缀饰原子的本征态

第二章场和物质相互作用的半经典理论基础吉林大学硕士论文10缀饰原子的本征态在处理原子与场之间的强相互作用时，微扰理论不再适用。因为强电磁场的存在不仅会引起原子在其本征能级之间的跃迁，而且原子能级的特性和本征函数也发生了强烈的变化。缀饰原子方法是处理强相互作用的一种有效的方法，它不仅能够给出简捷的数学表达式，而且可清楚地阐明强光作用下的物理现象。这种方法是将原子和激光场看成统一的整体，称之为缀饰原子，此时原子被看成覆盖着强电磁场的外罩。这类原子哈密顿量的本征函数将构成新的函数空间，此空间不再纯属于原子或是电磁场，而是自由原子的本征态和自由电磁场的本征态的乘积的线性组合。进一步还可以将缀饰原子看作一种实体来研究它与其它电磁场的“弱”相互作用，这个作用可以看成是对自由缀饰原子的一种扰动，它将引起缀饰原子在其本征能态之间的跃迁，这个过程可采用微扰论来处理。下面我们以二能级原子与单模光场相互作用为例来讨论缀饰原子的本征态。如图2-3所示，c为强相干场的频率，为探测场的频率，2，3分别为能级1向能级2和3的衰减速率。推导缀饰态的表达式时，先忽略弱场的作第二章场和物质相互作用的半经典理论基础吉林大学硕士论文11图2-3三能级原子的缀饰态用，而只考虑强相干场的作用。在半经典理论中，相干场表示为].),([21ccetzEEti(2.5-1)旋转波近似下，系统的哈密顿写成：)1221(11GH(2.5-2)其中c12为相干场频率与原子共振频率之间的失谐，2/12EG,为相干场的Rabi频率，它表示了场与原子相互作用的强弱，在不考虑位相的情况下，我们设G为实数。H的本征方程为：0GG(2.5-3)解得：)G4(21221(2.5-4a))G4(21222(2.5-4b)224G(2.5-4c)第二章场和物质相互作用的半经典理论基础吉林大学硕士论文12由此可得缀饰原子的本征态为：2cos1sina(2.5-5a)2sin1cosb(2.5-5b)其中：222222442sinGGG(2.5-6a)2222222224442cosGGGG(2.5-6b)缀饰态之间的频率间隔为224Gab(2.5-7)下面我们以图2-3的三能级系统为例，说明如何在缀饰态表象中求出强场作用下介质对探测场的吸收系数。将态1和态2在缀饰态表象中展开有：bsinacos1(2.5-8)bcosasin2(2.5-9)在此，为了讨论问题方便起见，令强相干场与21之间的跃迁共振，则有)ba(211(2.5-10))ba(212(2.5-11)由麦克斯韦—布洛赫方程，介质的复极化率由下式决定13013EN2(2.5-12)第二章场和物质相互作用的半经典理论基础吉林大学硕士论文13介质的吸收系数)Im(gc)(N8Imc413213(2.5-13)其中的N为原子数密度，为探测场的频率，2/Eg130为探测场的Rabi频率。在缀饰态表象中)(213b3a13(2.5-14)3a，3b满足如下的密度矩阵方程)(igig)i(dtdaa33ab3aaa3a(2.5-15))(igig)i(dtdbb33ba3bbb3b(2.5-16)其中的G13aa(2.5-17)G13bb(2.5-18)131在只考虑对于g的一阶近似时，0baab，1bb33aa33将上式代入方程(2.5-15),(2.5-16)中，可得稳态下的解为第二章场和物质相互作用的半经典理论基础吉林大学硕士论文14a13a)G(iig(2.5-19)b13b)G(iig(2.5-20)其中的2/)(32ba。将式(2.5-19)，(2.5-20)代入式（2.5-14）中，可得)2)G(iig2)G(iig(2132132113(2.5-21)最后我们可以得到吸收系数))2()G(1)2()G(1(c)()(N22232212322132213(2.5-22)2.8原子的缀饰态在研究场与物质相互作用时，作用到物质内的光场可能是多个单模场，有的是强相干场，有的是弱探测场，人们关心的往往是在强相干场作用下弱探测场的行为变化。原则上讲，我们可以写出未扰原子系统及总场与原子系统相互作用哈密顿量，在未扰原子第二章场和物质相互作用的半经典理论基础吉林大学硕士论文15(即裸原子)的本征态中写出密度算符矩阵元方程，利用2.6及2.7节所描述的方法可以解出相应密度算符矩阵元的解析式。但这种在裸原子表象中给出的结果，其谱线结构的物理图象并不十分清晰。为了突出强场作用下，整个系统的物理过程，有时采用缀饰态表象，在缀饰态表象中，其结果具有清晰的物理图象。缀饰态可分为全量子缀饰态和半经典缀饰态。所谓的全量子缀饰态就是把场进行二次量子化，然后写出未扰原子系统、自由强场及强场与原子相互作用的哈密顿量，求出三者总哈密顿量的本征值及本征态函数，称该本征态为全量子缀饰态，以缀饰态为表象，再讨论弱场的探测行为。从物理上讲，就是把原子系统同强场看成是一紧密耦合的整体，它们的共同本征态(缀饰态)即不单单属于原子系统，也不仅仅属于强场，而是属于整体耦合的结果，可形象理解为强场给未扰原子态穿上了一层电磁场外衣，其它探测场的行为可在缀饰态表象中讨论。