网络安全与保密作业封面

网络安全与保密作业题目RSA算法的介绍与实现学院电子工程学院专业信息对抗(021131班）学生姓名郝志婧(02113098)导师姓名胡建伟目录一、产生背景………………………………1二、RSA概述………………………………2三、数论知识………………………………3四、算法描述………………………………7五、流程图………………………………8六、编程代码………………………………9七、运行结果………………………………12八、RSA的缺点………………………………121RSA算法的介绍与实现一、产生背景1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式：（1）甲方选择某一种加密规则，对信息进行加密；（2）乙方使用同一种规则，对信息进行解密。由于加密和解密使用同样的规则（简称“密钥”），这被称为”对称加密算法“。这种加密模式有一个最大弱点：甲方必须把加密规则告诉乙方，否则无法解密。因此，保存和传递密钥，就成了最头疼的问题。1976年，两位美国计算机学家WhitfieldDiffie和MartinHellman，提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成解密。这被称为Diffie-Hellman密钥交换算法。这个算法启发了其他科学家。人们认识到，加密和解密可以使用不同的规则，只要这两种规则之间存在某种对应关系即可，这样就避免了直接传递密钥。这种新的加密模式被称为非对称加密算法，是一种“由已知加密密钥推导出解密密钥在计算上是不可行的”密码体制。（1）乙方生成两把密钥（公钥和私钥）。公钥是公开的，任何人都可以获得，私钥则是保密的。（2）甲方获取乙方的公钥，然后用它对信息加密。（（3）乙方得到加密后的信息，用私钥解密。如果公钥加密的信息只有私钥解得开，那么只要私钥不泄漏，通信就是安全的。2二、RSA概述RSA是在1978年，由美国麻省理工学院(MIT)的Rivest、Shamir和Adleman在题为《获得数字签名和公开钥密码系统的方法》的论文中提出的。RSA算法是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法，因此它为公用网络上信息的加密和鉴别提供了一种基本的方法。它通常是先生成一对RSA密钥，其中之一是保密密钥，由用户保存；另一个为公开密钥，可对外公开，甚至可在网络服务器中注册，人们用公钥加密文件发送给个人，个人就可以用私钥解密接受。这种算法非常可靠，密钥越长，它就越难破解。根据已经披露的文献，目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说，长度超过768位的密钥，还无法破解（至少没人公开宣布）。因此可以认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥极其安全。公钥加密算法中使用最广的是RSA。RSA算法研制的最初理念与目标是努力使互联网安全可靠，旨在解决DES算法秘密密钥的利用公开信道传输分发的难题。而实际结果不但很好地解决了这个难题；还可利用RSA来完成对电文的数字签名以抗对电文的否认与抵赖；同时还可以利用数字签名较容易地发现攻击者对电文的非法篡改，以保护数据信息的完整性。此外，RSA加密系统还可应用于智能IC卡和网络安全产品。3三、数论知识（1）互质关系如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系（coprime）。比如，15和32没有公因子，所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。关于互质关系，不难得到以下结论：1.任意两个质数构成互质关系，比如13和61。2.一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。3.如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。4.1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。5.p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。6.p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。（2）欧拉函数请思考以下问题：任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之4中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以φ(n)=4。φ(n)的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。第一种情况如果n=1，则φ(1)=1。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。第二种情况如果n是质数，则φ(n)=n-1。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。第三种情况如果n是质数的某一个次方，即n=p^k(p为质数，k为大于等于1的整数)，则1kkkppp。比如φ(8)=φ(2^3)=2^3-2^2=8-4=4。这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。上面的式子还可以写成下面的形式：pppppkkkk111可以看出，上面的第二种情况是k=1时的特例。第四种情况如果n可以分解成两个互质的整数之积，n=p1×p2则2121ppppn5即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。这一条的证明要用到中国剩余定理，这里就不展开了，只简单说一下思路：如果a与p1互质(ap1)，b与p2互质(bp2)，c与p1p2互质(cp1p2)，则c与数对(a,b)是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对(a,b)有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。