概率初步(教师版)

初中数学备课组教师班级初二学生日期上课时间教学内容概率初步一.确定事件和随机事件【知识结构】1.必然事件:在一定条件下，必定出现的现象叫做必然事件。例如，在标准大气压下，水加热到100℃就要沸腾是必然事件。2.不可能事件：在一定条件下，必定不出现的现象叫做不可能事件。例如，同性电互相吸引就是不可能事件。必然事件的反面是不可能事件。必然事件和不可能事件统称为确定事件。3.随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件，也称为不确定事件。例如，“掷一枚硬币出现正面”，“某人射击一次中靶”，“检查某件产品合格”等都是随机事件。一个事件中描述的现象“出现”，就说这个事件“发生”。一个确定事件是发生还是不发生，答案是确定的；而一个随机事件是发生还是不发生，具有不确定性。【要点点拨】区分必然事件、不可能事件、随机事件的要点：“必定”发生——每次一定发生，不可能不发生。“必定”不发生——每次都完全没有机会发生。“可能”发生——有时会发生，有时不会发生。例1抛掷两枚分别标有1,2,3,4的四面体骰子，写出这个实验中的一个随机事件是掷得点数和为5等；写出这个实验中的一个必然事件是掷得点数和不超过9等。例2下列三个事件：①明天，上海会下雨；②将汽油滴入水中，汽油会浮在水面上；③任意投掷一枚质地均匀的硬币，硬币停止后，正面朝上；④方程2340xx有两个不相等的实数根，其中必然事件是（D）（A）②④（B）①③④（C）④（D）②例3从一副没有大、小王的扑克牌中任意抽取牌，请判断以下事件是必然事件、不可能事件还是随机事件。（1）任意抽取5张牌，其中有一张是大王。（2）任意抽取5张牌，四种花色都有。（3）任意抽取5张牌，都是K。（4）任意抽取13张牌，至少有4张是同一花色。（5）任意抽取13张牌，其中有4张是黑桃。解：必然事件：（4）；不可能事件：（1）、（3）；随机事件：（2）、（5）。二.事件发生的可能性【知识结构】随机事件发生的可能性有大小差别，我们可以根据事件发生的条件或有关经验、资料等，对事件发生的可能性大小作出大致的判断，并进行定性的描述。各种事件发生的可能性大小有不同，可以根据我们的经验来判断一些随机事件发生的可能性的大小并不可能事件必然事件确定事件随机事件（不确定事件）事件排出大小顺序。一般，我们常用“一定发生”、“很有可能发生”、“可能发生”、“不太可能发生”、“一定不会发生”等词语来表述事件发生的可能性大小。【要点点拨】区分“不太可能发生”与“不可能发生”的要点：“不太可能发生”是指发生的机会很小，可以小到不足万分之一，但不是零，或者说“不太可能发生”的事件也许一万次里一次也没有发生过，但因为它是一个可能发生的事件，所以随时都有发生的可能。而“不可能发生”是指永远都不会发生。例1按照下列事件发生的可能性由大到小的顺序，把下列事件排列起来。事件一：书包里有各学科的练习本10本（外观、厚薄一样），随手一拿，正好拿到的是数学练习本；事件二：花2元钱买了一张彩票，中了500万大奖；事件三：抛了两次硬币，都是正面向上；事件四：三角形有两个内角是钝角。解：顺序为：事件三、事件一、事件二、事件四三.事件的概率【知识结构】概率是概率论中最基本的概念。在大量重复地进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记做()PA。它可以看作是频率在理论上的期望值。不同的随机事件发生的可能性大小是不相同的，概率是用来表示随机事件发生的可能性大小的一个量。等可能事件的概率一般可以通过大量重复试验求得其近似值。随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但在大量重复试验的情况下，它的发生却能呈现出一定的规律性。但对于某些随机事件，也可以不通过重复试验，只通过一次试验中可能出现的结果的分析来计算其概率。对于某些随机试验来说，每次试验后可能产生若干不同的试验结果，而出现所有这些不同结果的可能性是相等的。一般说来，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有k种，那么事件A的概率()=kPAn事件A包含的可能结果数所有的可能结果总数。用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率。用符号P来表示。概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小。不可能事件必定不发生，规定用“0”作为不可能事件的概率；而必然事件必定发生，就规定用“1”作为必然事件的概率。这样随机事件的概率，就是大于0且小于1的一个数，通常可以写成纯小数、百分数或真分数.由于任何事件A发生的次数k总不能大于试验的次数n，因此随机事件的概率()PA满足概率越大，表明事件发生的可能性越大；概率越小，表明事件发生的可能性越小。人们通常对随机事件进行大量的反复试验来研究概率，一般地，次数大的试验，事件发生的频率才接近概率。【要点点拨】1.频率、概率的区别与联系（1）频率和概率是两个不同的概念。频率是指在相同条件下的若干次试验中，事件出现的次数与总试验次数的比，它一般随着试验次数的变化而变化，而且即使总试验次数相同的不同试验其频率也可不同；而概率是随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率一定存在，它是反映该事件发生可能性大小的值，是一个确定的常数。频率与概率两个数值可能相差很大。（2）在相同条件下，当试验重复次数充分大时，频率就稳定在概率附近，这时我们可用频率来估计概率。与确定事件的规律不同，随机事件发生的规律一般通过大数次的试验得出，而概率正揭示了随机事件发生的规律。（3）要注意的是，概率是针对大量试验而言的，但大量试验反映的规律并非在每次试验中一定存在。2.等可能试验的特点（1）试验结果的个数有限；（2）各种结果等可能出现；（3）每次试验的结果唯一。3.研究一个事件发生的概率一般有三种途径（1）凭主观经验来分析概率；（2）通过数次反复试验估计概率；（3）根据线段图、树状图、列表进行理性分析估计概率。例1王强与李刚两位同学在学习“概率”时，做抛骰子（均匀正方体形状）实验，他们共抛了54次，出现向上点数的次数如下表：向上点数123456出现次数69581610（1）请你计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率。