谈待定系数法在中学数学解题中的应用

第1页（共12页）谈待定系数法在中学数学解题中的应用摘要：待定系数法是解决数学问题时常用的数学方法之一。它在数学解题中广泛使用，特别是有些问题，用待定系数法更简捷明了。本文简单阐述了待定系数法的概念、理论依据及其解题步骤，重点论述了待定系数法在中学数学解题中的应用，概括重点题型以及在教学中的教法。关键词：待定系数法；数学解题；教学应用Abstract:Themethodofundeterminedcoefficientsisusedmathematicalmethodsinsolvingmathproblems.Widelyusedinmathematicalproblemsolving,especiallysomeoftheproblems,moresimpleandstraightforwardmethodofundeterminedcoefficients.Thisarticlebrieflydiscussestheconceptofthemethodofundeterminedcoefficients,thetheoreticalbasisfortheirproblem-solvingsteps,focusesontheapplicationofthemethodofundeterminedcoefficientsinthesecondaryschoolmathematicsproblemsolving,summarizedthekeykindsofquestionsaswellastheteachingmethodsinteaching.Keywords:methodofundeterminedcoefficients;mathematics;teachingapplication在数学课堂教学中，我们在讲解数列这章知识时，经常会碰到一类题型，如：已知数列na中，11a，121nnaa。求na，在讲解这类题型时，我们往往交给学生一种简便可行的数学方法---待定系数法作为辅助工具，达到解决问题的目的。待定系数法是中学数学中的数学方法，更是一种很好解决中学数学问题的手段。1待定系数法的定义对于某些数学问题，若是知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入第2页（共12页）一些尚待确定的系数（或参数）来表示这样的结果，通过变形与比较，建立起含有待定字母系数（或参数）的方程（组），并求出相应字母系数（或参数）的值，进而使问题获解，这种方法称为待定系数法。待定系数法的理论依据：多项式的恒等定理---以标准形式给出的两个多项式恒等的充分必要的条件是这两个多项式的对应项分别是具有相同系数的同类项。即多项式()()fxgx的充要条件是：对于一个任意的a值，都有()()faga；或者两个标准多项式中各同类项的系数对应相等[1]。2待定系数法的步骤待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解[4]。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：（1）根据已知条件，确定问题所求结果的形式，引入恰当的待定字母系数，得到一个含有这些待定字母系数的等式；（2）再根据已知条件，列出方程组；（3）解这个方程组，求出各待定字母系数；（4）利用这个解决问题。3解题方法指导待定系数法是根据两个多项式恒等的条件而产生的一种方法，因此，从恒等变形的意义来看，它不过是把一个代数式从一种形式变换为另一种形式，并且确保变形前后的两个代数式是恒等的，也就是形变而值不变。利用待定系数法解题第3页（共12页）的关键是依据已知，正确列出等式或方程[2]。主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的方程（组），即110101nnnnnnaxaxabxbxb的充分必要条件是0011,,,,nnababab。②由恒等的概念用数值代入法列方程；指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的方程(组)，由此求得待定系数的值。③利用定义本身的属性列方程；是指根据所涉及的数学概念、公式、定理等建立方程(组)。④利用几何条件列方程；是指根据图形、图象、曲线间的量的关系建立关于待定系数的方程(组)。4待定系数法在解题中的应用4.1待定系数法进行因式分解例1分解因式：432435xxxx。分析：这是一个关于x的四次多项式，由于次数相对过高，不能使用十字相乘。分组分解法又有困难，经过验证由没有有理根，但是次数是确定的，我们能够根据次数大概猜测其因式分解以后的形式，这个时候我们可以引进待定系数法进行因式分解。解：设432435xxxx=22()()xaxbxcxd=432()()()xacxbacdxadbcxbd，比较等式两边的多项式对应项的系数，列出方程组，得第4页（共12页）1435acbacdadbcbd，解该方程，得到1125abcd，所以43222433(1)(25)xxxxxxxx。评析：与这个类型题相似解题的还有解方程、解不等式。如把题目改成解方程4324350xxxx，或者解不等式4324350xxxx。这两种类型的题型的做法跟本题因式分解方法相同。