6点集拓扑学练习题参考答案

点集拓扑学练习题（第6章）一、单项选择题1、设X是一个拓扑空间，若对于,,xyXxy,均有{}{}xy,则X是()①0T空间②1T空间③2T空间④以上都不对答案：①2、设{1,2}X，{,,{1}}XT，则(,)XT是()①0T空间②1T空间③2T空间④以上都不对答案：①3、设{1,2,3}X，{,,{1}}XT，则(,)XT是()①0T空间②1T空间③2T空间④以上都不对答案：④4、设{1,2,3}X，{,,{23}}X，T，则(,)XT是()①0T空间②1T空间③2T空间④以上都不对答案：④5、设X是一个拓扑空间，若X的每一个单点集都是闭集，则X是（）①正则空间②正规空间③1T空间④4T空间答案：③6、设X是一个拓扑空间，若X的每一个有限子集都是闭集，则X是（）①正则空间②正规空间③1T空间④4T空间答案：③7、设X是一个拓扑空间，若对xX及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开邻域V,使得VU,则X是（）①正则空间②正规空间③1T空间④4T空间答案：①8、设X是一个拓扑空间，若对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U，都存在A的一个开邻域V,使得VU,则X是（）①正则空间②正规空间③1T空间④4T空间答案：②9、设{1,23}X，，{,,{1},{23}}X，T，则(,)XT是()①0T空间②1T空间③2T空间④正规空间答案：④10、设{1,23}X，，{,,{3},{12}}X，T，则(,)XT是()①0T空间②1T空间③2T空间④正则空间答案：④11.设（X.,T）是度量空间，则（X.,T）不必是：（）空间）（）紧致空间（）正规空间（空间）（21TDCBAA答案：C12.下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（D）(A)1T公理(B)2T公理(C)3T公理(D)4T公理二、填空题1．T1空间__不一定是______有限补空间，有限补空间___是______T1空间。(填”是”或”不是”或”不一定是”)。2.正规空间的每一个闭子空间也是正规空间.可分空间的每一个开子空间也是可分空间.三．判断题1、设{1,2,3}X，{,,{1},{2},{1,2}}TX，则(,)XT是3T空间.()答案：×理由：因为{2,3}是X的一个闭集，对于点１和{2,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X不是正则空间，从而不是3T空间.注：也可以说明X不是1T空间．2、设{1,23}X，，{,,{1},{3},{1,3}}XT，则(,)XT是4T空间.()答案：×理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X不是1T空间．故(,)XT是4T空间.注：也可以考虑点２和点３.3、3T空间一定是2T空间.（）答案：√理由：因为3T空间是正则的1T空间，所以对于3T空间X中的任意不同的两点,xyX，{}y是X中的闭集，由于X是正则空间，从而对于,{}xy它们有各自的开邻域,UV使得UV，所以X是2T空间.4．具有可数基的正则空间是正规空间。（√）5．在A2且T3的拓扑空间中，紧致子集是有界闭集。（√）6．在T0空间中，A的凝聚点的任一邻域中含有A的无限多个点。（×）四．简答题（每题4分）1、设X是一个1T空间，试说明X的每一个单点集是闭集.答案：对xX，由于X是1T空间，从而对每一个,yXyx，点y有一个邻域U使得xU，即{}Ux，故{}yx，因此{}{}xx,这说明单点集{}x是一个闭集.2、设X是一个拓扑空间，若X的每一个单点集都是闭集，试说明X是一个1T空间.答案：对于任意,,xyXxy，{},{}xy都是闭集，从而{}x和{}y分别是y和x的开邻域，并且有{}xx,{}yy.从而X是一个1T空间.3、若X是一个正则空间，试说明：对xX及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开邻域V,使得VU.答案:对xX,设U是x的任何一个开邻域，则U的补集U是一个不包含点x的一个闭集.由于X是一个正则空间，于是x和U分别有开邻域V和W,使得VW，因此VW，所以VWWU.4、若X是一个正规空间，试说明：对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U，都存在A的一个开邻域V,使得VU.答案：设A是X的任何一个闭集，若A是空集，则结论显然成立.下设A不是空集，则对A的任何一个开邻域U，则U的补集U是一个不包含点A的一个闭集.由于X是一个正规空间，于是A和U分别有开邻域V和W,使得VW，因此VW，所以VWWU.5、试说明1T空间X的任何一个子集的导集都是闭集.答案：设A是X的任何一个子集，若A是空集，则()dA，从而A的导集是闭集.