半经典缀饰态是将场看成经典场，写出原子系统的自由哈密顿量及总场与原子第二章场和物质相互作用的半经典理论基础吉林大学硕士论文16系统相互作用哈密顿量，然后，将自由电子哈密顿量分成两部分，一部分与强场能量相等，另一部分是与强场能量的差，将差值部分与相互作用哈密顿量合起来作为相互作用图象中的哈密顿量，求其本征能量及本征态，这组新的本征态称为半经典缀饰态。之所以这样处理，是因为虽然半经典缀饰态的绝对本征能量与全量子缀饰态的绝对本征能量不同，但全量子态中的本征能量的差值与半经典缀饰态中的本征能量的差值是完全相同的，两者本征函数也相同(这一点将在下面的讨论中看到),所以在半经典缀饰态表象中同样可以对计算结果给出清晰的物理解释。本节根据二能级理论模型，总结一下全量子和半经典缀饰态的本征能量及本征函数的推导过程。第二章场和物质相互作用的半经典理论基础吉林大学硕士论文17一.全量子缀饰态考虑如Fig.2.8.1所示的强场作用下的二能级原子系统，包括强场在内的系统总的二次量子化哈密顿量(不包括弱探测场p)为：HHHHHaaHbbbbHgbbagbbaTfeiffei1112222112*(2.8.1)其中g为相应的偶极跃迁系数，Hf,He,Hi分别为自由光场、自由电子及光场与原子相互作用的哈密顿量。设自由电子与自由光场的哈密顿量的共同本征态为:......,,,,,,,,......112121nnnn(2.8.2)在两维子空间中，即在112,,,nn表象中，求HT的本征ppf|1|2Fig.2.8.1第二章场和物质相互作用的半经典理论基础吉林大学硕士论文18能量及本征函数。对应HT的本征值方程为：1210()*nEGGnEff(2.8.3)其中Ggn()1,(2.8.3)的本征能量解为：EnGf121222212124,()(2.8.4)其中f()21为强场与原子能级间的失谐。由(2.8.4)式，可以讨论自由电子的本征能量、自由光波场的本征能量、自由电子与自由光波场的未扰共同本征能量及总的本征能量。1.自由电子的本征能量，即令(2.8.4)中的fG00,EEEEE11222121()(2.8.5)2.自由光波场的本征能量，即令(2.8.4)中的1200,GEnEnEEEfff12211()(2.8.6)第二章场和物质相互作用的半经典理论基础吉林大学硕士论文193.自由电子和自由光波场的共同本征能量，即令(2.8.4)中的G＝0EnEnEEEfff122121211()()(2.8.7)4.总哈密顿量HT的本征能量EnGEnGEEEGff112222122221222121242121244()()(2.8.8)同理，HT在|1,n,|2,n-1两维子空间中的能量本征值为：EnGEnGEEEGff112222122221222121242121244()()(2.8.9)第二章场和物质相互作用的半经典理论基础吉林大学硕士论文20上述(2.8.5)-(2.8.9)式在四维子空间中各种哈密顿量的本征能量对应的能级如Fig.2.8.2所示。HT的二维本征函数|a,n,|b,n可由He+Hf的二维本征函数进行线性组合，即anCnCnbnCnCn,,,,,,1234112112(2.8.10)其系数满足如下形式的本征方程1210＋()*nEGGnExyff(2.8.11)|1|2|n+1|n|1,n+1|2,n|1,n|2,n-1|b,n|a,n|b,n-1|a,n-1224G224G21fffHe的本征态Hf的本征态He+Hf的本征态He+Hf+Hi的本征态Fig.2.8.2第二章场和物质相互作用的半经典理论基础吉林大学硕士论文21将(2.8.8)的本征能量E1和E2分别代入(2.8.11)中，并注意如下的规一化关系：CCCCCCCC1122334411****(2.8.12)可得：sin()()cos()()sin()cos()cos()()cos()sin()sin()cos()**22222222222221234444244142GGGGGGtgGGCCCC(2.8.13)因此HT的本征函数可写成：annnbnnn,cos(),sin(),,sin(),cos(),*112112(2.8.14)如果，£0,即共振情况，由(2.8.13)式可知，(2.8.14)将变成：第二章场和物质相互作用的半经典理论基础吉林大学硕士论文22annnbnnn,(,,),(,,)1211212112(2.8.15)二.半经典缀饰态将场按经典场处理，即EztEzteCCffoit(,)[(,).]12(2.8.16)系统的哈密顿量为(不包括自由光场):HHHHbbbbHbbbbETeiei11122221211212()(2.8.17)为方便，令10,并注意到2f,在旋转波近似下,(2.8.17)变成：HHHHbbHbbGbbeGbbeGETabafbititoff22222112212()*(2.8.18)在相互作用图象中，第二章场和物质相互作用的半经典理论基础吉林大学硕士论文23~()*HeHebbGbbGbbbibbtbibbtff2222222112(2.8.19)上式运算时用了公式(2.3.17)。在裸原子表象|1,|2中，~Hb的本征方程为：00EGGE*(2.8.20)(2.8.20)的能量本征解为:EG