4.2用待定系数法求部分分式和例2将522(1)(1)xxx化为部分分式之和。分析：这类型的问题思路基本上跟因式分解类似，首先用未知数表示化为部分分式和以后的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，代入所设的部分和即可得结果。解：由于532222222322(1)(1)(1)(1)xxxxxxxxx，则可设3222222232(1)(1)(1)11xxxABCxDxxxxx，则322222232(1)(1)(1)()(1)xxxAxBxxCxDx32()(2)BCxABCDx(2)()BCDxABD由相等的多项式各项系数相等可列出方程组第5页（共12页）222232BCABCDBCDABD，解以上方程组得122012ABCD，故522(1)(1)xxx2212122(1)12(1)xxxx。4.3待定系数法求函数解析式这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法。初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设ykx，kyx，ykxb的形式(其中k、b为待定系数，且0k)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成2yaxbxc(,,abc为待定系数)，2()yaxhk(,,akh为待定系数)，12()()yaxxxx(12,,axx为待定系数)三类形式[3]。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、a、c、b、x1、x2等待定系数。例3是否分别存在满足下列条件的函数()fx：（1）()fx是三次函数，且(0)3f，(0)0f，(1)3f，(2)0f；（2）()fx是一次函数，且2()(21)()1xfxxfx。如存在，求出()fx的表达式；若不存在，说明理由。分析：首先假设函数存在，用字母设出函数的解析式，利用已知的条件建立方程或方程组，解方程组，求出未知数，写出函数解析式。解：（1）设32()(0)fxaxbxcxda，则2()32fxaxbxc由题意可建立方程式，得第6页（共12页）303231240dcabcabc，解以上方程组，得1303abcd，故存在满足条件的的函数()fx存在，表达式为32()33fxxx。（2）假设()fx存在，由()fx是一次函数可知()fx是二次函数，故可设2()(0)fxaxbxca，则()2fxaxb将()fx和()fx代入已知条件，得22(2)(21)()1xaxbxaxbxc，整理得2()(2)1abxbcxc，由等式两边各项系数相等，可建立方程组0201abbcc，解以上方程组可得221abc，所以满足条件的()fx存在，表达式为2()221fxxx。评析：利用待定系数法求解函数解析式，可以使问题简化。4.4待定系数法在三角函数中的应用例4求和2221111arctanarctanarctanarctan()222232nSnNn解：因为1arctanarctan3arctan121arctanarctan5arctan38第7页（共12页）所以设21arctanarctanarctan2k①对①两边取正切，得：21()21kNk于是，可以通过求解方程组：212mkm（m为待审定系数）以确定,的值。当m=1时，无合适的解；当m=2时，得21,21kk（舍去负值）；即21arctanarctan(21)arctan(21)2kkk令k=1,2,3,…,n,累加得：(arctan3arctan1)(arctan5arctan3)(arctan7arctan5)arctan(21)arctan(21)nSnnarctan(21)arctan1narctan(21)4n评注：观察数学式子结构，退到最简单的形式，伴随以有目的的联想类比，引入待定参数运用待定系数法思想分析和解决问题。4.5待定系数法在解析几何中的应用例5求以相交两圆1C：22410xyxy及2C：222210xyxy的公共弦为直径的圆的方程。解：两个圆的方程相减，得20xy，即两个圆公共弦所成直线方程，显然2C的圆心（-1,1）不在此直线上，故可设所求圆的方程为：222241(221)0xyxyxyxy（为待定参数），即22(1)(1)2(2)(12)(1)0xyxy，其圆心O的坐标212,12(1)，点O在直线20xy上，第8页（共12页）2(2)12012(1)，即270，解得72，故所求的方程为：22555360222xyxy，即225561250xyxy。评析：圆锥曲线中，参数（,,,,abcep）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（,,,abce）不变，本题就利用了这一特征，列出关于ac的等式。一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。4.6待定系数法在不等式中的应用例6已知函数22431mxxnyx的最大值为7，最小值为-1，求此函数的表达式。解：求函数的表达式，实际上就是确定系数,mn的值。将函数式变形为：2()43()0ymxxynxR2(43)4()()0ymyn，即2()(12)0ymnymn①要使函数有最大值7，最小值-1，亦就是17y，显