论资产价格的分布与衍生品定价

论资产价格分布与衍生品定价程碧波摘要：文章认为不仅资产价格的随机游走不能精确预知，而且资产价格随机游走的趋势也同样不能精确预知。这样，资产价格随机游走的趋势就同样具有风险，表征游走趋势的量也应是随机变量。本文构造了资产价格随机游走趋势为随机变量的资产价格连续分布，指出建立在其基础上的衍生品之风险不能被此资产对冲，从而其衍生品不具有无套利价格，只能通过风险资产定价来计算均衡价格关键词：随机游走趋势资产价格分数布朗运动衍生品定价自从Bachelier关于债券价格运动的研究以来,产生了许多描述股票价格收益行为的模型[1]。针对Bachelier的算术布朗运动模型出现价格的负值,Samuelson提出了几何布朗运动模型[2],Osborne也建议用正态分布随机变量来建模对数股票价格[3]。随后,布朗运动以其良好的随机计算性质而广泛应用于衍生品定价中。然而大量的实证研究表明,大多数股票市场中的随机现象都体现出了很强的肥尾、长期相关等特征,这导致了大量的由布朗运动驱动的定价模型不符合真实的市场。Mandelbrot和VanNess[4]提出分数布朗运动,对上述模型缺陷进行弥补。建立在资产价格几何布朗运动基础上的衍生品定价理论也迅速发展。布莱克和斯科尔斯的经典衍生品定价理论，奠定了当代衍生产品定价的理论基础[5]。此后，Hu和ksendal在分数伊藤积分意义下证明,分数Black-Scholes市场不存在套利且完备[6]。有大量的文献坚持，实验数据证明了股票价格服从几何布朗运动。然而后来又有大量文献坚持，实验数据证明了股票价格服从分数布朗运动。那么，究竟谁说得对呢？常常有些文献使用蒙特卡罗模拟出与股票实际价格的细节走势均相同的几何布朗运动，作为证明股票服从理论模型的证据，但这其实无法逃脱伪造数据的嫌疑。因为在不能保证模拟数据与实际数据相关的情况下，即使模拟数据与实际数据遵从的分布相同，其模拟结果与实际结果也有天壤之别，就好比朝天任意扔两枚硬币，这两枚硬币正面朝上的分布函数完全相同，但实际扔出来的结果绝不会相同。作为几何分数布朗运动通式，股票价格S的运动服从以下分布：HdSdtdBtS(1)其中2HHdBtdt是标准分数布朗运动，服从标准正态分布0,1N。当1/2H时HdBtdt，为标准布朗运动，资产价格变化与时间无关，服从随机漫步。当1/21H时，序列是趋势增强的，遵循有偏随机游走过程；当01/2H，序列是反持续性的。如果我们剥开(1)式的表象，可以直接写为以下形式：2HdSdtdtdttS(2)(2)式中2Htdt(3)由(2)可见，几何分数布朗运动的各种趋势，例如是趋势增强，还是趋势减弱，还是随机漫步，取决于(2)式中t的表达式。因此要证明股票价格是否服从某几何(分数)布朗运动，不能看模拟的结果是否与实际结果相似，而应根据实际结果计算出几何(分数)布朗运动中的实际标准差t，看其是否与式子中的t吻合。如果吻合，则有比较强的证据说明符合预定的几何分数布朗运动，否则证明其不符合预定的几何分数布朗运动。然而问题还不仅在于此。几何分数布朗运动研究的兴起，事实上承认了股票价格中t会随着运动趋势的不同而不同，而这种不同是外生假设的。这样疑问就来了：既然t可能外生变化，那么这种外生变化背后就存在外生驱动力。外生驱动力作为未来因素，却被假设为可以被精确预知的非随机变量，这非常不合适。的确，人们不可能精确预知未来任何时刻股票价格运动趋势的变化。合理的假设，应当假设t变化的外生驱动力也为随机数，即t本身也是随机数。在实证上，使用蒙特卡罗模拟来模拟股票价格运动并不严谨。但是计算t则并不困难。可以取较短的时间间隔t，有以下关系：22222222HHHStBttBttBtS(4)2242224222241HHHHHHDBtEBtEBtEtttEt(5)因此当0t时，2HBt是t的确定函数，故：222212HHHBtEdtHtdt(6)从而，22212HSHtdtS(7)由(7)式可得，当时间段t取足够小时，2SS为非随机数。然而基于现实数据的复杂性，显然实际股票价格变化的2SS不可能是非随机数，不可能得到精确预测。这就是说，无论从理论的股票价格变化，还是实际股票价格变化来说，dSdttS中的t都应是随机数。现在我们构造新的股票价格运动方程：HdSdtdBtS(8)(8)式中为非随机数，是期望值为0的随机数，2D。这样，2222122HSHtdtS(9)在新的股票价格运动方程中，我们试图来构造基于S的衍生品V的定价方程,VSt。由Ito方程得：2222212,2HVVVdVStdtdSSHtdttSS(10)因为上式中不能被忽略，故上式无法与S组合成无风险资产。例如，若在,VSt中卖空VS份S，则dt时间后资产组合价值为：222221,22VVVdVStdSdtSdtStS(11)显然上式资产组合无法对冲风险。现在我们来看，(8)式所假设的股票运动是否连续。对于任意固定的tT，有（为简化计算，假定与HdB相互独立）：22221222lim||lim||2lim||0HtttttttESSSESHtSEt(12)因此(8)式假设的股票随机运动是连续的。值得注意的是，t的风险可以产生在很多地方，例如也可以产生在H的风险上，即HK，其中K为常数，是期望值为0的随机数。可得：KdSdtdBtS(13)22122KSKtdtS(14)构造基于S的衍生品V的定价方程,VSt。由Ito方程得：221222,KVVVdVStdtdSSKtdttSS(15)同样因为上式中不能被忽略，故上式无法与S组合成无风险资产。综上所述，即使满足价格连续的要求，由于股票价格的几何(分数)布朗运动趋势变化不能精确预知，所以dSdttS的t也是随机数，无法计算衍生品无套利价格。衍生品只能通过风险资产定价来计算均衡价格[7]。[1]BachelierL.TheoryofSpeculation[M].CootnerP.TheRandomCharacterofStockMarketPrices.Cambridge:MITPress,1900:17～78.[2]SumuelsonPA.Rationaltheoryofwarrantspricing[J].IndustrialMagementReview,1965,6(1):13～31.[3]OsborneMFM.Brownianmotioninthestockmarket[J].OperationsResearch,1959,7(2):145～173.[4]MandelbrotBB,VanNessJW.FractionalBrownianmotion,fractionalnoisesandapplication[J].SIAMReview,1968,10(4):422～437.[5]Black,Fischer,MyronScholes.ThepricingofOptionsandCoporateLiabilities[J].JournalofPoliticalEconomy,1973:81637-659.[6]HuYaozhong,ksendalB.Fractionalwhitenoisecalculusandapplicationtofinance[J].InfiniteDimensionalAnalysis,QuantumProbabilityandRelatedTopics,2003,6(1):1～32.[7]程碧波：《国计学》，社会科学文献出版社2010年修订版，第151页。