谓词逻辑的基础概念及其应用

谓词逻辑的基础概念及其应用王春旭哈尔滨师范大学摘要：数学逻辑学是研究数学教育中所需的逻辑知识及如何应用于数学教育和解决数学教育问题的一门学科。本文主要讨论谓词逻辑的基础概念及其在数学教育中的应用。谓词逻辑分很多种，而这里要研究的是狭义谓词逻辑或称一阶谓词逻辑。研究它的三个基础知识及其在教育学中的应用。关键词：谓词的概念公式等价式应用数学逻辑学是研究数学教育中所需的逻辑知识及如何应用于数学教育和解决数学教育问题的一门学科。是一门逻辑学与数学教育学相结合的边缘学科，属于应用逻辑，其核心内容属于数理统计。它的基本内容主要分为命题逻辑，简单命题的分解与概念，谓词逻辑和归纳逻辑及其在数学教育中的应用。我们为进一步讨论命题和推理需要把简单命题分解为个体词，谓词和量词。谓词逻辑就是研究它们的形式结构，逻辑性质，谓词关系及从中导出的规律。而本文主要讨论谓词逻辑的基础概念及其在数学教育中的应用。谓词逻辑包括命题逻辑，它除了命题变元外，还有个体变元和谓词变元等。如果量词只作用于个体变元，并且谓词都是关于个体的性质和关系，而不涉及关系的性质和关系之间的关系，那么这样限制下的谓词逻辑称为狭义谓词逻辑或一阶谓词逻辑，它是最基础的谓词逻辑。本文即将讨论谓词的概念，公式，谓词逻辑的等价式及其在教育学中的应用实例。一．谓词逻辑的预备知识㈠个体（主词）与谓词的概念简单命题可分解为个体与谓词，其中个体又叫主词。1．个体：指能独立存在的事物，它可以是具体的，可以是抽象的。如张三，2。。。。。。由个体组成的集合成为个体域或论域。所由个体组成的个体域称为全总个体域。如果变元在某个体域中取值，则称为个体变元。2.谓词：指个体的性质或若干个个体之间的关系。前者是一元谓词，后者当个体数为n时为n元谓词。谓词变元：可以在由谓词变元组成的集合中取值的变元。单独一个谓词是改有意义的。如：。。。。。。是无理数，。。。。。。大于。。。。。。，它们必须与个体结合在一起才能明确意义，像“2是无理数”（真），“5大于2”（真），“2大于3”（假）。3．谓词用以下符号表示：F,G,R，为明确各是几元谓词，可用谓词后面带有若干个空位表示，如F（），G（），R（）等。在谓词后面的空位填以个位就是谓词填式，空位中填以个体变元就是谓词命名式。例如：若用F（x）表示“x是无理数”，R(x,y)表示“x大于y”，个体域为实数集，x,y为个体变元。则F(2)为谓词填式，R(x,y)为谓词命名式。例如：F(2)为真，F(3)为假，R(5,2)为真，可见F(2),F(3)，R(5,2)为命题。4.命题函数：为以个体域（实数集）为定义域，以命题为值的映射（函数）。由于命题在{T,F}集上取值，因此F（x）,R(x,y)为从个体域（实数集）到{T,F}上的函数，称之为命题函数（或命题函项或逻辑函数），其中F（x）为一元命题函数，R(x,y)为二元命题函数。一般地，从个体域到{T,F}的函数H(1,,nXX)成为n元命题函数。谓词是从个体域到{T,F}的映射。谓词是一元或多元的命题函数。（二）谓词公式递归定谓词公式如下：（1）命题变元是谓词公式；（2）原子谓词公式是谓词公式；(3)如果是谓词公式，则也是谓词公式；（4）如果和是谓词公式，则,,,也是谓词公式;（5）如果是谓词公式，且中不包含和，则,也是谓词公式;(6)公式仅限于由（1）到（5）所得到的；（三）谓词逻辑的等价式定义：两个谓词公式，如果对任意指派，他们所得的真值，则这两个谓词公式叫做逻辑等价式，记做或。由上述定义与普遍有效公式的定义，有如下定理：定理1当且仅当为普遍有效公式。定理2若，为任一含的谓词公式，则（）=（）。命题逻辑中逻辑等价式的移入：对命题逻辑中的逻辑等价式：。由于为重言式，当将命题变元,带以谓词公式，称为谓词公式,,。举几个例子：（1）()(),()(),(,)(,)xxxxFxFxFxFxGxyGxy。（2）()()()FxGxFx();Gx(()())(()());xxFxGxFxGx()()()();xxxxFxGxFxGx（3）(()())()(()())(()());FxGxHxFxHxGxHx(()(,))()(()())(()())xxxxxxxFxGxyHxFxHxGxHx；（4）()()()()FxGxFxGx；()()()()xxxxFxGxFxGx；二．谓词逻辑在数学教育学中的应用谓词逻中应用广泛，下面我举几个例子：例一：设为空集，A为任意集合，求证A证明方法一：1)xxxA（以x与xA，带入重言式ppq中的p与q）（pqpq）2)()xxxA())xxxA3)()xx空集定义4)x（3）全称量词消去5)xxA（4），（2）分离6)(),xxxA即A（5）全称量词引入证明方法二：（用反证法）假设存在集合A，使A，即()()xxxxAxxA据存在量词消去规则，则存在某一元素a使得aa，由合简规则，这与空集的定义矛盾，从而该命题得证。我们可以利用此方法证明以下题目：求证:((1)(()(1)))()kkppkpkpk利用逻辑语言把一些数学命题表达出来，往往可以看出它们之间的相互联系，发现证明的线索，甚至很容易达到证明的目的。例二：如果1niiaA，那么至少有一个ia，使得iaAn，且至少有一个ia，使得jAan。