考研微分方程知识归纳

1微分方程部分重点内容1、变量可分离的微分方程（1）形式()()dyfxgydx或121()()()()0MxMydxNxNydy（2）通解()()dyfxdxCgy或1212()()()()MxNydxdyCNxMy2、齐次方程（1）形式()dyydxx或()dxxdyy（2）通解()dudxCuux（令yux，则yxu，dyduuxdxdx）或()dudxCuux（令xuy，则xyu，dxduuydydy）3、一阶线性微分方程（1）形式)()(xqyxpy（2）通解()()(())pxdxpxdxyeqxedxC4、可降阶的高阶微分方程（1）()()nyfx，其中()fx为已知函数积分n次可得其通解（2）(,)yfxy（不显含y）令yp，则yp。于是，原方程可化为(,)pfxp（一阶）①设①的通解为1(,)pxC，即1(,)yxC（一阶）②由②可得通解12(,)yxCdxC（3）(,)yfyy（不显含x）2令yp，则dpdpdydpyppdxdydxdy。于是，原方程可化为(,)dppfypdy（一阶）①设①的通解为1(,)pyC，即1(,)yyC（一阶）②由②可得通解21(,)dyxCyC5、二阶线性微分方程（1）形式非齐次)()()(xfyxqyxpy（1）齐次0)()(yxqyxpy（2）（2）解的结构定理1若)()(21x、yxy为（2）的两个解，则)()(2211xyCxyC为（2）的解。定理2若)()(21x、yxy为（2）的两个线性无关的解，则)()(2211xyCxyC为（2）的通解。)()(21x、yxy线性无关)((21xyxy常数。定理3若)()(21x、yxy为（1）的两个解，则)()(21xyxy为（2）的解。定理4若)(0xy为（2）的解，)(xy为（1）的解，则)(0xy)(xy为（1）的解。定理5若)()(2211xyCxyC为（2）的通解，)(xy为（1）的一个特解解，则（1）通解为)()(2211xyCxyCy)(xy6、二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程0yqypy（qp,为常数）的通解：特征方程20pq的判别式qp421212xxyCeCe（0，有两相异实根12,）3012()xyCCxe（0，有两相等实根120）12(cossin)xyCxCxe（0，有一对共轭复根1,2i）二阶常系数非齐次线性微分方程)(xfyqypy（qp,为常数，)(xf为已知函数，称为自由项）特解的表示：（1）若()()xnfxPxe（其中()nPx为n次多项式），则可设特解()kxnyxQxe其中()nQx为（系数待定的）n次多项式，0,1,2,k不是特征根是单特征根是重特征根注意当()()nfxPx即0时，也要考虑其是否为特征根！（2）若()cosxfxaex或()sinxfxbex，则可设特解(cossin)kxyxeAxBx其中,AB为（待定）常数，0,1,iki不是特征根是特征根（3）若12()()()fxfxfx，且1y为1()ypyqyfx的特解，2y为2()ypyqyfx的特解，则1yy2y为12()()ypyqyfxfx的特解（特解的可叠加性）。7、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程（1）三阶0ypyqyry特征方程320pqr①三个相异实根123,,时的通解4312123xxxyCeCeCe②两个为二重实根120，另一个为单实根3时通解03123()xxyCCxeCe③三个为三重实根1230时的通解02123()xyCCxCxe④一个为单实根1，另两个为共轭复根2,3i时的通解11xyCe23(cossin)xCxCxe（2）四阶(4)0ypyqyrysy特征方程4320pqrs①四个相异实根1234,,,时的通解31241234xxxxyCeCeCeCe②两个为二重实根1201，另两个也为二重实根1202时的通解01021234()()xxyCCxeCCxe③三个为三重实根1230，另一个为单实根4时通解0421234()xxyCCxCxeCe④四个为四重实根12340时通解0231234()xyCCxCxCxe⑤两个为二重实根120，另两个为相异实根34,时的通解01341234()xxxyCCxeCeCxe⑥两个为二重实根120，另两个为共轭复根3,4i时的通解012()xyCCxe34(cossin)xCxCxe⑦两个为相异实根12,，另两个为共轭复根3,4i时的通解51212xxyCeCe34(cossin)xCxCxe例题选讲例1二阶常系数非齐次线性微分方程2432xyyye的通解为。（2007数学二）解特征方程2430特征根121,3余函数312xxyCeCe设特解*2xyAe，代入非齐次方程可得2A得通解32122xxxyCeCee例2求微分方程2()yxyy满足初始条件(1)(1)1yy的特解。