调和函数及其在物理学中的应用

1调和函数及其在物理学中的一些应用设)(zf是个解析函数，iyxz，令)(Im),(),(Re),(zfyxvzfyxu，则称),(yxu和),(yxv是互为共轭函数.由于u和v的偏导数满足柯西—黎曼方程yvxu，xvyu，若u和v的二阶导数都存在，且关于x和y的二阶混合偏导数是可交换的，对柯西—黎曼方程求导数，即得22222yuxuyxv，22222yvxvyxu因此，u和v都满足二维的拉普拉斯(Laplace)方程.022222yx.我们称满足拉普拉斯方程的函数为调和函数.以后，我们会知道，解析函数)(zf的实部),(yxu和虚部),(yxv都是调和函数.这里我们自然要问：给定调和函数),(yxu或),(yxv，我们能否找到一个解析函数)(zf，使得所给的),(yxu或),(yxv恰是)(zf的实部或虚部？答案是可能的.若给定的函数),(yxu或),(yxv是满足拉普拉斯方程的初等函数的一个简单组合，则这样的解析函数)(zf实存在的.这时用下述米尔—汤姆松(Milne-Tomson)方法找是非常方便的.由于)(21zzx，)(21zziy，2)2,2()2,2()(izzzzivizzzzuzf，我们可将这等式看成是两个独立变量z和z的形式恒等式，置zz，有)(zf=)0,()0,(zivzu.根据柯西—黎曼方程，yxxxiuuivuzf)('，因此，若将xu和yu分别记为yx,1和yx,2，则我们有)('zfyx,1yx,2)0,()0,(21ziz.将上式积分之，我们有cdzzizzf)}0,()0,({)(21，（1—36）其中c是个任意常数.类似地，若),(yxu是给定的，令yvyx),(1，xvyx),(2，我们能证明：cdzzizzf)}0,()0,({)(21,（1—37）其中c是个任意常数.例如，设)sincos(),(yyyxeyxux,则)cossincos(1yyyxxexux，yyyyxeyuxcossinsin2.因此)('zf1)0,()0,(21zezizz，故czecdzzezfzz)1()(.下面我们将讨论可用调和函数描述的一些物理现象.3一、定状态的热传导方程问题我们知道，热通过物体的传导是能量被转移.在物体内每一点处热能流动的时间比率能用向量来表示.在一般情况下，这个向量的长度和方向不随点的位置而变化，而且还随时间而改变.我们仅限于讨论稳定状态问题，即着热流响亮与时间无关.这样，在物体内的热传导强度就由时间坐标的向量函数给出.这样的函数通称为向量场.在现在情况下，这个向量场成为热流密度场，记为Q.由于它与复变理论有紧密地联系，我们这里只讨论二维热流问题，这就是说，这向量场中的向量都平行于某一个平面∏，并且在垂直于∏的任何一条直线上所有的点处，这个场中的向量（就大小与方向来说）都是相等的.显然，在所有的平行于∏的平面内，这个向量场的情形都完全相同，因此，这个向量场可以由位于平面∏内的向量所构成的一个平面向量场来完全表示出来.说到平面内的一条曲线，是意味着一个柱面，而一个区域是意味着一个柱体.我们把平面∏看成复平面.现在我们来讨论二维未定热流问题，其边界去面如图1.5所示.这平板的上下界面被假定是完全绝缘的，没有热量被这绝缘表面所吸收或散发，这平板侧面界面的某部分曲面余热原湘莲（它发出热能），区域的曲面是绝缘的.热能不可能流进人和绝缘的曲面.这样，热能密度向量奖杯假定是与任何绝缘边界向切的.由于假定热源和热沟的性质与坐标轴是无关的，垂直于xy平面，所以，平板内的向量场Q仅依赖于变量x和y.平板上、下街面的绝缘性保证Q只有沿x轴4和y轴的分量，就是说，Q有分量),(yxQx和),(yxQy.