缓和曲线的坐标公式及推导

第一章缓和曲线的坐标公式如图1-1所示,其坐标系是以缓和曲线起点ZH为原点O，以切线为x轴，以过原点的曲线半径为y轴。若原点O至P点的缓和曲线长度为，过P点切线与x轴的交角为β（即半径由∞变至的中心角）。若P有微小变化至P′时，则增长，（x,y）增长（）,则有以下关系，图1-1得，（2-1）由公式(常数)得知，故有则将上式代入（1-1）式中，得即（2-2）以及的关系代入上式得即以代入上式得（2-3）上式即为缓和曲线上任一点直角坐标（x,y）的计算公式。缓和曲线上任一点P的切线与x轴的交角，称为缓和曲线螺旋角，或称缓和曲线角。其计算可由前面公式得（弧度）（2-4）若将代入（2-4）及（2-3）式中，则有以下结果：（2-5）上式即为缓和曲线终点HZ（ZH）的坐标及螺旋角的计算公式。第二章圆曲线要素及计算公式如图2-1所示，两相邻直线偏角（线路转向角）为，选定其图2-1连接曲线圆曲线的半径为R，这样，圆曲线和两直线段的切点位置ZY点、YZ点便被确定下来，我们称为对圆曲线相对位置起控制作用的直圆点ZY、圆直点YZ和曲中点QZ为圆曲线三主要点。我们称R、α以及具体体现三主要点几何位置的切线长T、曲线长L、外矢距E和切曲差（切线长和曲线长之差）D为曲线6要素。只要知道了曲线6要素，便可于实地测放出圆曲线。现将圆曲线的元素列下：：转向角（实地测出）R：曲率半径（设计给出）T：切线长（计算得出）L：曲线长（计算得出）D：切曲差（计算得出）偏角是在线路祥测时测放出的，圆曲线半径R是在设计中根据线路的等级以及现场地形条件等因素选定的，其余要素可根据以下公式计算：第三章偏角法测设介绍偏角法是一种极坐标标定点位的方法，它是用偏角和弦长来测设圆曲线细部。如图3-1所示，1，2…，，…，n为设计之详测点，邻点间距均为c，弦长c所对应的圆心角为。当放样至详测点时，可在ZY点置镜，后视JD方向，拨出偏角,再自-1点量距C和拨出的视线方向交会，即得出点。图3-1若弦长c所对应的弧长为C′，可根据弦切角等于其所对应圆心角之半求出各点的偏角：实际作业中，有时为了测量和施工的方便，一般要求圆曲线详测点的里程尾数为选定弧长C′的整数倍。但ZY点、YZ点及QZ的里程尾数却不一定为C′的整数倍，这样在曲线的两端则出现小于C′的分弦。第四章圆曲线要素计算及测设根据提供资料，=40º20′（右）,R=100米，转角点JD的桩号为K3+135.12，用偏角法测设各桩点（规定桩距为20米）。切线长：曲线长:外矢距：切曲差：经计算，T=36.73L=70.40E=6.53根据JD的桩号为K3+135.12，则：JD桩号K3+135.12-)T36.73ZY桩号K3+098.39+)L70.40YZ桩号K3+098.39-)L/235.20QZ桩号K3+133.59+)D/21.53JD桩号K3+135.12所以，经计算交点的里程与校核计算相符。第一节仪器安置在ZY点上的施测法一、在ZY点上施测法11．计算根据转折角和半径R及交点桩计算三主点的桩号为：ZY：K3+098.39；QZ：K3+133.59；YZ：K3+168.79。因ZY点的里程为3+098.39，在曲线上，它前面最近的整里程为3+100.00，所以起始弧长=（3+100）-（3+098.39）=1.61（m）。又因点YZ点的里程为3+168.79，在曲线上，它后面最近的里程为3+160.00，弧长=(3+168.79)-(3+160.00)=8.79（m）。现将计算的偏角值到列表如表4-1，供测设时使用。为检查计算有无错误，可与总偏角核对。