（2007数学二）解（可降阶，不显含y）令yp，则yp。于是，原方程可化为2()pxpp变形为1dxxpdpp（将x作为p的函数，这点很关键！！！）则lnln11()()dpdpppppxepedpCepedpC1()ppC即1()xyyC由(1)1y，得10C，则有2()yx，又由(1)1y知，应取yx解得32223yxC6由(1)1y，得213C故方程2()yxyy满足初始条件(1)(1)1yy的特解为322133yx例3在下列微分方程中，以123cos2sin2xyCeCxCx为通解的微分方程是（）A、440yyyyB、440yyyyC、440yyyyD、440yyyy（2008数学二）解特征根为12,31,2i特征方程为(1)(2)(2)ii232(1)(4)440，故应选D。例4设()fx是区间[0,]上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f。对任意[0,]t，直线0,xxt，曲线()yfx以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()fx的表达式。（2008数学二）解由题设，有22002()1()2()ttfxfxdxfxdx（旋转体侧面面积公式，要记住！）即2200()1()()ttfxfxdxfxdx方程两边对t求导，得22()()1()ftftft解得21ln(1)yytC，21)tyyCe由(0)1y，得1C。所以21)tyye，或1()()2xxyfxee。例5设非负函数()(0)yyxx满足微分方程20xyy，当曲线()yyx过原点时，其与直线1x及0y所围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转7体体积。（2009数学二）解将微分方程20xyy变形为12(0)yyxxx（不显含y）（1）注意到方程（1）为关于y及x的一阶线性微分方程，则1112(()2)dxdxxxyeedxCxlnln12(()2)xxeedxCx122(()2)xdxCx112()22xCCxx于是，有2122yCxxC由()yyx过原点，得20C，则212yCxx。又由121102(2)13CCxxdx，得13C，从而所求函数为232yxx于是11232002(32)2(32)yVxxxdxxxdx176。注意1用公式2()byaVxfxdx要简便得多！（(),[,]yfxxab）注意2可降阶的高阶微分方程07年也考到，07、09都为(,)yfxy（不显含y）型。例6三阶常系数齐次线性微分方程220yyyy的通解为。（2010数学二）解特征方程为32220因式分解得2(2)(1)0特征根为12,32,i8通解为2123cossinxyCeCxCx注意与08年类似。例7设函数()yfx由参数方程22,(1)()xtttyt所确定，其中()t具有二阶导数，且5(1),(1)62。已知2234(1)dydxt，求函数()t。（2010数学二）解()22dytdxt22()()()()()2(1)2(1)dyddydtdtdtdxdxdxdxtdttdx23()(1)()1()(1)()2(1)2(1)4(1)ttttttttt又2234(1)dydxt，则2()(1)()3(1)tttt变形为1()()3(1)1tttt（这是关于及t的一阶线性微分方程）则11111()(3(1))dtdttttetedtCln(1)ln(1)1(3(1))ttetedtC2111(1)(3)3(3)ttCtCtC由(1)6，得1163(3)CC，10C则2()33ttt于是3223()2tttC由5(1)2，得253122C，20C所以有9323()2ttt注意1一阶线性微分方程是考试重点注意2由参数方程()()xtyt所确定的函数的导数也是考试的重点223()()()()(),()[()]dytdyttttdxtdxt其中公式223()()()()[()]dyttttdxt可与曲率公式3/2|()()()()|[()]ttttt联系起来记。例8微分方程2(0)xxyyee的特解的形式为（）A、()xxaeeB、()xxaxeeC、()xxxaebeD、2()xxxaebe（2011数学二）解特征方程为220r特征为12,rr（单根）2xyye的特解可设为xxae，2xyye的特解可设为xxbe于是，应选C。注意特解的可叠加性例9微分方程cosxyyex满足条件(0)0y的解y。（2011数学二）解(cos)dxdxxyeexedxC(cos)xxxeexedxC(sin)xexC由(0)0y，得0C，则满足条件(0)0y的解ysinxex10注意1应检验是否为cosxyyex的解注意2进一步说明：一阶线性微分方程是考试重点例10设函数()yyx具有二阶导数，且曲线:()lyyx与