考点整合

直线与圆锥曲线的位置关系的教学设计1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若Δ＞0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ＜0，则直线与椭圆相离.(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①若a≠0，当Δ＞0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ＜0时，直线与双曲线相离.②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点.(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线的方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①当a≠0时，用Δ判定，方法同上.②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点.2.有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算.(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝（x1＋x2）2－4x1x2，|y2－y1|＝（y1＋y2）2－4y1y2.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式).3.弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算.热点一直线与圆锥曲线的相交弦问题[微题型1]弦长问题【例1－1】(2015·南昌模拟)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，AF→＝2FB→.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|AB|＝154，求椭圆C的方程.解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知y1y2＜0，F(c，0)，其中c＝a2－b2.(1)依题意，知直线l的方程为y＝3(x－c)，联立y＝3（x－c），x2a2＋y2b2＝1，得(3a2＋b2)y2＋23b2cy－3b4＝0.解得y1＝－3b2（c＋2a）3a2＋b2，y2＝－3b2（c－2a）3a2＋b2.因为AF→＝2FB→，所以－y1＝2y2，即3b2（c＋2a）3a2＋b2＝2·－3b2（c－2a）3a2＋b2.得离心率e＝ca＝23.(2)因为|AB|＝1＋13|y2－y1|，所以23·43ab23a2＋b2＝154.由ca＝23，得b＝53a.所以54a＝154，得a＝3，b＝5.所以椭圆C的方程为x29＋y25＝1.探究提高求直线与圆锥曲线相交时的弦长问题：一要注意直线的斜率是不是存在，若不能确定则要分类讨论；二要注意直线与圆锥曲线相交于不同的两点时，其判别式大于零.[微题型2]中点弦问题【例1－2】过点P(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度.解法一设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y21＝8x1，y22＝8x2，两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2).又x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，则k＝y2－y1x2－x1＝4.所以直线AB的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.由4x－y－15＝0，y2＝8x消去x并整理，得y2－2y－30＝0，则y1＋y2＝2，y1y2＝－30.由弦长公式，得|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2×（y1＋y2）2－4y1y2＝5272.法二设AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)，由y＝k（x－4）＋1，y2＝8x消去x并整理，得ky2－8y－32k＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1＋y2＝8k，又P是AB的中点，所以y1＋y22＝1.所以8k＝2⇒k＝4.所以直线AB的方程为4x－y－15＝0.弦长求解同法一.探究提高本题较为全面地考查了直线与圆锥曲线相交时的弦长问题，两种解法都是设而不求，运用弦长公式和根与系数的关系计算弦长，但是求直线AB的方程的方法各不相同.解法一求弦AB所在直线方程的关键是求出斜率k，可把点P是弦AB的中点作为突破口求解；解法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.【训练1】设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M0，12的距离比点P到x轴的距离大12.(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A、B两点，且|AB|＝26，求k的值.解(1)过P作x轴的垂线且垂足为N，则|PN|＝y，由题意可知|PM|－|PN|＝12，∴x2＋y－122＝y＋12，化简得x2＝2y(y≥0)，即为所求.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y＝kx＋1，x2＝2y化简得x2－2kx－2＝0，∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2，|AB|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋k24k2＋8＝26，∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.热点二圆锥曲线中的存在性问题[微题型1]圆锥曲线中直线的存在性问题【例2－1】已知点M(－1，0)，N(1，0)，动点P(x，y)满足|PM|＋|PN|＝23.(1)求P的轨迹C的方程；(2)是否存在过点N(1，0)的直线l与曲线C相交于A，B两点，并且曲线C存在点Q，使四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.解(1)根据椭圆定义可得轨迹C的方程为x23＋y22＝1.(2)假设存在过点N(1，0)的直线l.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：x＝my＋1，代入椭圆方程并整理得(2m2＋3)y2＋4my－4＝0，显然Δ＞0，则y1＋y2＝－4m2m2＋3，y1y2＝－42m2＋3.①假设存在点Q，使得四边形OAQB为平行四边形，其充要条件为OQ→＝OA→＋OB→，则点Q的坐标为(x1＋x2，y1＋y2).由点Q在椭圆上，即（x1＋x2）23＋（y1＋y2）22＝1.整理得2x21＋3y21＋2x22＋3y22＋4x1x2＋6y1y2＝6.又A，B在椭圆上，即2x21＋3y21＝6，2x22＋3y22＝6.故2x1x2＋3y1y2＝－3.②将x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1代入②得(2m2＋3)y1y2＋2m(y1＋y2)＋5＝0，③由①③解得m＝±22，故直线l的方程是x＝±22y＋1，即2x±2y－2＝0.探究提高直线方程设为y＝kx＋b(斜截式)时，要注意考虑斜率是否存在；直线方程设为x＝my＋a(可称为x轴上的斜截式)，这种设法不需考虑斜率是否存在.[微题型2]圆锥曲线中参数的存在性问题【例2－2】(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝x24与直线l：y＝kx＋a(a0)交于M，N两点.(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.解(1)由题设可得M(2a，a)，N(－2a，a)，或M(－2a，a)，N(2a，a).又y′＝x2，故y＝x24在x＝2a处的导数值为a，C在点(2a，a)处的切线方程为y－a＝a(x－2a)，即ax－y－a＝0.y＝x24在x＝－2a处的导数值为－a，C在点(－2a，a)处的切线方程为y－a＝－a(x＋2a)，即ax＋y＋a＝0.故所求切线方程为ax－y－a＝0和ax＋y＋a＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.从而k1＋k2＝y1－bx1＋y2－bx2＝2kx1x2＋（a－b）（x1＋x2）x1x2＝k（a＋b）a.当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意.探究提高(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.【训练2】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为M(0，1)，F1，F2为其两个焦点，△MF1F2的周长为25＋4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)以M(0，1)为直角顶点作椭圆C的内接等腰直角三角形MAB，这样的等腰直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个，并求出直角边所在的直线方程；若不存在，请说明理由.解(1)由题意得b＝1，a2－c2＝b2，2a＋2c＝25＋4，解得a＝5，b＝1，c＝2，所以椭圆C的方程是x25＋y2＝1.(2)假设存在满足条件的等腰直角三角形MAB，由题意，知直角边MA，MB所在直线都不可能平行或垂直于x轴.设MA所在直线的方程是y＝kx＋1(k＞0)，则MB所在直线的方程是y＝－1kx＋1，由y＝kx＋1，x2＋5y2＝5，得A－10k1＋5k2，－10k21＋5k2＋1，所以|MA|＝－10k1＋5k22＋－10k21＋5k22＝10k1＋k21＋5k2.同理，可得|MB|＝101＋k25＋k2，由|MA|＝|MB|，得k(5＋k2)＝1＋5k2，解得k＝1或k＝2±3.故存在三个满足条件的内接等腰直角三角形MAB，直角边所在直线的方程是y＝x＋1、y＝－x＋1或y＝(2＋3)x＋1、y＝(－2＋3)x＋1或y＝(2－3)x＋1、y＝－(2＋3)x＋1.1.直线与抛物线位置关系的提醒(1)若点P在抛物线内，则过点P且和抛物线只有一个交点的直线只有一条，此直线与抛物线的对称轴平行；(2)若点P在抛物线上，则过点P且和抛物线只有一个交点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条直线与抛物线的对称轴平行；(3)若点P在抛物线外，则过点P且和抛物线只有一个交点的直线有三条，两条是抛物线的切线，另一条直线与抛物线的对称轴平行.2.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.3.求中点弦的直线方程的常用方法(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x1＋x2，y1＋y2，y1－y2x1－x2三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.4.存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在.(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.