维也纳香肠函数

维也纳香肠的维也纳香肠半径是随机过程定义为在这里,是标准的布朗运动在为和表示开球的半径为中心的在。诺伯特·维纳的名字命名,这个术语也用来描述视觉:事实上,对于一个给定的布朗运动,本质上是一个腊肠管的半径有作为中央线。布朗运动一个实值随机过程是一个布朗运动开始在哪里如果满足以下属性:1。.2。为所有的时间的增量,,...,,都是独立的随机变量.3所示。对所有,的增量是正态分布与期望价值零,方差.4所示。这个函数是连续几乎无处不在。的布朗运动如果是标准吗.很容易从上面所示标准布朗运动有许多独特的自然不变性属性包括缩放不变性和在时间反演不变性。此外,布朗运动满足一个大数定律这几乎无处不在。此外,尽管看起来真实乍一看,布朗运动是持有人连续的几乎无处不在对于所有的值。相反,任何布朗运动可微的几乎可以肯定.上面的定义扩展自然得到高维布朗运动。更准确地说,鉴于独立的布朗运动开始在,一个可以定义一个随机过程通过这样一个被称为维布朗运动开始.参见:维纳过程一个连续时间的随机过程为与增量等高斯均值为0,方差吗对于任何,增量不重叠的时间间隔是独立的。布朗运动(即。随机游走,随机步骤大小)是最常见的一个维纳过程的例子。维纳测量概率法在连续函数空间与诱导的维纳过程.参见:自已避免走连接常数我们的数量随机漫步在一个-dhypercubic晶格的开始起源从未落在同一个格点两次步骤是表示。第一个值(1)(2)(3)一般来说,(4)(伯尼兹和Tittman2000),更严格的边界由马德拉斯和斯莱德(1993)。康威和古德曼爵士(1996)枚举的长度51。在任何晶格,打破了自已避免走在两个收益率两个自已避免走,但是连接两个自已避免走不一定保持自已避免财产。让表示自已避免走的步骤的晶格维度。然后上面的观察告诉我们,Fekete引理证明(5)称为连接晶格常数,并存在有限的。这些常数的最佳范围(6)(7)(8)(9)(10)(拜尔和富国1972年,1998年努南,芬奇2003)。的上限提高2.6939发现努南(1998)和计算了伯尼兹和Tittman(2000)。三角晶格的飞机,1993年(Alm),六角平面点阵,猜想(11)(马德拉斯,斯莱德1993)。也认为存在以下限制和有限的:(12)在临界指数为(马德拉斯,斯莱德1993)和猜想(13)定义平均平方位移要自已避免走作为(14)(15)认为存在以下限制和有限的:(16)在临界指数为(马德拉斯,斯莱德1993),有推测说(17)参见:自已避免走自已避免行走路径从一个点到另一个,从来没有相交本身。这样的路径通常被认为发生在格,所以步骤只允许在某些离散的方向和长度。考虑一个自已避免走在一个二维方格网(即。晶格的道路,从来没有访问同一个格点两次),从原点开始,需要积极的水平方向的第一步,只是限于非负网格点。这样的路径的数量,2,…步骤1、2、5、12日,30日,73年,183年,456年,1151年……(OEISA046170).同样,考虑一个自已避免走在原点开始,需要积极的水平方向的第一步,并不局限于非负网格点,但仅限于采取了措施下的第一步。这样的路径的数量,2,…步骤1、2、5、13日,36岁,98年,272年,740年,2034年……(OEISA046171).自已避免车走是走一个网格,从,结束,只由水平和垂直的步骤。下表给出了前几个数字这样走的小和。的值,2,…2、12、184、8512、1262816……(OEISA007764).234562234124838184年516125年976年8512年632414年5382年79384年1262816有许多已知的公式计算对小。例如,(1)有一个递归关系为,由,,,,(2)为,以及生成函数(3)(阿伯特1978年汉森,芬奇1978)。一个相关的序列是形状的数量可以由弯曲线的长度在飞机上,弯曲0或和线可能在直角交叉本身而不是经过本身。形状的导线长度的数量1,2,…是1、2、4、10、24日,66年,176年,493年……(OEISA001997).