本次研究课题中的总偏点号里程相邻桩点间的弧长偏角单角累计值ZYK3+098.391.6100º27′40″00º27′40″+100.0020.0005º43′46″06º11′26″+120.0013.5903º53′36″10º05′02″QZK3+133.596.4101º50′11″11º55′26″+140.0020.0005º43′46″17º38′59″+160.008.7902º31′05″20º10′04″YZK3+168.79表4-1角为=20º10′00″，与计算之总偏角20º10′05″相差05″，这是因为偏角表计算至秒为止，秒后数值四舍五入所造成的误差，与测量精度无影响，属容许误差。2、施测方法：如图4-1所示，将仪器安置在ZY点上，全站仪显示对准0º0′0″，后视JD，然后旋转望远镜，拨至第一桩点K3+100.00的偏角0º27′40″，从ZY点起沿此方向量出第一段曲线长1.61米相应的弦长，定出第一桩点。再拨至第二桩点K3+120.00的偏角6º11′26″，从第一桩点量出第二段曲线长20米相应的弦长，交出第二桩点。依此法逐一测设曲线间所有各桩点。图4-1核对方法：用偏角法测至YZ点，如与预先测得YZ点位置相同，则说明施测之曲线正确。二、在ZY点上施测法2置仪器于ZY点上，也可用曲线内第一整桩点作为累计偏角的起始点进行施测。1、计算同前所计算，第一段曲线长为1.61米，相应的偏角为0º27′40″，现将计算的偏角值到列表如表4-2。点号里程每个桩点与第一个桩点K3+100间的弧长偏角单角累计值ZYK3+098.39-1.61-00º27′40″259º32′20″1.6100º27′40360º00′00″+100.0000º00′00″+120.0020.0005º43′46″QZK3+133.5933.5909º37′23″+140.0040.0011º27′33″+160.0060.0017º11′19″YZK3+168.7968.7919º42′25″表4-2检查方法按总偏角核对，该课题的总偏角为=20º10′00″，与计算之总偏角19º42′25″+0º27′40″=20º10′05″相差05″，属容许误差。2、施测方法将仪器安置在ZY点上，全站仪显示对准359º32′20″后视JD，然后旋转望远镜，拨角度0º27′40″则全站仪显示对在0º0′0″上，从ZY点起沿此方向量出第一段曲线长1.61米相应的弦长，定出第一桩点。再拨至第二桩点K3+120.00的偏角5º43′46″，从第一桩点量出第二段曲线长20米相应的弦长，交出第二桩点。依此法逐一测设曲线间所有各桩点。核对方法同前。此法优点是第一桩点后各桩点，特别是查桩点的偏角查算简单。第二节全站仪安置在QZ点上施测法一、全站仪安置在QZ点上施测法1此法以QZ点为计算起点，算出各桩点偏角。1、计算现将计算的偏角值到列表如表4-3，供测设时使用。点号里程相邻桩点间的弦长偏角单角累计值QZK3+133.59（向左）13.5903º53′36″356º06′24″+12020.005º43′46″350º22′38″+1001.610º27′40″349º54′58″ZYK3+098.39QZK3+133.59（向右）6.4101º50′11″01º50′11″+14020.005º43′46″07º33′57″+1608.792º40′06″10º05′03″ZYK3+168.79表4-3检查方法按核对时，此时=10º05′00″，ZY偏角为360º00′00″-349º54′58″=10º05′02″，YZ偏角为10º05′03″，属容许误差。2、施测方法如图4-2，将仪器安置在QZ点上，全站仪显示对准270º00′00″后视JD，然后旋转望远镜，拨角度0º00′00″，此方向即为QZ点之切线方向，然后根据计算之各桩点偏角值与各桩点间曲线长度，自QZ点起分别向ZY和YZ两个方向同前述方法依次测设曲线间各桩点。核对方法：用偏角法测至ZY、YZ点，如与预先测得ZY、YZ点位置相符，则说明正确。图4-2二、全站仪安置在QZ点上施测法2置仪器与QZ点上，也可用ZY点作为计算起点进行施测。1、计算现将计算的偏角值到列表如表4-4，供测设时使用。