结构有限元

--确定列高的方法：ID表---------LM数组-------------------mj--------主对角线元素地址数组[A]--------一维数组，存放[K]中元素kij数组长度S=sum(hj)(j=1….N)数组[MAXA]--------一维数组，存放[K]主对角线元素在数组[A]中的地址数组长度是[K]的行数或列数+1，即N+1元素MAXA(N+1)用来存放假想的第N+1个主对角元的地址，用来确定第N列最后一个元素的位置。--计算主元地址的公式可写为：MAXA(j+1)=MAXA(j)+hj式中，j=1，2，…，N；hj——刚度矩阵[K]第j列的列高。一维数组A的总长度(S)，即刚度矩阵K按变带宽存贮的总存贮量：S=MAXA(N+1)-MAXA(1)----某一元素在一维数组中的地址由其相应主元地址决定。--1.结构刚度矩阵之所以能化为带状矩阵，主要利用了其性和性。2.结点约束信息表ID数组的作用：。3.结构刚度矩阵采用变带宽存储时，一维数组A存储，一维数组MAXA存储。4.在等带宽存贮中，最小带宽UBW由确定。作业题：4.图示结构为一平面桁架结构，按图示方式对结点编码，若总体刚度矩阵采用等带宽存贮，总自由度数NDF为，最大半带宽UBM为；若总体刚度矩阵采用变带宽存贮，其总体刚度矩阵的第5个自由度，对应于第结点的第个自由度，第5列的列高为。--结点荷载总列阵的组集输入文件中要包含{Pc}的数据信息：读入结点力向量N,F1,F2,F3,F4,F5,F6--涉及到两个子程序：（1）计算整体坐标系下由跨间荷载引起的等效结点荷载。（2）计算整体坐标系下由跨间温度引起的等效结点荷载。---1.刚度矩阵的性质对称矩阵、正定矩阵、稀疏矩阵。2.三种存储方式方阵存储等带宽存储变带宽存储贮刚度矩阵的上三角部分。即主对角线元素以及上半带区（或顶线以下）内的元素。3.组集结构刚度矩阵工作流程：单刚---------ID数组---------LM数组----------不去存贮与刚性支承约束相应的行和列4.结点编号应得当无论采用等带宽存贮或变带宽存贮，都要求结点号码编得恰当，使得刚度矩阵的非零元素都聚集在主对角线附近狭窄的带形区内。对于大型结构应该特别注意选取恰当的结点编号方式。这是因总存贮量大体上与带宽成正比的原故（对等带宽存贮，则准确地与最大半带宽成正比）。-----线性方程组的若干直接解法有限元法分析到最后总是归结为解线性代数方程组：[K]{δ}={P}有限元法的求解效率很大程度上取决于线性代数方程组的解法（包括矩阵的存储方式），因为在有限元法的整个求解时间中解线性代数方程组的时间占了很大比重，当单元增多、网格加密、未知数成倍增加时，尤为如此。--线性方程组的数值解法一般有两种。直接解法：经过有限步算术运算，可求得方程组的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差）。迭代解法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的一种近似计算方法。迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收敛性及收敛速度等问题。--本章介绍最基本的两类直接解法：（1）高斯消元法针对[K]的等带宽存储（2）LDLT分解法针对[K]的变带宽存储---高斯消元法的基本思想基本思想：通过逐步消元（行的初等变换），把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组（简单形式）得原方程组的解。两大步：1.消元2.回代--用高斯消元法求解方程组（1）如果[K]矩阵写成方阵的形式，则高斯消元采用方阵存储算法。（2）如果[K]矩阵写成带状矩阵的形式，则高斯消元法采用等带宽存储算法。--高斯消元等带宽存储(1)每一次消元运算，只需在带宽范围内进行。