考虑一个自已避免走在一个二维方格网从一个角落到另一个,没有两个连续的步骤是在同一个方向。这样的路径的数量,2,…是1、2、2、4、10,36岁,188年,…(OEISA034165,计算路径的数量点“点阵”1),这些路径的最大长度是0,2,4,10,12,26岁,36岁,…(OEISA034166).随机漫步——三维在一个三维的晶格,随机漫步不到统一的概率达到任何时候(包括起点)步骤的数量趋于无穷。再次到达起点的概率是0.3405373296....这是一个聚(随机漫步的常数.随机漫步——二维在一个飞机,考虑一笔二维向量与随机取向。使用相量符号,让各自的阶段向量是随机。假设单位措施(即在任意方向。的角均匀分布在而不是一个晶格),正如上文所述。这个职位在复平面后然后给出的步骤(1)已绝对的广场(2)(3)(4)因此,(5)每个单元步骤同样可能在任何方向(和)。位移是随机变量与相同的意味着零,他们的差异也是一个随机变量。在这个分布平均,等可能积极的和负值产生一个预期值为0,所以(6)后的均方根距离因此单元步骤(7)所以的步长,这就变成了(8)为了旅行的距离,(9)因此所需的步骤。令人惊讶的是,已经证明在一个二维的晶格,随机漫步统一的概率达到任何时候(包括起点)数量的步骤方法∞.随机游走,维让步骤相同的长度沿行。让是向右迈出一步的概率,向左一步的概率,采取正确的步骤的数量,步骤的数目。的数量,,,,是相关的(1)和(2)现在检查的概率步骤的向右。有的方式向右,步骤向左,是一个二项式系数。采取特定的命令序列的概率和步骤。因此,(3)在哪里是一个的阶乘。但这只是一个二项分布,所以的意思是许多步骤正确的是(4)和左边是意味着数量的步骤(5)类似地,方差是由(6)和均方根偏差是(7)现在考虑距离的分布旅行一个给定数量的步骤之后,(8)而不是步骤的数量在一个给定的方向。以上情节展示为和三个值,,,分别。显然,权重的步骤向一个方向或另一影响总体趋势,但仍有大量的随机散射,强调下面的情节,显示所有与三个随机漫步.令人惊讶的是,最可能的数量的变化迹象散步是0,其次是1、2等。对于一个随机游走的概率给定距离的旅行后在下表中给出的步骤。步骤0123450110200300040000500000在这个表中,后续行被发现通过添加一半每个细胞在一个给定的行下面对角的两个细胞。事实上,它是简单的帕斯卡三角形垫与零干预和每一行的1/2乘以一个额外的因素。的系数在这个三角形的(9)(Papoulis1984,p.1984)。的时刻(10)这种分布的距离然后由签署(11)(12)(13)(14)因此,的意思是是,偏态是,峰度多余的是(15)后的期望价值绝对距离因此给出的步骤(16)(17)这个和可以单独考虑象征性的情况下完成甚至和奇怪的。首先,考虑甚至这。然后(18)(19)(20)(21)但这和可以评估分析(22)写作堵回去,简化了(23)在哪里是双!.现在考虑奇怪的,所以。然后(24)(25)(26)(27)(28)但这和可以评估分析(29)写作堵回去,简化了(30)(31)(32)这两个甚至和奇怪的解决方案可以写的作为(33)或显式的作为(34)(35)的头几个值为,1,…因此0,1,1,3/2,3/2,15/8,15/8,35/16,35/16,…(OEISA086116和A060818普雷沃斯特1933;阿布拉莫维茨和Stegun1972年,休斯1995),每一对给出的条款生成函数(36)这些数字也会出现heads-minus-tails分布.现在,检查的渐近性态。的渐近展开γ函数比例是(37)(Grahametal.1994年),所以插入的表达式给出了渐近级数(38)顶部迹象在哪里了甚至和底部的迹象奇怪的。因此,对于大,(39)也是格林鲍姆(1960)所示,Mostelleretal。(1961年,p.14),和康尼锡etal。(1999)。