第五种情况因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。rkrkkpppn2121根据第4条的结论，得到rkrkkpppn2121再根据第3条的结论，得到rkrkkppppppnr111111212121也就等于rpppnn11111121这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323的欧拉函数，计算过程如下：7567113111323731323236（3)欧拉定理欧拉函数的用处,在于欧拉定理。欧拉定理指的是：如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数φ(n)可以让下面的等式成立：nnmod1也就是说，a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说，a的φ(n)次方减去1，可以被n整除。比如，3和7互质，而7的欧拉函数φ(7)等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）。欧拉定理的证明比较复杂，这里就省略了。我们只要记住它的结论就行了。欧拉定理可以大大简化某些运算。比如，7和10互质，根据欧拉定理，10mod1710已知φ(10)等于4，所以马上得到7的4倍数次方的个位数肯定是1。因此，7的任意次方的个位数（例如7的222次方），心算就可以算出来。欧拉定理有一个特殊情况。假设正整数a与质数p互质，因为质数p的φ(p)等于p-1，则欧拉定理可以写成ppmod11这就是著名的费马小定理。它是欧拉定理的特例。欧拉定理是RSA算法的核心。理解了这个定理，就可以理解RSA。(4)模反元素如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得ab-1被n整除，或者说ab被n除的余数是1。7nabmod1这时，b就叫做a的模反元素。比如，3和11互质，那么3的模反元素就是4，因为(3×4)-1可以被11整除。显然，模反元素不止一个，4加减11的整数倍都是3的模反元素{...,-18,-7,4,15,26,...}，即如果b是a的模反元素，则b+kn都是a的模反元素。欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。naaannmod11可以看到，a的φ(n)-1次方，就是a的模反元素。四、算法描述1.确定密钥的宽度。2.随机选择两个不同的素数p与q,它们的宽度是密钥宽度的1/23.计算出p和q的乘积n4.在2和Φ(n)之间随机选择一个数e,e必须和Φ(n)互素，整数e用做加密密钥（其中Φ(n)=(p-1)*(q-1)5.从公式ed≡1modΦ(n)中求出解密密钥d6.得公钥（e，n）,私钥(d,n)7.公开公钥，但不公开私钥。8.将明文P(假设P是一个小于n的整数)加密为密文C，计算方法为：C=epmodn89.将密文C解密为明文P，计算方法为：P=dcmodn然而只根据n和e（不是p和q）要计算出d是不可能的。因此，任何人都可对明文进行加密，但只有授权用户（知道d）才可对密文解密。五、流程图1、密钥产生模块：92、解加密流程模块：六、编程代码#includeiostreamusingnamespacestd;intmain(){10intp,q,N;inti,D,E,PT,CT;cout*****RSA加密算法*****endlendl;cout输入两个素数p和q:\n;cinp;cinq;N=(p-1)*(q-1);for(i=2;iN;i++){if(N%i==0){couti;}}cout\n\n输入一个数，该数不等于上面的任何一个数！endl;cinE;i=1;while(i0){if((i*E)%N==1){11D=i;coutDendl;break;}i++;}cout输入需要加密的明文!endl;cinPT;intj=PT;for(i=1;iE;i++){PT*=j;}cout\n加密后的密文是:;CT=PT%(p*q);coutCTendl;cout\n*****RSA解密算!*****\n\n;cout接收的密文是CTendl;cout密钥是：Dendl;cout解密后的明文是：\n;PT=CT;for(j=1;jD;j++)12{PT=(PT*CT)%(p*q);}coutPTendl;return0;}七、运行结果八、RSA的缺点1）产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。2）安全性，RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从13理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价，而且密码学界多数人士倾向于因子分解不是NP问题。现今，人们已能分解140多个十进制位的大素数，这就要求使用更长的密钥，速度更慢；另外，人们正在积极寻找攻击RSA的方法，如选择密文攻击，一般攻击者是将某一信息作一下伪装（Blind），让拥有私钥的实体签署。然后，经过计算就可得到它所想要的信息。实际上，攻击利用的都是同一个弱点，即存在这样一个事实：乘幂保留了输入的乘法结构：（XM)d=Xd*Mdmodn前面已经提到，这个固有的问题来自于公钥密码系统的最有用的特征--每个人都能使用公钥。但从算法上无法解决这一问题，主要措施有两条：一条是采用好的公钥协议，保证工作过程中实体不对其他实体任意产生的信息解密，不对自己一无所知的信息签名；另一条是决不对陌生人送来的随机文档签名，签名时首先使用One-WayHashFunction对文档作HASH处理，或同时使用不同的签名算法。除了利用公共模数，人们还尝试一些利用解密指数或φ（n）等等攻击.3）速度太慢，由于RSA的分组长度太大，为保证安全性，n至少也要600bitx以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。SET(SecureElectronicTransaction）协议中要求CA采用2048比特长的密钥，其他实体使用1024比特的密钥。为了速度