于是Q便可表示成下述复热流密度形式：),(yxqq),(yxQxi),(yxQy.（1—38）其中，),(yxQx和),(yxQy也都是复数iyxz的函数.由此可见，二维热能稳定热传导问题只与复数iyxz有关.由于通过任何曲线的热能量f是单位时间内通过该曲线的热能的流量，则通过微分弧长ds的微分热流量df为dsQdfn，（1—39）其中，nQ是Q在ds的外法线方向上的分量；积分dsQfCn（1—40）表示向量场Q经过曲线C的热流量，其中ds是曲线C的弧长的微分.如果用dx和dy表示沿曲线C的微分，则idydxdsSdz0，其中0S表示切于曲线C的单位向量.若用0n表示垂直于曲线C的单位向量，则idxdydsiSdsn00，于是，dxyxQdyyxQdsQyxn),(),(，所以，（1—40）是可以写成dxyxQdyyxQfyCx),(),(.（1—41）热流量的面密度，记经过曲线C的热流量对这闭曲线所围面积A的比值，当区域A收缩成点z时所取的极限值，称为向量场在点z的散度：dsQAdivQCnzC1lim.（1—42）但是，根据格林(Green)定理，有dxdyyQxQdsQyAxCn)(.（1—43）显然5yQxQdivQyx.（1—44）若在点z处，0divQ，则称点z为流源（有时只有在0divQ的情形才称为流源，而使0divQ的点称为流沟）.如果在一个区域D内的每一个点处都有yQxQdivQyx=0.（1—45）那么便说，向量场Q在这个区域内是一个管向量.由上述格林定理可知，向量场Q在区域D内是一个管量场的充要条件是，对区域D内任何若当区域的边界曲线C,其流量都等于零，即0dsQCn.（1—46）方程（1-45）当且仅当二维稳定热密度向量Q在既没有热源有没有热沟的地方被满足.我们熟知，热能在一介质中的传导率与在这介质中出现的温差有关，也与产生着温差间的距离有关，也就是说，与温度关于距离的改变率有关.我们继续假定二维热流的热流向量),(yxQ有分量xQ和yQ，设),(yx是在可导热介质中的温度，则能说明向量Q的分量与),(yx之间成立着下列关系式：xQ),(yxxk;（1—47a）yQ),(yxyk.（1—47b）这里k是一常数，称为热传导系数，它的值与所考虑的介质有关.方程（1-47a,b）等价于“Q是负k乘以温度),(yx的梯度”.温度),(yx是6作为“势函数”，利用方程（1-47a,b），由它可计算xQ和yQ.借助这些关系式，方程（1-45）可写成02222ykxk，或者02222yx.（1—48）因而，在稳定状态条件下，在没有源和沟的地方，导体内的温度),(yx是一个调和函数.由于温度),(yx是一个调和函数，于是，在对应于导体内部的xy平面的区域内，它被看成某一解析函数的实部.这解析函数记为)(z,它就是通常所说的复温度.我们有)(z=),(yx+i),(yx.（1—49）这样，复温度)(z的实部就是实际的温度),(yx.这复温度的虚部，即),(yx，我们称它为流函数，因为它与在流体中描述质点流动的流线的函数相类似.称),(yx=常数的曲线为等势线，称),(yx=常数的曲线为流线，容易证明这两族曲线是互相正交的.借助（1-47a,b），复热流密度可通过温度改写成：kq（xiy）.（1—50）由于)(z是一个解析函数，则dzdxiy，xy.于是，我们有)(dzdxiy，（1—51）kq)(dzd.（1—52）7二、流体流动问题由于应用于热传导的许多概念可直接搬到流体力学中来，因此，关于这个问题我们能描述得较简略一些.假设我们讨论的是“理想流体”，就是说它是不可压缩的（它的质量密度是不改变的）和没有粘性的（没有内部摩擦的损耗）.