2019秋人教版九年级数学下册同步练习题：微专题十二--反比例系数k的几何意义

2019秋人教版九年级数学下册同步练习题：微专题十二__反比例系数k的几何意义1/10微专题十二__反比例系数k的几何意义__[学生用书B62]一反比例函数与矩形的面积(教材P8练习第1题)已知一个反比例函数的图象经过点A(3，－4)．(1)这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？(2)点B(－3，4)，C(－2，6)，D(3，4)是否在这个函数的图象上？为什么？解：(1)该函数图象位于第二、四象限，在图象的每一支上，y随x的增大而增大；(2)B，C在这个函数的图象上，D不在这个函数的图象上，理由略．【思想方法】k的几何意义：反比例函数图象上的点(x，y)具有两坐标之积(xy＝k)为常数这一特点，即过反比例函数上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数，即S＝|k|.图1理由：如图1，过反比例函数上任一点P作x轴，y轴的垂线PM，PN所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|.∵y＝kx，∴xy＝k，∴S＝|k|.推论：图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形面积S＝12|k|.如图2，A是反比例函数y＝－6x(x0)的图象上的一点，过点A作▱ABCD，使点B，C在x轴上，点D在y轴上，则▱ABCD的面积为(C)A．1B．3C．6D．122019秋人教版九年级数学下册同步练习题：微专题十二__反比例系数k的几何意义2/10图2变形1答图【解析】如答图，过点A作AE⊥OB于点E，∵矩形ADOE的面积等于AD·AE，▱ABCD的面积等于AD·AE，∴▱ABCD的面积等于矩形ADOE的面积，根据反比例函数的k的几何意义，可得矩形ADOE的面积为6，即可得▱ABCD的面积为6.故选C.如图3，在平面直角坐标系中，点P(1，4)，Q(m，n)在函数y＝kx(x0)的图象上，当m1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，B；过点Q分别作x轴，y轴的垂线，垂足为C，D.QD交PA于E，随着m的增大，四边形ACQE的面积(B)A．减小B．增大C．先减小后增大D．先增大后减小图3【解析】AC＝m－1，CQ＝n，则S四边形ACQE＝AC·CQ＝(m－1)n＝mn－n，∵P(1，4)，Q(m，n)在函数y＝kx(x＞0)的图象上，∴mn＝k＝4，∴S四边形ACQE＝4－n，2019秋人教版九年级数学下册同步练习题：微专题十二__反比例系数k的几何意义3/10∵当m＞1时，n随m的增大而减小，∴S四边形ACQE＝4－n随m的增大而增大．故选B.[2018·盐城]如图4，点D为矩形OABC的边AB的中点，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过点D，交BC边于点E.若△BDE的面积为1，则k＝__4__．图4【解析】设点D的坐标为(x，y)，则点E的坐标为2x，12y.∵S△BDE＝12·x·12y＝1，∴xy＝4＝k.如图5，反比例函数y＝kx(k≠0，x＞0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D.若矩形OABC的面积为8，则k的值为__2__．图5变形4答图【解析】如答图，过点D作DE⊥OA于点E，设Dm，km，∴OE＝m，DE＝km，∵D是矩形OABC的对角线AC的中点，∴OA＝2m，OC＝2km，∵矩形OABC的面积为8，∴OA·OC＝2m·2km＝8，∴k＝2.2019秋人教版九年级数学下册同步练习题：微专题十二__反比例系数k的几何意义4/10二反比例函数与三角形的面积如图6，A，B是函数y＝2x的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则(B)A．S＝2B．S＝4C．2＜S＜4D．S＞4【解析】设点A的坐标为(x，y)，则B(－x，－y)，xy＝2，∴AC＝2y，BC＝2x，∴S＝2x×2y÷2＝2xy＝2×2＝4.故选B.图6图7[2018·郴州]如图7，A，B是反比例函数y＝4x在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是(B)A．4B．3C．2D．1【解析】由题意知，A(2，2)，B(4，1)．设(2，0)，(4，0)为点C，D，则S△AOC＝S△BOD＝12×4＝2.∵S四边形AODB＝S△AOB＋S△BOD＝S△AOC＋S梯形ABDC，∴S△AOB＝S梯形ABDC＝12(BD＋AC)·CD＝12(1＋2)×2＝3.[2018·龙东]如图8，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交y＝3x(x＞0)，y＝kx(x＜0)的图象于B，C两点，若△ABC的面积为2，则k的值为(A)A．－1B．1C．