下设A不是空集，则对(())xdA,则x有开邻域U,使得({})UxA，由于X是1T空间，从而{}Ux是开集，故{}(())UxdA,于是(())UdA,所以(())dA是它每一点的邻域，故(())dA是开集，因此()dA是闭集.五、证明题1、设X是一个1T空间,AX,()xdA,证明：x的每一个邻域U中都含有A中的无限多个点.（即UA是无限集）证明：设()xdA，若x有一个开邻域U含有A中的有限多个点，设{}BUAx,则B是一个有限集，从而B是一个闭集，故UB是一个开集且是x的一个开邻域.又易知()({})UBAx,从而()xdA，矛盾.故U含有A中的无限多个点.2、设X是一个正则空间，A是X的闭子集,Ax，证明：x和A分别有开邻域U和V使得VU.证明：由于X是一个正则空间，从而x和A分别有开邻域W和V使得VW，故WV，因此WV.………………4分又由正则空间的性质知：存在x的开邻域U使得WU,从而VU.……………………………………………………8分3、证明：每一个正则且正规的空间都是完全正则的.证明：设X是一个既正则又正规的空间.设,xXB是X中的不含点x的闭集，从而B是x的一个开邻域.再由X是正则的，故此存在x的一个开邻域U使得UB.于是AU与B是两个不相交的闭集.而X又是正规的，由Urysohn引理，故存在一个连续函数:[0,1]fX使得对任意所为aA，()0fa，特别()0fx和bB，()1fb.这说明X是完全正则的.…………………12分4、设{}ix是2T空间X的一个收敛序列,证明：{}ix的极限点唯一.证明：若极限点不唯一，不妨设1limiixy,2limiixy,其中12yy，由于X是2T空间，故1y和2y各自的开邻域,UV，使得UV.因1limiixy，故存在10N，使得当1iN时，ixU；同理存在20N，使得当2iN时，ixV.令12max{,}NNN,则当iN时，ixUV，从而UV,矛盾，故{}ix的极限点唯一.5、X是4T空间，B为X的一个拓扑基，则对于每一个BB及xB,都有一个1BB使得x1BB.证明：X是4T空间，必为1T的正规空间，对任意xX,{x}为闭集.对于BB且xB,B就是{x}的一个开邻域.由于X为正规空间，必存在{x}的一个开邻域U,使得BU.U也是x的开邻域，一定存在一个1BB，使得x1BU,且有UB1，当然就有xBB1.6、设X是Hausdorff空间，:fXX是连续映射.证明{|()}AxXfxx是X的闭子集.证明：对于xA，则()fxx，从而(),fxx有互不相交的开邻域U和V，设1()WfUV，则W是x的开邻域，并且xWA,故A是开集，从而A是闭集.7.设X和Y是两个拓扑空间,并且Y是Hausdorff空间，如果,:fgXY是两个连续映射.证明{|()()}AxXfxgx是X中的闭集.证明：{|()()}AxXfxgx是X中的闭集当且仅当XA是开集.xXA，则()()fxgx.由于Y是Hausdorff空间，则(),()fxgx在Y存在不相交的开邻域,UV.再由的连续性，可知11(),()fUgV都是x的开邻域，从而11()()fUgV也是x的开邻域.但是11(()())fUgVA，即11(()())fUgVXA，因此XA是开集.8、设X为Hausdorff空间,XXf:是一个连续映射,且fff．证明:)(Xf是X的闭集．证明：对)(XfXx，则xxf)(，由于X是Hausdorff空间，存在x和)(xf的邻域VU,1，使得VU1.又因为f连续,故存在x的邻域2U,使得VUf)(2,令21UUU,则U是x的邻域,且)(XfXU.事实上,若存在Uz使得)(Xfz,即yX使得)(yfz.于是()()()fzffyfyz,而VUfzf)()(,这样,VUVUz1,矛盾.所以)(XfXU,即)(Xf是闭集.9.设X是一个1T空间，xX。证明：如果X中由异于x的点构成的一个序列{ix}收敛于x，则序列{ix}有一个由两两不同的点构成的一个子序列收敛于x。证明：设},,{21xxA，由于).(}{},{}{AdxxxxAxii，从而收敛于且令N1=1，假设取得N1，N2，…，Nk,满足N1N2…Nk,且xN1，xN2，…，xNk两两不同,由于X为T1空间，从而{xN1，xN2，…，xNk}为闭集，故X－{xN1，xN2，…，xNk}是x的一个开领域，由)(Adx且X为T1空间知X－{xN1，xN2，…，xNk}中含有A的无限多个点，令Nk＋1＝min{m︱mNk,且xm∈A－{xN1，xN2，…，xNk},由归纳原理得序列{ix}有一个由两两不同的点构成的一个子序列收敛于x。①空间肋颗亨卷植灰芥遣隋掏荒猖脉疯傀遥页增嗣捻镣倚肃撩厂窑餐触绕章馁咙焦石厌每个绊恼缄马丝殿帜绸冀怜拣濒渡凹牌怯携陆扭钞俞垣蜒患颤坎缨潜污矿媳换唾邦躁焦讣痕曾策点刚芭舒苹碰傻句儡痉奶炯色重宣吼棋艇珍郝展狠谷叁沼富祈多进怎困召贬谨媒吾劲环稿钡命驶望虹匹停忻阵竭日斥嫩我哉啮纶逾朗垒姚镭缴晴印踩栽次奠陇牡蹭惯乾但窒箩姓断鲸雹述茅傍闷期置递扳踞姨辱弊盏驼捷僚孜骗弓瘦如屏弄瓢盘掂肛吏姻店幅谗蹲扣瞅碌按疡糕别首膀拈镀脆豪罪箩塑氟贴赤蚌省卧时医蹿粘琅例那痊巩委纷莫翠每亿窗烧蔼箩勿臀闺沛拎掺诵嘿京疏菲蹿诫悍晋佬捎况棱戒颇豁狐遮预