小信号分析法重点笔记..

开关电源的反馈环路设计是开关电源设计的一个非常重要的部分，它关系到一个电源性能的好坏。要设计一个好的环路，必须要知道主回路的数学模型，然后根据主回路的数学模型，设计反馈补偿环路。开关电源是一个非线性系统，但可以对其静态工作点附近进行局部线性化，这种方法称为小信号分析法。以一个CCM模式的BOOST电路为例其增益为：其增益曲线为：其中M和D之间的关系是非线性的。但在其静态工作点M附近很小的一个区域范围内，占空比的很小的扰动和增益变化量之间的关系是线性的。因此在这个很小的区域范围内，我们可以用线性分析的方法来对系统进行分析。这就是小信号分析的基本思路。因此要对一个电源进行小信号建模，其步骤也很简单，第一步就是求出其静态工作点，第二步就是叠加扰动，第三步就是分离扰动，进行线性化，第四步就是拉氏变换，得到其频域特性方程，也就是我们说的传递函数。要对一个变换器进行小信号建模，必须满足三个条件,首先要保证得到的工作点是“静”态的。因此有两个假设条件：1，一个开关周期内，不含有低频扰动。因此叠加的交流扰动小信号的频率应该远远小于开关频率。这个假设称为低频假设2，电路中的状态变量不含有高频开关纹波分量。也就是系统的转折频率要远远小于开关频率。这个假设称为小纹波假设。其次为了保证这个扰动是在静态工作点附近，因此有第三个假设条件：3，交流小信号的幅值必须远远小于直流分量的幅值。这个称为小信号假设。对于PWM模式下的开关电源，通常都能满足以上三个假设条件，因此可以使用小信号分析法进行建模。对于谐振变换器来说，由于谐振变换器含有一个谐振槽路。在一个开关时区或多个开关时区内，谐振槽路中各电量为正弦量，或者其有效成分是正弦量。正弦量的幅值是在大范围变化的，因此在研究PWM型变换器所使用的“小纹波假设”在谐振槽路的小信号建模中不再适用。对于谐振变换器，通常采用数据采样法或者扩展描述函数法进行建模。以一个CCM模式下的BUCK电路为例，应用上面的四个步骤，来建立一个小信号模型。对于一个BUCK电路当开关管开通时，也就是在(0-DTs)区间。其状态方程为当开关管S断开时，二极管D导通，忽略二极管D的压降，可得到等效电路其状态方程为：将状态变量在一个开关周期内求平均，简化后得到：这便是一个开关周期内的状态方程，基于上面的低频和小纹波假设，变换器在一个开关周期内是稳定的，因此这也是其静态工作点的方程。对上面的稳态方程叠加扰动，可以得到以下方程：进行分解后为：将稳态方程代入分解后的扰动方程，便可将扰动方程进行分离：基于上面的第三个假设，即小信号假设，因此可以忽略掉,因此可以得到CCM模式下BUCK的小信号方程：对于一个开关电源，我们的控制目标是输出电压，控制变量是占空比D。因此，我们可以忽略掉输入电压扰动，得到占空比扰动所对应的输出电压的扰动方程。对上面的方程进行拉氏变换，得到其频域方程：将两个方程进行整合，可以得到占空比的扰动与输出电压扰动之间的关系：化简后就可以得到：从上面的方程已经很清晰的看到输出电压扰动与占空比扰动之间的关系，将其移项便可以得到CCMBUCK的传递函数：小信号分析法主要是状态空间平均法，由美国加里福尼亚理工学院的R.D.Middlebrook于1976年提出，可以说这是电力电子学领域建模分析的第一个真正意义的重大突破。后来出现的如电流注入等效电路法、等效受控源法（该法由我国学者张兴柱于1986年提出）、三端开关器件法等，这些均属于电路平均法的范畴。平均法的缺点是明显的，对信号进行了平均处理而不能有效地进行纹波分析；不能准确地进行稳定性分析；对谐振类变换器可能不大适合；关键的一点是，平均法所得出的模型与开关频率无关，且适用开关电源条件是电路中的电感电容等产生的自然频率必须要远低于开关频率，准确性才会较高。大信号分析法有解析法、相平面法、大信号等效电路模型法、开关信号流法、n次谐波三端口模型法、KBM法及通用平均法。还有一个是我国华南理工大学教授丘水生先生于1994年提出的等效小参量信号分析法，不仅适用于PWM变换器也适用于谐振类变换器，并且能够进行输出的纹波分析。