（2）元素aij（i≤j）在矩形数组中的行号和列号为：ROW=iCOL=j-i+1即行号不变，列号左移i-1（3）消元公式（4）待修改的方程号码k的变化范围（5）方程中需修改的元素的下标变化范围（6）回代过程--实对称正定矩阵的LDLT分解结构刚度矩阵为实对称正定矩阵[A]对称：[A]T=[A][A]正定：[A]的各阶顺序主子式均大于零。即--对称矩阵的乔来斯基（Cholesky）分解定理：设[A]为对称正定矩阵，则存在唯一分解[A]=[L][D][L]T，其中[L]为单位下三角阵，[D]=diag(d11,d22,…,dNN)且di0(i=1,…,N).--变带宽存储下LDLT分解算法[A]为N阶正定矩阵，假设已按变带宽存储方式进行了存储。即：一维数组A存贮矩阵[A]上三角变带宽内的元素；一维数组MAXA存储矩阵主对角元在数组A中的地址。一维数组A的总长度(S)，即刚度矩阵[K]按变带宽存贮的总存贮量：S=MAXA(N+1)-MAXA(1)---编程思路1、程序的功能N阶对称正定矩阵[A]分解为LDLT形式，分解后所得的[D]的元素存放在[A]的对角线位置上，上三角矩阵[L]T存放在[A]的上三角部分。2、程序中用到的某些变量AJJ=MAXA(J)------第J个对角元在一维数组中的地址AMJ=MAXA(J+1)-1------第J列顶线以下第一个非零元素在一维数组中的地址AJ1=AJJ+1------第J个对角元的上一个元素在一维数组中的地址--主从自由度的概念及其应用杆件进入结点附近时，常常是和刚性很大的结点块联在一起，这时杆件的刚度只能是指结点刚性块以外的部分，如果把杆件的长度计算为结点之间的距离，势必会把杆件的刚度算得太小。结点上所有的杆件轴线未必会相交于一点，常常有几根杆件的轴线偏离结点。--主从自由度的概念若某一结点s的部分或全部位移分量可完全由另一个结点m的位移予以确定，则称s为从结点，m为主结点，这两个结点的相关位移自由度称为主从自由度。主从自由度可以是结点层次的，即一个结点的所有自由度与其他一个结点的所有自由度耦合。主从自由度可以是自由度层次的，即一个结点的某个自由度和另一个结点的某个自由度的耦合。---采用主从自由度的优点1.使计算图示更为符合实际，或建立合理的简化计算模型；2.减少待定的独立位移总数；3.避免因单元之间刚度相差过大而使总刚度矩阵出现可能的病态。==--主从自由度处理的基本原则把从自由度的结点位移和结点力，变成主自由度的结点位移和结点力。注意：同一结点的同一自由度不能从属于不同结点。---4.应用主从自由度概念处理带铰单元和带刚臂单元时引入的两类约束处理带铰单元-----------等值约束--------------刚臂约束---等值约束主从结点间通过支承条件相连从结点s的第i个自由度分量与主结点m的第i个自由度分量主从，即相等---刚臂约束刚臂约束的处理方法（1）结点位移的转换关系(2)单元结点力的变换关系(3)单元刚度矩阵的变换关系(4)结点荷载的变换关系、静力等效原理----7.等值约束和刚臂约束的异同点相同点：两者都在主从节点的位移量之间建立固定的数学关系。不同点：等值约束是指主从节点的两对应自由度的位移完全相等。刚臂约束是指主从节点的两对应自由度通过位移变换矩阵[D]联系起来。-----本章重点1.给出等值约束条件时，主从自由度的概念是什么，如何在程序中实现？2．简述主从自由度的概念及处理原则。3.等值约束和刚臂约束的异同点？-如何选用合适的单元类型以桥为例在概念设计阶段，主要研究结构的设计参数，以求获得理想的结构布置，因此对结构内力精度要求不高，可以采用平面杆系模式。在技术设计阶段，若仅仅计算恒、活载作用下总体结构的内力，仍可选用平面杆系模式，此时活载的空间效应用横向分布系数或偏载系数来表达。在技术设计阶段，若要计算空间荷载(风载、地震荷载、局部温差等)作用下的静力响应，一般选用空间杆系模式。若要计算全桥构件的应力分布特性，可选用空间板壳、块体和梁单元的组合模式。为了研究结构中特殊部件(如斜拉索锚索区、塔梁固结区)的应力集中现象，可进行局部应力有限元分析。将特殊构件从整体结构中取出，构件的尺度选择可根据圣维南原理确定，细分结构网格，将整体结构在分离断面处的内力、位移作为被分析子结构的边界条件进行二次分析。