首先用逻辑语言表达该命题。此时，取个体域为n个实数集12{,,...,},niAaaaan，即为谓词公式,iijAAAaaannn为谓词公式jjAAaann，而1niiaA为原子谓词公式，这里,,都是谓词。于是该命题可表示为1niia=()()iijjAAAaaann它等价于（1niiaA1())(())niiijjiAAaaaAaann而它又等价于11(())(())nniiijjiiiAAaaaAaaaAnn证明：因为()iiAaan12()...iinAAAAaaaaannnn，所以1......niiAAAanAnnn因此，1niiaA同理可证1()njjiiAaaaAn。我们可以利用此方法证明以下题目：求证：若1niiaA，则至少有一个ia，使得niaA，且至少有一个ja，使得njaA。例三：分析下列两个命题之间的关系：（1）经过两个不同的点至多只有一条直线；（2）两条不同的直线至多有一个公共点（交点）。解：先把这两个命题用逻辑语言表述，再用谓词逻辑的基本知识来分析它们之间的关系。该论域（个体域）是所有点和直线构成的集合，()Px表示“x是点”，()Lx表示“x是直线”，(,)Ixy表示“x在y上”，表示“x恒等于y”。命题（1）可表达为：(()()(,)xyPxPyExy(()()(,)uvLuLvEuv(,)(,)(,)(,)))IxuIxvIyuIyv（1）式这逻辑等价于(()()(,)xyPxPyExy(()()(,)(,)(,)(,)(,)))uvLuLvIxuIxvIyuIyvEuv命题（2）可表达为：(()()(,)uvLuLvEuv(()()(,)xyPxPyExy(,)(,)(,)(,)))IxuIxvIyuIyv=(()()(,)uvLuLvEuv(()()(,)(,)(,)(,)))(,))xyPxPyIxuIxvIyuIyvExy（2）式根据谓词逻辑的等价式，（1）式等价于(()()(,)xyPxPyExy(,)(,)(,)(,)(,)))IxuIxvIyuIyvEuv(()()uvLuLv=(()()(,)(()()xyuvPxPyExyLuLv(,)(,)IxuIxv(,)(,)(,))IyuIyvEuv=(()()uvxyLuLv(,)Euv()()PxPy(,)(,)(,)(,)(,))IxuIxvIyuIyvEuv=(()()(,)uvLuLvEuv(()()xyPxPy(,)(,)(,)(,)(,))IxuIxvIyuIyvExy由（2）式知两个命题等价。下面讨论对至多及至少的否定。至多有n个个体具有性质F，简记为()nxFx。至少有n个个体具有性质F，简记为()nxFx。现在将它们进行否定就得到：11()()nnxFxxFx结论一：“至多有n个个体具有性质F”的否定，等价于“至少有1n个个体具有性质F”。同理可得：1()()nnxFxxFx结论二：“至少有n个个体具有性质F”的否定，等价于“至多有1n个个体具有性质F”。例四：把1600份材料分装在100个口袋里，求证不管怎样装，至少有4个口袋里所装的材料份数一样多。证明：用反证法，假设并非“至少有4个口袋里所装的材料份数一样多”，由结论得“至多有3个口袋的材料一样多”。考虑到100=333+1，从所需材料份数最少的情况出发，则有：3个口袋各装0份材料；3个口袋各装1份材料；。。。。。。。。。3个口袋各装32份材料；3个口袋各装33份材料；显然，这样分装在反设条件下所需的材料最少，共需：3（0+1+2+。。。+32）+33=1617（份）但现在只有1600份材料。这一矛盾就证明了不管怎样装，至少有4个口袋里所装的材料份数一样多。参考文献：[1]王玉文,鲍曼《数学逻辑基础》,哈尔滨师范大学,2010[2]王宽钧≤数理逻辑引论≥，北京大学出版社，1982[3]徐利治≤数学方法论教程≥，江苏教育出版社，1992TheBasicConceptofPredicateLogicanditsApplicationswangchunxuAbstract:mathematicallogicrequirededucationinthelogicalknowledgeandhowtoapplyinmathematicseducationandsolvemathematicsproblemsofeducationsubject.Thispapermainlydiscussesthebasicconceptofpredicatelogicinmathematicseducationanditsapplication.Predicatelogicdividesalotofkinds,andheretostudyisspecialpredicatelogicorsaysthefirst-orderpredicatelogic.Thethreebasicresearchandapplicationofknowledgeinpedagogy.Keywords:theconceptofpredicate;formulaofpredicate;equivalentofpredicate;applicationofpredicate