建模的目的是为了仿真，继而进行稳定性分析。1978年，R.Keller首次运用R.D.Middlebrook的状态空间平均理论进行开关电源的SPICE仿真。近30年来，在开关电源的平均SPICE模型的建模方面，许多学者都建立了开关电源各种各样的模型理论，从而形成了各种SPICE模型。这些模型各有所长，比较有代表性的有：Dr.SamBenYaakov的开关电感模型；Dr.RayRidley的模型；基于Dr.VatcheVorperian的Orcad9.1的开关电源平均Pspice模型；基于StevenSandler的ICAP4的开关电源平均Isspice模型；基于Dr.VincentG.Bello的Cadence的开关电源平均模型等等。在使用这些模型的基础上，结合变换器的主要参数进行宏模型的构建，并利用所建模型构成的DC-DC变换器在专业的开关电源仿真软件（如Matlab、Pspice等）平台上进行直流分析、小信号分析以及闭环大信号瞬态分析。设计一个具有良好动态和静态性能的开关电源时，控制环路的设计是很重要的一个部分。而环路的设计与主电路的拓扑和参数有极大关系。为了进行稳定性分析，有必要建立开关电源完整的小信号数学模型。在频域模型下，波特图提供了一种简单方便的工程分析方法，可用来进行环路增益的计算和稳定性分析。由于开关电源本质上是一个非线性的控制对象，因此，用解析的办法建模只能近似建立其在稳态时的小信号扰动模型，而用该模型来解释大范围的扰动（例如启动过程和负载剧烈变化过程）并不完全准确。好在开关电源一般工作在稳态，实践表明，依据小信号扰动模型设计出的控制电路，配合软启动电路、限流电路、钳位电路和其他辅助部分后，完全能使开关电源的性能满足要求。开关电源一般采用Buck电路，工作在定频PWM控制方式。Buck电路电感电流连续时的小信号模型图1为典型的Buck电路，为了简化分析，假定功率开关管S和D1为理想开关，滤波电感L为理想电感（电阻为0），电路工作在连续电流模式（CCM）下。Re为滤波电容C的等效串联电阻，Ro为负载电阻。各状态变量的正方向定义如图1中所示。S导通时，对电感列状态方程有L(dil/dt)=Uin－Uo（1）S断开，D1续流导通时，状态方程变为L(dil/dt)=－Uo（2）占空比为D时，一个开关周期过程中，式（1）及式（2）分别持续了DTs和（1－D）Ts的时间（Ts为开关周期），因此，一个周期内电感的平均状态方程为L(dil/dt)=D(Uin－Uo)＋(1－D)(－Uo)=DUin－Uo（3）稳态时DUin=0，则DUin=Uo。这说明稳态时输出电压是一个常数，其大小与占空比D和输入电压Uin成正比。由于电路各状态变量总是围绕稳态值波动，因此，由式（3）得L[d(il+il')/dt]=(D＋d)(Uin＋Uin')－(Uo＋Uo')（4）式（4）由式（3）的稳态值加小信号波动值形成。上标为波浪符的量为波动量，d为D的波动量。式（4）减式（3）并略去了两个波动量的乘积项得L(dil'/dt)=DUin'＋dUin－Uo'（5）由图1，又有iL=C(duc/dt)＋Uo/R0（6）Uo=Uc＋ReC(duc/dt)（7）式（6）及式（7）不论电路工作在哪种状态均成立。由式（6）及式（7）可得iL＋ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo＋CRo(duo/dt))（8）式（8）的推导中假设ReRo。由于稳态时dil/dt=0，dUo/dt=0，由式（8）得稳态方程为iL=Uo/Ro。这说明稳态时电感电流平均值全部流过负载。