-局部坐标系附属于每个单元的坐标系称为单元坐标系-既然有整体坐标系，为什么还要采用局部坐标系（或单元坐标系）？杆系结构单元在结构中的位置是复杂的。如果每一个单元都在统一的整体坐标系XY中写单元刚度矩阵，可能导致结构中处于不同位置的同一类型单元，其元刚度矩阵不相同。这不利于计算机编程运算。-单元刚度性质矩阵的常量矩阵所有的元素均为常数，它们由单元的几何性质和弹性系数完全确定，而与荷载和其它外界因素（如温度变化）无关。对称矩阵奇异矩阵（逆矩阵不存在）从数学意义上看：从物理意义上看：e号单元是一个无约束的杆，当它承受平衡力系作用时，其变形是确定的，但结点位移并不是唯一确定的。-势能驻值原理：弹性体在外荷载作用下处于静力平衡状态的充分必要条件是总势能取驻值（有极小值）。-基本假设及有关记号(1)位移和变形很小；(2)应力－应变关系服从虎克定律；(3)梁弯曲变形的平截面假定成立；(4)单元仅在两端结点处承受作用在截面形心处的剪力和弯矩。以两端承受剪力、弯矩的平面梁单元为例-①局部坐标系下的单元位移向量其中，v——y——角位移。②局部坐标系下的单元力向量其中，Q——剪力M——弯矩梁单元总势能在局部坐标系中的表达式-“位移模式”也称“位移函数”，是单元内部位移变化的数学表达式，是坐标的函数。有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须事先给出（设定）位移函数。一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影数设定为简单的多项式也可得到相当精确的结果。这正是有限单元法具有的重要优势之-选取（设定）位移函数应考虑的问题（1）单元有几个位移函数单元中任意一点有几个位移分量就有几个位移函数。（2）位移函数是坐标的函数本单元的坐标系为：x、y；（3）位移函数中待定常数个数待定常数个数应等于单元位移列阵中的元素个数。①位移模式可设单元坐标位移模式为②形函数是单元坐标x的函数，与结点位移无关由单元两端点的结点位移条件，解出位移函数式中的A0、A1、A2、A3。再代入该式，可将位移模式写为以下形式-建立应变－位移关系即建立单元弯曲应变与结点位移的关系-建立应力－应变关系-梁单元的总势能-利用势能驻值原理建立-单元平衡方程-单元刚度矩阵的具体计算-平面梁单元刚度矩阵-单元刚度矩阵的力学意义单元刚度矩阵[K]e第i列元素组成的向量：当结点沿第i个自由度方向上发生单位位移，而其余结点位移分量为0时，作用在单元两端的结点力。单元刚度矩阵[K]e中任一元素kml：当第l个自由度的位移为1，且其他自由度位移分量皆为零时，对应的第m个自由度上作用的单元结点力。-形函数的力学意义形函数表示：两端固定梁在单位力作用下的i端反力影响线。形函数表示：两端固定梁在单位力作用下的i端弯距影响线。-轴剪弯平面梁单元刚度矩阵①局部坐标系下的单元位移向量②局部坐标系下的单元力向量-轴剪弯平面梁单元刚度矩阵：-两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁单元(面外弯剪扭梁单元）另外，扭转仅限于纯扭转或称均匀扭转。其特点是扭矩和扭率（单位长度上的相对扭转角）成正比。弯剪扭平面梁单元刚度矩阵：空间梁单元，每个节点有6个自由度，单元自由度为12。下图给出了空间梁单元节点位移分量的正方向及其编号。单元力的正向及其编号与单元位移相同。-有限元法分析思路流程结构离散化为若干单元单元分析(建立单元刚度矩阵[K]e形成单元等效结点力)系统分析(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵[K]形成等效结点荷载{P})解综合方程[K]{δ}={P}求结构结点位移{δ}计算结构内力和应力-为什么要进行坐标变换？进行系统分析时，需要把单元力按统一的结构坐标轴的分量表示出来，以便建立结点平衡方程。因此，在进行系统分析之前，必须把局部坐标系中的单元力以及单元刚度矩阵都转换到整体坐标系中去。此外，还需要把整体坐标系中的结点位移转换到局部坐标系中去，以计算结构内力。这两种坐标之间的转换过程称为坐标变换。-e——整体坐标