－12D.122019秋人教版九年级数学下册同步练习题：微专题十二__反比例系数k的几何意义5/10图8变形3答图【解析】如答图，连接OB，OC，设BC与y轴交于点D，∵BC∥x轴，∴S△OBC＝S△ABC＝2，∵点B在反比例函数y＝3x的图象上，∴S△OBD＝32，∴S△OCD＝2－32＝12，又∵点C在反比例函数y＝kx的图象上，∴|k|＝1，又∵k＜0，∴k＝－1.故选A.[2018·宁波]如图9，平行于x轴的直线与函数y＝k1x(k1＞0，x＞0)，y＝k2x(k2＞0，x＞0)的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1－k2的值为(A)A．8B．－8C．4D．－4图9变形4答图【解析】如答图，连接AO，BO，设AB与y轴交点为D，则S△ABO＝S△ABC＝4，∵S△ABO＝S△ADO－S△BDO2019秋人教版九年级数学下册同步练习题：微专题十二__反比例系数k的几何意义6/10＝12|k1|－12|k2|＝12(k1－k2)＝4，∴k1－k2＝8.[2017·株洲]如图10，一块30°，60°，90°的直角三角形板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1＝k1x(x＞0)的图象上，顶点B在函数y2＝k2x(x＞0)的图象上，∠ABO＝30°，则k1k2＝__－13__．图10【解析】在Rt△ACO与Rt△BCO中，∠A＝60°，∠B＝30°.设AC＝a，则OC＝3a，BC＝3a，可知A(3a，a)，B(3a，－3a)，故k1＝3a2，k2＝－33a2，故k1k2＝－13.三反比例函数与其他几何图形如图11，A是反比例函数y＝2x(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝－3x的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C，D在x轴上，则S▱ABCD＝(D)图11A．2B．3C．4D．5【解析】设点A的纵坐标是b，则点B的纵坐标也是b，2019秋人教版九年级数学下册同步练习题：微专题十二__反比例系数k的几何意义7/10把y＝b代入y＝2x，得x＝2b，即点A的横坐标是2b，同理可得点B的横坐标是－3b，∴AB＝2b－－3b＝5b，则S▱ABCD＝5b×b＝5.故选D.[2018·烟台]如图12，反比例函数y＝kx的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k＝__－3__．图12变形2答图【解析】如答图，连接OP，∵C，D在坐标轴上，BD⊥DC，∴BD∥y轴，∴S△OPD＝S△APD.∵▱ABCD对角线的交点为P，▱ABCD的面积为6，∴S△APD＝64＝32.又∵S△OPD＝S△APD＝32＝|k|2，∴|k|＝3.又∵反比例函数的图象在第二象限，∴k＜0，∴k＝－3.如图13，一次函数y＝－x＋b与反比例函数y＝4x(x＞0)的图象交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，连接OA，OB，过点A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m.(1)b＝__m＋4m__(用含m的代数式表示)；(2)若S△OAF＋S四边形EFBC＝4，则m的值是__2__．2019秋人教版九年级数学下册同步练习题：微专题十二__反比例系数k的几何意义8/10图13变形3答图【解析】(1)∵点A在反比例函数y＝4x(x＞0)的图象上，且点A的横坐标为m，∴点A的坐标为m，4m.将点A代入一次函数y＝－x＋b中，得－m＋b＝4m，∴b＝m＋4m；(2)如答图，过点A作AM⊥OD于点M，过点B作BN⊥OC于点N.∵反比例函数y＝4x，一次函数y＝－x＋b都关于直线y＝x对称，∴AD＝BC，OD＝OC，DM＝AM＝BN＝CN，记△AOF面积为S，则S△OEF＝2－S，由已知得S四边形EFBC＝4－S，∴S△OBC＝S△OAD＝S四边形EFBC＋S△OEF＝6－2S，S△ADM＝4－2S＝2(2－S)，∴S△ADM＝2S△OEF.∵AM＝OE，∴EF＝12DM＝12NB，∴点B坐标为2m，2m，代入直线y＝－x＋m＋4m，得2m＝－2m＋m＋4m，整理得到m2＝2，∵m＞0，∴m＝2.[2017·黄冈]已知：如图14，一次函数y＝－2x＋1与反比例函数y＝kx的图象有两个交点A(－1，m)和B，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，且点D的坐标为(0，－2)，连接DE.(1)求k的值；2019秋人教版九年级数学下册同步练习题：微专题十二__反比例系数k的几何意义9/10(2)求四边形AEDB的面积．图14解：(1)将点A(－1，m)代入一次函数y＝－2x＋1，得－2×(－1)＋1＝m，∴m＝3，∴A点的坐标为(－1，3)，将A(－1，3)代入y＝kx，得k＝(－1)×3＝－3；(2)设直线AB与y轴相交于点M，则M(0，1)，∵D(0，－2)，∴MD＝3，B32，－2，又∵A(－1，3)，AE∥y轴，∴E(－1，0)，∴AE＝3，∴AE∥MD，AE＝MD，∴四边形AEDM为平行四边形，∴S四边形AEDB＝S▱AEDM＋S△MDB＝3×1＋12×32×3＝214.2019秋人教版九年级数学下册同步练习题：微专题十二__反比例系数k的几何意义10/10