zzzziiziz……………..(3分)18.求函数1()(1)(2)Fjj的傅里叶逆变换.解因为111(1)(2)12jjjj…………..…………………..(2分)1,0110,0tetFjt……..…………………..(1分)21,0120,0tetFjt..…………..…………..(1分)所以傅里叶逆变换0,00,)(21tteeFFtt…………..…………..(1分)19.求函数1()(1)(2)(3)Gssss的拉普拉斯逆变换.（课本P219例9.23）20.求积分值5cos(1)Czdzz，其中C为正向圆周||2z解=1z为函数5cos()(1)zfzz的五阶极点，且=1z在正向圆周||2z内....(2分)根据留数定理，得到55(4)51cos(1)1cos2Re((),1)2lim[(1)]4!(1)Czzdzzzisfzizz4554411limcoscos|cos12121212zziiiizz….(3分)四、解答题（每题9分,共36分）21.计算积分22cosxdxxa(0)a的值。（课本P131例5.16题）22.讨论并计算2||(+1)zrdzzz的值,其中积分曲线是不经过zi的简单正向圆周||zr，且r为任意正实数.解zi，0z分别为函数21(+1)zzzh()=的孤立奇点。…….…(2分)设积分曲线C所围成的区域记作D.当01r时，区域D不包含zi，只包含0z022||1=2Re((),0)=2=2(+1)(+1)zzrdzisfziizzz……..(3分)当|=1r时，积分曲线C经过zi，这与已知条件矛盾。…….…(1分)当1r时，区域D包含zi，0z，原式=2{Re((),0)Re((),)Re((),)}=isfzsfzisfzi0021112|||=0(+1)(+)(-)zzizizizzzizzi.……….…(3分)23.将函数1()(2)(3)zfzzz分别在（1）开区域2z内（2）开区域213z内展开成罗朗级数.（参考习题集P42第11题）24.已知拉普拉斯变换1()atesa￡，21()()attesa￡，求微分方程teyyy22满足初始条件0)0()0(yy的特解.5解设),()]([sYtyL对方程两边同时取拉氏变换,并考虑到初始条件，得21)()(2)(2ssYssYsYs……….……(3分)于是221111()(2)(1)12(1)Yssssss……….……(2分)11122111()[][][]12(1)tttytLLLeetesss……….……(4分)五、证明题（9分）25.证明xxyv32是调和函数,并求解析函数ivuzf)(.证明,32yvx,2xvy,0xxv,0yyv.……(3分)因为xxv,0yyv所以xxyv32是调和函数.……….……(2分)由于ivuzf)(是解析函数，则由,2yxvxu得),(22yxxdxu….(1分)于是),(yuy又=23,yxuvy……….……(1分)对比可得2()23,()3yyyyyc于是,322cyyxu……….……(1分)所以cizzivuzf3)(2.……….……(1分)