检查方法按总偏角核对，总偏角=20º10′00″，与计算之总偏角200º10′05″-180º00′00″=20º10′05″，差05″，属容许误差。2、施测方法点号里程相邻桩点间的弧长偏角单角累计值ZYK3+098.391.6100º27′40″00º27′40″+100.0020.0005º43′46″06º11′26″+120.0013.5903º53′36″10º05′02″QZK3+133.59倒镜180º00′00″6.4101º50′11″191º55′13″+140.0020.0005º43′46″1977º38′59″+160.008.7902º31′06+″200º10′05″YZK3+168.79表4-4将仪器安置在QZ点上，全站仪显示对准00º00′00″后视ZY点。根据计算之各桩点偏角值与各桩点间曲线长度，同前述方法逐个测点QZ点前半个曲线的各桩点后，将全站仪显示对在QZ点的偏角10º05′02″上，然后倒镜，再依次测设QZ点后半个曲线间的各桩点。核对方法：用偏角法测至YZ点，如与预先测得YZ点位置相符，则说明正确。三、将全站仪安置在YZ点亦可施测，其方法与置仪器在YZ点相同，但偏角方向相反，施测时要用反拨偏角值，360º减去其弦切角方向为偏角值。第三节全其它施测法如果前述方法不宜测定曲线全部桩点，则可将全站仪安置在曲线上任意适当的桩点进行施测。如图4-3所示，若仪器在K3+120点，将全站仪显示对准00º00′00″或对准K3+100点的偏角00º27′40″，倒镜后视ZY点或后视K3+100点，并固定下盘，反转望远镜为正镜，是全站仪显示对准K3+133.59的偏角10º05′02″上，亦可定出K3+133.59点。同法依次测设曲线间其它各桩点。图4-3平曲线主点名称及缩写表名称简称汉语拼音缩写英语缩写交点JDIP转点ZDTP圆曲线起点直圆点ZYBC圆曲线中点曲中点QZMC圆曲线终点圆直点YZEC公切点GQCP第一缓和曲线起点直缓点ZHTS第一缓和曲线终点缓圆点HYSC第二缓和曲线起点圆缓点YHCS第二缓和曲线终点缓直点HZST§11-4圆曲线测设摘要内容：圆曲线是具有一定曲率半径的圆弧线，其测设一般分两步进行。先测设对圆曲线起控制作用的主点桩，即圆曲线的起点（ZY）、中点（QZ）和终点（YZ）；然后在主点桩之间进行加密，按规定桩距测设圆曲线的其它各点，称之为圆曲线的详细测设。讲课重点：圆曲线测设元素的计算、测设。讲课难点：圆曲线详细测设的方法。讲授重点内容提要：一、圆曲线测设元素的计算设交点JD的转角为α，圆曲线半径为R，则圆曲线的测设元素可按下列公式计算：LTDRERLRT212sec1802tan切曲差距外曲线长切线长二、圆曲线主点测设1.主点里程的计算交点JD的里程是由中线丈量中得到，根据交点的里程和圆曲线测设元素，即可推算圆曲线上各主点的里程并加以校核。)(/校核里程里程里程里程里程里程里程里程22DQZJDLYZQZLZYYZTJDZY（注意：圆曲线终点里程YZ应为圆曲线起点里程ZY加上圆曲线长L，而不是交点里程加切线长T，即YZ里程≠JD里程+T。因为在路线转折处道路中线的实际位置应为曲线位置，而非切线位置。）2.主点的测设定向、量距。§11-3路线转角的测定和里程桩设置摘要内容：转角是指交点处后视线的延长线与前视线的夹角，以α表示，转角有左右之分。位于延长线右侧的，为右转角y；位于延长线左侧的，为左转角z。转角可直接测量或测量交点坐标反算。里程桩的设置是标定道路中线具体位置的工作。讲课重点：转角概念、里程桩类型讲课难点：中桩的设置桩距及精度要求。讲授重点内容提要：一、路线转角的测定1.转角：是指交点处后视线的延长线与前视线的夹角，以α表示。（说明：转角有左右之分，位于延长线右侧的，为右转角αy；位于延长线左侧的，为左转角αz。在路线测量中，转角通常是通过观测路线右角β计算求得。当右角β180º时，为右转角αy=180