第五节泰勒公式与泰勒级数讲稿第六节函数的间接展开(泰勒级数)2013-3-26(修改)

1例（1）（3）(90.5)求级数21(3)nnxn的收敛域.解令3tx，级数21nntn,由212limlim1(1)nnnnanan知1tR,因此当131x即24x时原级数收敛.当2x时,原级数为21(1)nnn收敛,当4x时,原级数为211nn收敛.所以原级数收敛域为[2,4].（2）(92.3)级数21(2)4nnnxn的收敛域为)4,0(.答令2(2)tx对于14nnntn,由1141limlim(1)44nnnnnnanan,于是收敛半径4tR,则20(2)404xx内收敛.当0x和4x时,原级数都为11nn发散,所以收敛域为(0,4).例4求幂级数1(21)nnxn的收敛半径与收敛域.2（中心不在原点的级数求收敛域时先作变量替换）解令21tx,幂级数变形为1nntn,111limlimlim1111nttnnnnannRRann12xR1111022txx，当1x时原级数为11(1)nnn收敛，当0x时，11nn发散，故原级数收敛半径12R，收敛域为[1,0).注意：一般幂级数求收敛半径时作变量代换.§7.5泰勒公式与泰勒级数教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh，了解函数的Taylor级数与Taylor展式的关系.重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法.难点:理解泰勒公式的推导方法.教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：引例：近似表达函数的多项式的特性无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数引例：当x很小时，1xex，3设()xfxe，1()1Pxx，则11(0)(0)1,(0)(0)1fPfP.用22()12xPxx＋表示212xxex＋在0x处值更为接近.猜想将1()Px换成()nPx则在0xx处两函数有直到n阶相同的导数，其在0xx处接近的程度更高，即212!nxxxexn.为用多项式表示更复杂的函数：设有函数()fx在0xx的某一邻域内有直到1n阶的导数，令()fx0100()()()nnnPxaaxxaxx，再令1()()nfxDI,0(,)xIab,若()()00()()kknfxPx,0,1,,kn.（(0)(0)00()()nfxPx表示0k的函数值相等）则()01()!kkafxk（0,1,,kn），于是()fx0100()()()nnnPxaaxxaxx.证明：因0100()()()nnnPxaaxxaxx,10()()(1)nPxaxxO,20()2!()(1)nPxaxxO……,()0()!()(1)knkPxkaxxO……,()()!nnnPxna,那么()()00()()!kknkfxPxka,所以()01()!kkafxk,0,1,,kn.一、泰勒（Taylor）公式在讲第三章微分的应用时我们导出了近似公式4000()()()()fxfxfxxx（当0xx很小时）从几何上看，这是在点0x附近用切线的一段近似地代替曲线弧.在函数改变量的表达式0000()()()()()fxfxfxxxoxx中略去了一个关于（0xx）的高阶无穷小量（0xx时）.但公式000()()()()fxfxfxxx在实际计算中的精度不高，其误差为1000()()()()()Rxfxfxfxxx，可以推出2100()()(),,2!fRxxxxx.如果需要精度更高些，可将（0xx）的高阶无穷小分离成两部分220200()()()oxxaxxoxx（0xx时）.保留与20()xx同阶的无穷小量，略去20()xx的高阶无穷小量，此时有200020()()()()()fxfxfxxxaxx，以此类推，为达到一定精确度的要求，可考虑用n次多项式()Px近似表示()fx，当0xx很小时，将多项式()Px写成以（0xx）的方幂展开的形式2010200()()()()nnPxaaxxaxxaxx，其中012,,,aaa是待定系数.我们知道()Px具有任意阶的连续导数，将()Px的多项式两边求一阶到n阶导数，并令0xx可得000102(),(),()2!,,PxaPxaPxa()0()!nnPxna于是()Px可以写成200000()()()()()()2!PxPxPxPxxxxx5()00()()!nnPxxxn若函数()fx在0xx的某一邻域内一阶到n阶的导数都存在，可以做出一个n次多项式200000()()()()()()2!nPxPxPxPxxxxx()00()()!nnPxxxn()nPx不一定等于()fx，但它可以近似表示()fx，它的近似程度可以由误差()()()nnRxfxPx来确定.设10()()(1)!nnkRxxxn，如果能确定k的值，则()nRx就确定了.【定理7.10】（泰勒公式）设()fx在含有0x的区间(,)Iab内有直到1n阶的连续导数,则(,)xab，()fx可以按（0xx）的方幂展开为()()()nnfxPxRx000()()()fxfxxx()001()()()!nnnfxxxRxn.