托斯(2000)已经证明,没有超过三个访问最多的网站在一个简单的对称随机漫步在一维单元步骤。参见:随机漫步一个随机过程组成的固定长度的序列的离散步骤。随机热扰动在液体中负责一个随机游走的现象称为布朗运动,和气体分子的碰撞是一个随机游动扩散负责。随机漫步有趣的数学特性,根据维度的不同,有很大的行走发生以及是否仅限于晶格。参见:量子随机微积分让,一维布朗运动。集成与尊重定义了Ito(1951)。一个基本理论是随机的结果形式的积分方程(1)可以解释为随机微分方程的形式(2)差异在哪里处理Ito的公式的使用(3)(4)哈德逊和从事(1984)获得了福克空间布朗运动的代表泊松过程。玻色子福克空间在是希尔伯特空间完成指数向量的线性范围下内积(5)在哪里和和是复共轭的.湮灭,产生和保护符,和分别是定义在指数向量的如下所示,(6)(7)(8)基本的量子随机差异,,定义如下,(9)(10)(11)哈德森和从事(1984)定义随机整合对噪声的差异定义3和获得了Ito乘法表Hudson-Parthasarathy量子随机微积分的两个基本定理给出公式表达量子随机积分的矩阵元素的普通勒贝格积分。第一个定理指出(12)在哪里,,,(总的来说)时间适应过程。我们也和指数的领域,然后(13)第二个定理指出,如果(14)和(15)在哪里,,,,,,,(总的来说)与时间有关的适应过程和也和指数的领域,然后(16)连接古典与量子推断统计学的基本结果是过程和定义为(17)和(18)识别,通过他们的统计特性,如。,他们的泛函,真空特征(19)和(20)布朗运动和泊松过程的强度,分别。的框架内Hudson-Parthasarathy量子随机微积分,经典量子力学演化方程形式(21)(22)在那里,每,是酉算子定义的张量积一个系统的希尔伯特空间和噪声(或水库)福克空间。在这里,,,在,有限的空间上线性算子,统一的和自伴的。请注意,对方程(21)减少到一个经典的随机微分方程的形式(2)。在接下来我们确定长期有效的,有限的,系统空间操作符与他们的扩张来.量子随机微分方程(海森堡方程模拟量子力学可见)满意的量子流(23)在哪里是一个有界系统空间算子,是吗(24)(25)为.交换关系与运营商相关流程,是规范(或海森堡)变换关系,即(26)这个条目由聚(随机漫步的常数让是一个的概率随机漫步在一个-d格回到原点。1921年,聚(证明(1)但(2)为。沃森(1939),麦克雷博士和惠普尔(1940),Domb(1954),格拉瑟和朱克(1977)显示(3)(OEISA086230),(4)(5)(6)(7)(8)(9)(OEISA086231;Borwein和贝利2003年,Ch。2例20)是第三个沃森的三重积分模一个乘法常数,是一个第一类完全椭圆积分,是一个雅可比θ的函数,是γ函数.关闭表单不知道,但Montroll(1956)表明,对吗,(10)在哪里(11)(12)和是一个修改后的第一类贝塞尔函数.数值的从Montroll(1956)和Flajolet(芬奇2003)以下表中给出。斯隆3A0862300.3405374A0862320.1932065A0862330.1351786A0862340.1047157A0862350.08584498A0862360.0729126参见:绝对的公平一个随机变量序列,,……被称为绝对公平如果吗2……和(伐木机1971,p.1971)。参见:鞅一个随机变量序列,,……以有限的手段,这样的条件期望鉴于,,,...,等于,也就是说,(伐木机1971,p.1971)。这个术语最初是用来描述一种赌博,赌注是增加一倍或减半后损失或赢,分别。鞅的概念是由于征收,由杜布广泛开发。一个一维随机漫步与步骤等可能在两个方向()是一个鞅的例子。参见:Borel-Tanner分布让组排列1、2、…,让连续时间随机漫步结果当随机选择互换率1执行。让是身份的距离在时间,即,返回所需的最小数量的互换。当,,在那里(BerestyckiB