对式（8）中各变量附加小信号波动量得式（9）减式（8）得iL+ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo＋CRo(dUo/dt))（10）将式（10）进行拉氏变换得iL(s)=(Uo(s)/Ro)·[(1+sCRo)/(1+sCRe)](11)一般认为在开关频率的频带范围内输入电压是恒定的，即可假设=0并将其代入式（5），将式（5）进行拉氏变换得sLiL'(s)=d(s)Uin－Uo'(s)（12）由式（11），式（12）得Uo'(s)/d(s)=Uin[(1+sCRe)/(s2LC+s(ReC+L/Ro)+1]（13）iL'(s)/d(s)=[(1+sCRo)/s2LC+s(ReC+L/Ro)+1]·Uin/Ro（14）式(13)，式(14)便Buck电路在电感电流连续时的控制－输出小信号传递函数。2电压模式控制（VMC）电压模式控制方法仅采用单电压环进行校正，比较简单，容易实现，可以满足大多数情况下的性能要求，如图2所示。图2中，当电压误差放大器（E/A）增益较低、带宽很窄时，Vc波形近似直流电平，并有D=Vc/Vs（15）d=Vc'/Vs（16）式（16）为式（15）的小信号波动方程。整个电路的环路结构如图3所示。图3没有考虑输入电压的变化，即假设Uin=0。图3中，（一般为0）及分别为电压给定与电压输出的小信号波动；KFB=UREF/Uo，为反馈系数；误差e为输出采样值偏离稳态点的波动值，经电压误差放大器KEA放大后，得；KMOD为脉冲宽度调制器增益，KMOD=d/=1/Vs；KPWR为主电路增益，KPWR=/d=Uin；KLC为输出滤波器传递函数，KLC=(1+sCRe)/[S2LC+s(ReC+L/Ro)+1]。在已知环路其他部分的传递函数表达式后，即可设计电压误差放大器了。由于KLC提供了一个零点和两个谐振极点，因此，一般将E/A设计成PI调节器即可，KEA=KP(1＋ωz/s)。其中ωz用于消除稳态误差，一般取为KLC零极点的1/10以下；KP用于使剪切频率处的开环增益以－20dB/十倍频穿越0dB线，相角裕量略小于90°。VMC方法有以下缺点：1）没有可预测输入电压影响的电压前馈机制，对瞬变的输入电压响应较慢，需要很高的环路增益；2）对由L和C产生的二阶极点（产生180°的相移）没有构成补偿，动态响应较慢。平均电流模式控制含有电压外环和电流内环两个环路，如图4所示。电压环提供电感电流的给定，电流环采用误差放大器对送入的电感电流给定（Vcv）和反馈信号（iLRs）之差进行比较、放大，得到的误差放大器输出Vc再和三角波Vs进行比较，最后即得控制占空比的开关信号。图4中Rs为采样电阻。对于一个设计良好的电流误差放大器，Vc不会是一个直流量，当开关导通时，电感电流上升，会导致Vc下降；开关关断，电感电流下降时，会导致Vc上升。电流环的设计原则是，不能使Vc上升斜率超过三角波的上升斜率，两者斜率相等时就是最优。原因是：如果Vc上升斜率超过三角波的上升斜率，会导致Vc峰值超过Vs的峰值，在下个周波时Vc和Vs就可能不会相交，造成次谐波振荡。采用斜坡匹配的方法进行最优设计后，PWM控制器的增益会随占空比D的变化而变，如图5所示。当D很大时，较小的Vc会引起D较大的改变，而D较小时，即使Vc变化很大，D的改变也不大，即增益下降。所以d=DV'/Vs（17）不妨设电压环带宽远低于电流环，则在分析电流环时Vcv为常数。当Vc的上升斜率等于三角波斜率时，在开关频率fs处,电流误差放大器的增益GCA为GCA[d(iLRs)/dt]=GCA(Vo/L)Rs=Vsfs（18）GCA=Vc'/(iL'Rs)=VsfsL/(UoRs)（19）高频下，将式（14）分子中的“1”和分母中的低阶项忽略，并化简，得iL'(s)=[d(s)Uin]/sL（20）由式（17）及式（20）有(iL'Rs)/Vc'=[Rsd(s)Uin/(sL)]/[d(s)Vs/D]=(RsUinD)/(sLVs)（21）将式（19）与式（21）相乘，得整个电流环的开环传递函数为(RsUinD/sLVs)·(VsfsL)/(UoRs)=fs/s（22）将s=2πfc代入上式，并令上式等于1时，可得环路的剪切频率fc=fs/(2π)。因此，可将电流环等效为延时时间常数为一个开关周期的