并且，我们假定流动是处于稳定状态的，即流体内任何一点的流动速度与时间是无关的.像热的流动一样，流体流动从流源开始，到流沟终止.若一不可渗漏的坚固的障碍物置于运动的物体中，这是流体将沿物体的切线方向运动，很像热沿平行于绝缘边界的流动.上一段中，我们仅限于讨论二维热流，热的传导是平行于Oxy平面，且只与变量x和y有关.此地，我们仅限于讨论平行于Oxy平面的二位热流.流动速度V是向量场，一般依赖于坐标x和y，它类似于热流密度Q.V沿x轴和y轴的分量是xV和yV.速度V是下述定义的复速度联系在一起的向量：),(),(yxiVyxVvyx.（1—53）这式子与复热流密度q),(yxQxi),(yxQy相似.设C是一条位于流体流动区域的曲线，积分dyVdxVdsVyCxCt（1—54）叫做向量V沿曲线的线积分，其中，tV是V在曲线C的切线方向的投影.称沿着一条闭曲线C的积分为环量.环量的面密度，即沿闭曲线C的环量对这曲线所谓面积A的比值,当A趋于一点时所取得极限值，叫做这向量场在点z处的旋度或涡量：8dsVArotVCtzC1lim；（1—55）显然yVxVrotVxy.（1—56）向量场中使0rotV的点，叫做这向量场的涡旋点，或者简称为涡点.如果在区域D内每一点处都有0yVxVrotVxy（1-57）的话，那么便说，向量场在这一区域内事无旋场，或者是位场.由格林定理DCtrotVdxdydsV（1-58）可知，区域D是位场的充要条件是对D内任何若当区域的边界曲线C的环量都等于零.是向量场是一个位场的条件（1-57）说明了表达式dyVdxVyx是某一个函数),(yx的微分，这个函数叫做向量场的势函数，或者叫位能.从关系式dyVdxVyxd中可以得出xVx，（1-59a）yVy，（1-59b）或者，完全同样，可以说，速度是速度势的梯度，即gradV.如果向量场V在某一个区域D内是一个管向量，则在区域D内的每一点处都有90yVxVdivVxy,（1-60）即在区域D内二维稳定速度向量V既没有流源也没有流沟.借助关系式（1-59a,b），方程(1-60)可写成02222yx,（1-61）这说明，对二维稳定速度场V，再没有源流和没有涡点的地方，速度势),(yx是一个调和函数.现在我们确定一个解析函数，其实部为),(yx，其虚部),(yx，称为流函数.这样)(z=),(yx+i),(yx（1-62）称为复势.复势与流动速度之间有简单的关系.从方程（1-62）、（1-59a,b）和（1-53），我们有yxiVVv)(dzd.（1-63）三、静电场问题在静电学中，电荷是稳定的，正电荷为电流的源，负电荷为电流动的沟.换句话说，电的流动从正电荷出发，而被负电荷所吸收.我们讨论Oxy平面的静电场.设D是电流密度向量，E是电场向量，它们在x轴和y轴的分量分别是xD和yD，xE和yE，它们分别对应于下述复变函数：,,,yxiDyxDzdyx（1-64a）10,,,yxiEyxEzeyx（1-64b）函数zd，ze分别称为复电流密度和复电场，且ED.这里是正常数，称为介电常数.线积分dsEcc表示静电场的力沿着路线所作的功，其中表示向量在曲线的切线方向的投影.向量E的沿着任何一条闭路线的环量都等于零，因为静电场的维持并不需要耗费能量.事实上，假如沿着某一条闭曲线的环量不等于零，那么，朝一定的方向绕行这路线无限多次，我们便会得到一个无限的能源（永动机）了.由此可知，在静电场内的任何一点处都有0yExErotExy.（1-65）因此，静电场总是一个位场，这就是说，存在一个单值函数yx,，使得xEx，yEy；（1-66a）xDx，yD