统计学第6抽样分布2013

1第6章抽样分布2知识点回顾统计量根据样本计算出的量。设X1，X2，…，Xn是从总体中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数T（X1，X2，…，Xn），不依赖任何未知参数，则称函数T是一个统计量。参数第6章抽样分布§6.1由正态分布导出的几个重要分布§6.2抽样分布§6.3一个总体参数推断时样本统计量分布§6.4两个总体参数推断时样本统计量分布46.1由正态分布导出的几个重要分布卡方分布T分布F分布52分布(2distribution)1.由阿贝(Abbe)于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来。2.设随机变量X1，X2，…Xn，相互独立，且Xi服从标准正态分布，则它们的平方和服从自由度N的X2分布61.分布的变量值始终为正2.分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的右偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称3.用于方差的推断2分布(性质和特点)7(2)分布不同容量样本的抽样分布n=1n=4n=10n=20Y8T分布T分布也称学生分布，高塞特在1908年在一篇以“Student”为笔名的文章中首次提出的。设随机变量X~N（0，1），Y~x2(n),且X和Y独立则称为t分布，n为自由度。应用于小样本的均值的推断。9T分布的特点和标准正态分布极为相似，偶函数。比标准正态分布的方差大一些。标准正态分布T分布101.由统计学家费舍(R.A.Fisher)提出的，以其姓氏的第一个字母来命名则2.应用于方差之比的推断，方差分析，回归方程显著检验3.设若U为服从自由度为n1的2分布，即U~2(n1)，V为服从自由度为n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相互独立，则称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为F分布(Fdistribution)21nVnUF),(~21nnFF11F分布(图示)不同自由度的F分布F（1,10)(5,10)(10,10)121.样本统计量的概率分布2.是一种理论概率分布3.随机变量是样本统计量样本均值,样本比例，样本方差等4.结果来自容量相同的所有可能样本6.2抽样分布(samplingdistribution)13抽样分布(samplingdistribution)总体计算样本统计量例如：样本均值、比例、方差样本§6.3样本统计量的抽样分布(一个总体参数推断时)一.样本均值的抽样分布二.样本比例的抽样分布三.抽样方差的抽样分布151.容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布2.一种理论概率分布3.进行推断总体总体均值的理论基础样本均值的抽样分布16样本均值的抽样分布(例题分析)【例】设一个总体，含有4个元素(个体)，即总体单位数N=4。4个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3、x4=4。总体的均值、方差及分布如下总体分布14230.1.2.3均值和方差5.21NxNii25.1)(122NxNii17样本均值的抽样分布(例题分析)现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）18样本均值的抽样分布(例题分析)计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值样本的均值（x）X样本均值的抽样分布1.00.1.2.3P(X)1.53.04.03.52.02.519样本均值的分布与总体分布的比较(例题分析)=2.5σ2=1.25总体分布14230.1.2.3抽样分布P(X)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5X5.2X625.02X20不同总体的均值抽样实践(centrallimittheorem)的分布趋于正态分布的过程X21中心极限定理(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布xn中心极限定理：设从均值为，方差为2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布一个任意分布的总体xX22正态分布中心极限定理=50=10X总体分布n=4n=16抽样分布X5x50x5.2x当总体服从正态分布N~(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X的数学期望为μ，方差为σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)23抽样分布与总体分布的关系总体分布正态分布非正态分布大样本小样本正态分布正态分布非正态分布241.样本均值的数学期望2.样本均值的方差重复抽样样本均值的抽样分布(数学期望与方差))(XEnX2225抽样标准误差1.所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本均值的离散程度2.小于总体标准差3.计算公式为nX26例题设从一个均值为u=10，＝0.6的总体中，随机选取容量为n=36的样本，假定该总体不是很偏，求1.计算样本均值小于9.9的概率，2计算样本均值在总体均值附近0.1的概率。解：27例：某汽车电瓶商声称其生产的电瓶具有均值为60个月，标准差为6个月的寿命分布，现假设质检部门决定检验该厂商的说法是否正确，为此随机抽样了50个该厂的电瓶进行了寿命测试，求（1）假定厂商的声明是正确的，试描述50个电瓶的平均寿命的抽样分布（2）假定厂商的声称是正确的，则50个样本的平均寿命不超过57个月的概率是多少281.比例：总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品(或不合格品)与全部产品总数之比2.总体比例可表示为3.样本比例可表示为4.2.样本比例的抽样分布NNNN101或nnPnnP101或291.容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布2.当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似3.一种理论概率分布4.推断总体总体比例的理论基础样本比例的抽样分布301.样本比例的数学期望2.样本比例的方差重复抽样样本比例的抽样分布(数学期望与方差))(PEnP)1(231例题假定某统计人员，在其填写的报表中，有2%至少会有一处错误，如果我们检查了一个由600份报表组成的随机样本，其中至少有一处错误报表所占的比例在0.025~0.075之间的概率有多大？323.样本方差的分布对于来自正态总体的简单随机样本，则比值的抽样分布服从自由度为(n-1)2分布，即)1(~)1(222nsn22)1(sn33样本方差的分布服从于自由度N－1的卡方分布。只讨论总体是正态分布§6.4样本统计量的抽样分布(两个总体参数推断时)1.两个样本均值之差的抽样分布2.两个样本比例之差的抽样分布3.两个样本方差比的抽样分布351.两个总体都为正态分布，，2.两个样本均值之差的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差3.方差为各自的方差之和1.两个样本均值之差的抽样分布),(~2111NX),(~2222NX21XX2121)(XXE222121221nnXX36两个样本均值之差的抽样分布11总体122总体2抽取简单随机样样本容量n1计算X1抽取简单随机样样本容量n2计算X2计算每一对样本的X1-X2所有可能样本的X1-X212抽样分布37例题设有甲乙两所高校在某年录取新生时，甲校的平均分655，标准差为20，已校平均分625，标准差25分，现从甲乙两校各随机抽取8名新生，出现甲校比已校的平均分低的可能性有多大？（假设都服从正态分布）381.两个总体都服从二项分布2.分别从两个总体中抽取容量为n1和n2的独立样本，当两个样本都为大样本时，两个样本比例之差的抽样分布可用正态分布来近似3.分布的数学期望为4.方差为各自的方差之和2.两个样本比例之差的抽样分布2121)(PPE2221112)1()1(21nnPP39例题项目抽样调查表明，甲城市有消费者中有15%的人喝过商标为“圣洁”矿泉水，而已城市的消费者中只有8%的人喝过该水，如果这些数据是真实的，那么当我们分别从甲城市中抽取120人，已城市中抽取140人，组成两个独立的随机样本时，样本比例差不低于0.08的概率有多大？403.两个样本方差比的抽样分布1.两个总体都为正态分布，即X~N(μ1,σ12)的一个样本，Y1，Y2，…，Yn2是来自正态总体Y~N(μ2,σ22)2.从两个总体中分别抽取容量为n1和n2的独立样本3.两个样本方差比的抽样分布，服从分子自由度为(n1-1)，分母自由度为(n2-1)F分布，即41本章小结1.总体分布、样本分布、抽样分布2.单总体参数推断时样本统计量的分布3.双总体参数推断时样本统计量的分布