此式称为按0xx的幂展开n阶泰勒公式.其中(1)10()()()(1)!nnnfRxxxn称为拉格朗日型余项,介于0x与x之间.证明：不妨设0xx.令()()()nnRtftPt,10)()(nnxttG,由条件知：(连续1n次使用柯西中值定理可以证明)6()()0(),()[,]kknnRtGtCxx,()()0(),()(,)kknnRtGtDxx,显然()()00()()0kknnRxGx,0,1,,kn.那么011001()()()()()()()()nnnnnnnnRxRxRxRxxGxGxG1010()()()()nnnnRRxGGx22()()nnRG(1)(1)1(1)1()()()(1)!nnnnnnnRfGn,其中0121nxx，所以(1)10()()()(1)!nnnfRxxxn,介于0x与x之间.另证：因为()fx在含有0x的区间(,)Iab内有直到1n阶的连续导数,所以对于0(,)xab，可将()fx写成200000()()()()()()2!fxfxfxfxxxxx()10001()()()!(1)!nnnkfxxxxxnn为求出k的值，引进辅助函数2()()()()()()()2!fttfxftftxtxt()11()()()!(1)!nnnkftxtxtnn显然0()()0xx，()t在区间0[,]xx上连续（设0xx），在区间0(,)xx内可导，由罗尔中值定理可知，至少存在一点0(,)xx，使得()0，因为()()()()[()()()]tftftxtftxtft72()[()()()]2!ftxtftxt(4)32()()[()()]3!2!ftftxtxt(1)()(1)()()[()()]()!(1)!!nnnnnftftkxtxtxtnnn化简整理得(1)()()[()]!nnxttkftn所以(1)()[()]0!nnxkfn，而()0nx由(1)(1)()0()nnkfkf，于是10)1()()!1()()(nnnxxnfxR，介于0x与x之间.在公式中当00x时，公式可化为麦克劳林公式2(0)()(0)(0)2!ffxffxx()(0)()!nnnfxRxn其中(1)1()()(1)!nnnfRxxn或令,01x，则(1)1()()(1)!nnnfxRxxn例1求()xfxe的n阶麦克劳林公式.解因()()kxfxe,()0(0)1kfe,其中0,1,,1knn，那么()(0)(0)xefxffx8(1)()11()(0)!(1)!nnnnfxfxxnn211112!!(1)!xnnexxxxnn,（01）.例2求()sinfxx的麦克劳林公式.解因()()sin()2nnfxx,()(0)sin()2nnf.有(0)0,(0)1,(0)0,(0)1,ffff(2)(0)0kf,(21)(0)(1)kkf,0,1,2k，那么sin()xfx(1)()11()(0)(0)(0)!(1)!nnnnfxffxfxxnn3521121(1)()3!5!(21)!kkkxxxxRxk,(或2()kRx都可以)其中：221sin[(2)]2()(2)!kkxkRxxk,01.（或212sin[(21)]2()(21)!kkxkRxxk，01）特别地：1k时，sinxx,32||||3!xR；2k时，3sin3!xxx,54||||5!xR；3k时，35sin3!5!xxxx,76||||7!xR.例3按(4)x的乘幂展开多项式432()523fxxxxx.9解(4)60,f324(4)(41523)|21,xfxxx24(4)(12302)|74,xfxx4(4)(2430)|66,xfx(5)(4)24,()0,()0nffxRx,所以432()(4)11(4)37(4)21(4)60fxxxxx.二、泰勒级数1.通过前面的学习我们知道，级数在其收敛域内一定有和函数.由泰勒公式的学习知道，我们可以用多项式近似表示函数.现在我们想知道函数是否一定可以展开为幂级数，需不需要附加条件？2.问题：已知函数有01,(1)1nnxxx收敛域11ln(1)(1)(11)nnnxxxn.问：(1)对于一般的函数()fx是否也有00()()nnnfxaxx？(2)如果能展开,项的系数na如何确定?(3)展开式是否唯一?(4)在什么条件下函数才能展开成幂级数?3.【定理】（TaylorTh）设()fx在0(,)Ux内具有任意阶导数,且lim()0nnRx，则在0(,)Ux内有()000()()()!nnnfxfxxxn.其中()nRx为()fx的拉格朗日型余项(1)10()()()(1)!nnnfRxxxn.10证明由于()000()()()()()()!nnnnnnnfxfxxxRxPxRxn.所以等式两边取极限()000()()()lim()!nnnnnfxfxxxPxnlim()lim[()()]0nnnnRxfxPx,),(0xUx.4．函数()fx在点0xx有泰勒展式()fx在0(,)Ux有任意阶导数且lim()0nnRx.注意：1）函数在点处可以展开为Taylor级数时，其展式是唯一的.因为泰勒系数()0()(0,1,2,)!nfxnn