课时训练 指数与指数函数(北师大版)

A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·山东)函数y＝2x－x2的图象大致是()．解析在同一坐标系中作出y＝2x与y＝x2的图象可知，当x∈(－∞，m)∪(2,4)，y0，；当x∈(m,2)∪(4，＋∞)时，y0，(其中m0)，故选A.答案A2．(2012·合肥模拟)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于任意的x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2010)＋f(2011)的值为()．A．－2B．－1C．1D．2解析∵f(x)是偶函数，∴f(－2010)＝f(2010)．∵当x≥0时，f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为2的周期函数，∴f(－2010)＋f(2011)＝f(2010)＋f(2011)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝0＋1＝1.答案C3．(2012·人大附中月考)设函数y＝x3与y＝12x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()．A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析(数形结合法)如图所示．由1x2，可知1x38；－1＜x－2＜0,112x－22.答案B4．(2011·四川)函数y＝12x＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是()．解析函数y＝12x＋1的图象如图；作其关于直线y＝x的对称图象，可知选A.答案A5．(2010·辽宁)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝()．A.10B．10C．20D．100解析由已知条件a＝log2m，b＝log5m，又1a＋1b＝2，则logm2＋logm5＝2，即logm10＝2，解得m＝10.答案A二、填空题(每小题4分，共12分)6．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．解析(数形结合法)由图象可知0＜2a＜1，∴0＜a＜12.答案0，127．若3a＝0.618，a∈[k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.解析∵3－1＝13，30＝1，13＜0.6181，∴k＝－1.答案－18．若函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，若0a1，显然y＝ax与y＝x＋a的图象只有一个公共点；若a1，y＝ax与y＝x＋a的图象如图所示．答案(1，＋∞)三、解答题(共23分)9．(11分)设函数f(x)＝2|x＋1|－|x－1|，求使f(x)≥22的x的取值范围．解y＝2x是增函数，f(x)≥22等价于|x＋1|－|x－1|≥32.①(1)当x≥1时，|x＋1|－|x－1|＝2，∴①式恒成立．(2)当－1x1时，|x＋1|－|x－1|＝2x，①式化为2x≥32，即34≤x1.(3)当x≤－1时，|x＋1|－|x－1|＝－2，①式无解．综上，x取值范围是34，＋∞.10．(12分)已知f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x(e＝2.71828…)(1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值；(2)若f(x)f(y)＝4，g(x)g(y)＝8，求gx＋ygx－y的值．解(1)[f(x)]2－[g(x)]2＝(ex－e－x)2－(ex＋e－x)2＝(e2x－2＋e－2x)－(e2x＋2＋e－2x)＝－4.(2)f(x)f(y)＝(ex－e－x)(ey－e－y)＝ex＋y＋e－x－y－ex－y－e－x＋y＝[ex＋y＋e－(x＋y)]－[ex－y＋e－(x－y)]＝g(x＋y)－g(x－y)∴g(x＋y)－g(x－y)＝4①同理，由g(x)g(y)＝8，可得g(x＋y)＋g(x－y)＝8，②由①②解得g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2，∴gx＋ygx－y＝3.B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·杭州模拟)定义运算：a*b＝aa≤bba＞b，如1]()．A．RB．(0，＋∞)C．(0,1]D．[1，＋∞)解析f(x)＝2x*2－x＝2xx≤0，2－xx＞0，∴f(x)在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0＜f(x)≤1.答案C2．(2012·上饶质检)设函数f(x)＝2x1＋2x－12，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y＝[f(x)]的值域是()．A．{0,1}B．{0，－1}C．{－1,1}D．{1,1}解析由f(x)＝2x1＋2x－12＝1－11＋2x－12＝12－11＋2x，由于(2x＋1)在R上单调递增，所以－11＋2x在R上单调递增，所以f(x)为增函数，由于2x＞0，当x→－∞，2x→0，∴f(x)＞－12，当x→＋∞，11＋2x→0，∴f(x)＜12，∴－12＜f(x)＜12，∴y＝[f(x)]＝{0，－1}．答案B二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2012·安庆模拟)若f(x)＝a－x与g(x)＝ax－a(a＞0且a≠1)的图象关于直线x＝1对称，则a＝________.解析g(x)上的点P(a,1)关于直线x＝1的对称点P′(2－a,1)应在f(x)＝a－x上，∴1＝aa－2.∴a－2＝0，即a＝2.答案24．(★)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．解析(数形结合法)曲线|y|＝2x＋1即为y＝2x＋1或y＝－(2x＋1)，作出曲线的图象(如图)，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，须－1≤b≤1.答案－1≤b≤1【点评】本题采用数形结合法，准确画出函数|y|＝2x＋1的图象，由图象观察即得b的取值范围.三、解答题(共22分)5．(10分)已知f(x)＝10x－10－x10x＋10－x.(1)判断函数奇偶性；(2)证明：f(x)是定义域内的增函数．(1)解∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝10－x－10x10－x＋10x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)证明法一f(x)＝10x－10－x10x＋10－x＝102x－1102x＋1＝1－2102x＋1.令x2＞x1，则f(x2)－f(x1)＝1－2102x2＋1－1－2102x1＋1＝2·102x2－102x1102x2＋1102x1＋1.当x2＞x1时，102x2－102x1＞0.又∵102x1＋1＞0,102x2＋1＞0，故当x2＞x1时，f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)．所以f(x)是增函数．法二考虑复合函数的增减性．由f(x)＝10x－10－x10x＋10－x＝1－2102x＋1.∵y1＝10x为增函数，∴y2＝102x＋1为增函数，y3＝2102x＋1为减函数，y4＝－2102x＋1为增函数，f(x)＝1－2102x＋1为增函数．∴f(x)＝10x－10－x10x＋10－x在定义域内是增函数．6．(12分)若函数y＝a·2x－1－a2x－1为奇函数．(1)求a的值；(2)求函数的定义域；(3)求函数的值域．解∵函数y＝a·2x－1－a2x－1，∴y＝a－12x－1.(1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0，即a－12－x－1＋a－12x－1＝0，∴2a＋1－2x1－2x＝0，∴a＝－12.(2)∵y＝－12－12x－1，∴2x－1≠0，即x≠0.∴函数y＝－12－12x－1的定义域为{x|x≠0}．(3)∵x≠0，∴2x－1＞－1.∵2x－1≠0，∴0＞2x－1＞－1或2x－1＞0.∴－12－12x－1＞12或－12－12x－1＜－12.即函数的值域为{y|y＞12或y＜－12}．