静电场之均匀带电圆环-圆盘和圆圈在轴线上的电场

(1)一个半径为a的均匀带电圆环，带电量为Q(Q0)，求圆环轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标的变化规律是什么？(2)一个半径为a的均匀带电圆盘，带电量为Q(Q0)，求圆盘轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标变化的规律是什么？(3)一个外半径为a、内半径为b的均匀带电圆圈，带电量为Q(Q0)，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？[解析](1)设λ0，圆环上所带电量为Q=2πaλ。如图所示，圆环上所有电荷到场点P的距离都是22rza在P点产生的电势为22kQkQUrza电势在原点处最高，并随着距离的增加而减小。P点的场强为223/2dd(.)UkQzEzzaazOQrPE{范例9.5}均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场在z=0处电场强度E=0；在z→±∞处E→0，因此E在z从0到±∞之间有极值。令可得极值为如果za，电势和场强分别为223/2()kQzEza这是点电荷的电势和场强公式，其中z/|z|表示符号。azOQrPEM22230.38499kQkQEaa,||kQUz32||||kQzzkQEzzz223/22221/2223Md()3()[]0d()EzazzakQzzzzaM/2.za{范例9.5}均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场当z0时，E0，场强的方向与z轴正向相同；当z0时，E0，场强的方向与z轴正向相反。电势曲线在中间下凹，在两边上凹，两部分的接合点是拐点，两个拐点对应电场强度的极值。圆环电荷在中心产生的电势最大，当距离比较远时，其电势接近点电荷的电势。圆环电荷在中心处的场强为零。当距离比较大时，其场强与点电荷的场强接近。场强随距离先增加再减小，当距离z=±0.7a时，场强最大。{范例9.5}均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场(2)一个半径为a的均匀带电圆盘，带电量为Q(Q0)，求圆盘轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标变化的规律是什么？[解析](1)设Q0，当电荷均匀分布圆盘上时，电荷的面密度为σ=Q/πa2，如图所示，在圆盘上取一半径为R，宽度为dR的圆环，其面积为dS=2πRdR，所带的电量为dq=σdS，环电荷在场点P产生的电势为2222d2πddkqkRRUzRzR全部电荷在场点P产生的电势为220d2πaRRUkzR222π(||).kzazazOQRPEdRr(2)一个半径为a的均匀带电圆盘，带电量为Q(Q0)，求圆盘轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标变化的规律是什么？σ=Q/πa2，电势当z=0时电势最高U=2kQ/a。当|z|a时，电势为这是点电荷的电势。222π(||)UkzazazOQRPEdRr2222(||)kQUzaza221/2222222[||(1)||][||]2||kQakQakQUzzzazazz{范例9.5}均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场圆盘两边场强的方向不同。如果z0，轴线上的场强为当z→+0时，E→2kQ/a2=σ/2ε0，这是无限大均匀带电平面在正面产生的场强。当za时，可得2222(||)kQUzaza222222d2d2()(1)ddUkQkQzEzazzazaza221/222222221[1(1)]2kQakQakQEazazz这是点电荷的场强。如果z0，轴线上的场强为222222d2d2()(1)ddUkQkQzEzazzazaza当z→-0时，E→-2kQ/a2=-σ/2ε0，这是无限大均匀带电平面在另一面产生的场强。圆盘两边的场强不连续。轴上的场强可统一表示为2222||(1)|.|zkQzEzaza{范例9.5}均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场圆盘电荷在中心产生的电势最大，该点左右两边的电势虽然连续，但是导数不连续，因而圆盘两边的场强不连续。两边的电势曲线都是向上凹的，没有拐点。当|z|3a时，圆盘电荷的电势接近于点电荷的电势。圆盘电荷在中心附近产生的场强最大，该场强表示“无限大”带电平面的场强；圆盘两边的场强方向不同，因而不连续。当距离增加时，场强持续减小；当|z|3a时，圆盘电荷的场强接近于点电荷的场强。(3)一个外半径为a、内半径为b的均匀带电圆圈，带电量为Q(Q0)，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？[解析](2)当电荷均匀分布在外半径为a、内半径为b的圆圈上时，如图所示，圆圈的面积为S=π(a2-b2)，电荷的面密度为σ=Q/S，在圆圈上取一半径为R，宽度为dR的圆环，在场点P产生的电势为场点P的电势为在z=0处的电势为222πddkRRUzR22d2πabRRUkzR22222π()Ukzazb2222222()kQzazbabaQbzORPEdRr2kQUab如果b=a，可得带电圆环中心的电势U=kQ/a；如果b=0，则得带电圆盘中心的电势U=2kQ/a。{范例9.5}均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场(3)一个外半径为a、内半径为b的均匀带电圆圈，带电量为Q(Q0)，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？根据公式E=-dU/dz可得圆圈轴线上的场强如果b≠a，当z=0时，圆圈中心的场强E=0；令2222222()kQUzazbab解得极值坐标222222211()kQzEabzbza2222223/2223/2Md2[]0d()()EkQbazzzabzbza4/324/32M4/34/3baabzab极值场强为2/32/33/2M221/(.1/2)baEkQabab当z→±∞时，E→0，因此场强E在z从0到±∞之间有极值。{范例9.5}均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场[讨论]①当b→0时，圆圈演变成圆盘，轴上的电势为②当b→a时，圆圈演变成圆环，轴上电势为2222222(),kQUzazbab轴上场强222222211()kQzEabzbza4/324/32M4/34/3,baabzab2/32/33/2M221/1/2()baEkQabab轴上场强2222(||)kQUzaza2222222112||()(1)||||kQzzkQzEazzazaza22222212kQUkQzazbza22222222222()kQzzazbEabzazb2222222221()kQzzazbzazb223/2.()kQzza{范例9.5}均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场[讨论]根据罗必塔法则，圆环场强的极值坐标为③如果za，根据二项式定理，可得2222222(),kQUzazbab这是点电荷的电势和场强。222222211()kQzEabzbza4/324/32M4/34/3,baabzab2/32/33/2M221/1/2()baEkQabab圆环场强的极值为1/324/3M1/3(4/3)2(4/3)2baabazb5/33/2M2(2/3)232[]29bkQEkQabba221/21/222222||[(1)(1)]kQzabUabzz2222222||[(1)(1)]22||kQzabkQabzzz221/21/222222[(1)(1)]()||kQzbaEabzzz2||zkQzz{范例9.5}均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场均匀带电圆环到均匀带电圆盘的电势的演变过程。在中心点，圆环电荷产生的电势最小，导数为零；当距离比较大时，所有电荷的电势都与点电荷产生的电势相近。随着圆圈宽度的增加，中心点的电势也增加，极大值变“尖”了，但导数仍然为零，这是因为电荷离轴线变近的缘故；当圆圈变成圆盘时，电荷产生的电势最大，形成“尖”形，导数不但不为零，并且左右导数不相等。均匀带电圆环到均匀带电圆盘的电场强度的演变过程。当距离比较大时，所有电荷的场强都与点电荷的场强相近。圆环电荷和圆圈电荷在中心点产生的场强为零，不论圆圈宽度如何，场强都有极值。场强的极值分布在一条由线上，随宽度的增加而增加，也越靠近中心点。圆盘的电场是极限情况，场强的极值就在中心处。