（2）王强说：“根据实验，一次试验中出现向上点数为5的概率最大。”李刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次。”请判断王强和李刚说法的对错。（3）如果王强与李刚各抛一枚骰子。求出现向上点数之和为3的倍数的概率。解：（1）出现向上点数为3的频率为：554，出现向上点数为5的频率为：827。（2）两个都错。（3）出现向上点数之和为3的倍数的概率为：121363P。例2妞妞和她的爸爸玩“锤子、剪刀、布”游戏。每次用一只手可以出锤子、剪刀、布三种手势之一，规则是锤子赢剪刀、剪刀赢布、布赢锤子，若两人出现相同手势，则算打平。（1）你帮妞妞算算爸爸出“锤子”手势的概率是多少？（2）妞妞决定这次出“布”手势，妞妞赢的概率有多大？（3）妞妞和爸爸出相同手势的概率是多少？解：（1）13；（2）13；（3）13。例3有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图）。小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张。（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A，B，C，D表示）。（2）求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率。解：（1）树形图如图所示：（2）41164P。三.概率计算举例【知识结构】1.对于有些事件，我们可以直接通过分析来计算其概率。如果一次试验中共有n种可能出现的结果，且每开始DDDDCCCCBBBBAAAADCBA种结果出现的可能性都相等，其中事件A包含的结果有k种，那么()kPAn。2.对于一些稍复杂的事件，我们可以用画树状图或列表的方法。列举出所有等可能的结果，再分析随机事件发生的概率。3.对于区域性事件，我们首先要确定各个区域面积在整个区域面积中所占的比例，然后再根据这个比例计算特殊区域在试验中发生的概率。如果试验的结果落在某个区域中每一点的机会都相等时，我们可用G表示“试验结果落在M中的一个小区域G中”这个事件，那么事件G发生的概率为()GMSPGS（其中S表示面积）。【要点点拨】我们在解决分布或交叉的事件的概率问题时只能利用直观的图表方法，常用的有“树形图”和“表格法”，它们是枚举法的不同表现形式。1.树形图是解决分步或交叉的事件的概率问题时反复运用的方法。要注意的是：树状图从上到下每一条路径就是一种可能的结果，而且每种结果发生的概率都是等可能的。2.表格法一般只适用于两对象交叉试验结果的分析。用表格法可简明、直观地表现较复杂的等可能结果。3.列表法和画树状图这三种方法，可以帮助我们分析问题，使我们能不重复、不遗漏地列出所有可能出现的结果。例1“六一”儿童节前夕，我市某县“关系下一代工作委员会”决定对品学兼优的“留守儿童”进行表彰，某校八年级8个班中只能选两个班级参加这项活动，且8（1）班必须参加，另外再从其他班级中选一个班参加活动。8（5）班有学生建议采用如下的方法：将一个带着指针的圆形转盘分成面积相等的4个扇形，并在每个扇形上分别标上1,2,3,4四个数字，转动转盘两次，将两次指针所指的数字相加，（当指针指在某一条等分线上时视为无效，重新转动）和为几就选哪个班参加，你认为这种方法公平吗？请说明理由。解：通过列表法或者树状图法计算可知：八（2）班被选中的概率为：116；八（3）班被选中的概率为：21168；八（4）班被选中的概率为：316；八（5）班被选中的概率为：41164；八（6）班被选中的概率为：316；八（7）班被选中的概率为：21168；八（8）班被选中的概率为：116。由于每个班被选中的概率不等，所以这种方法不公平。例2某学校七年级数学兴趣小组组织一次教学活动。在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当做数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，再通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入。（1）小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明。（2）小组两位组员小张和小李商量做一个游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负。游戏规则规定：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得一分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平。（3）在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超4321过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？解：（1）41(123P进入迷宫中心），树状图略。（2）由树状图可知，1(3P5的倍数），21(=126P非5的倍数的奇数），61(=122P非5的倍数的偶数），所以游戏不公平；将第二道环进口处的4改成任一奇数，游戏就比较公平。（3）设小军x次进入迷宫中心，则23(10)28xx，解得2x。例3张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场劵，各自设计了一种方案：张彬：如图，设计了一个可以自由转动的转盘，当指针指向阴影区域时，张彬得到入场劵；否则，王华得到入场劵；王华：将三个完全相同的小球分别标上数字1、2、3后，放入一个不透明的袋子中，从中随机取出上个小球，然后放回袋子；混合均匀后，再随机取出一个小球。若两次取出的小球上的数字之和为偶数，王华得到入场劵；否则，张彬得到入场劵。请你运用所学的概率知识，分析张彬和王华的设计方案对双方是否公平。解:张彬的设计方案:19019(=36036P张彬得到入场劵），17017(=36036P王华得到入场劵），因为19173636，所以，张彬的设计方案不公平。王华的设计方案：5((=9PP王华得到入场劵）和为偶数），