第八章_逻辑代数基础

数字系统只能识别0和1，怎样才能表示更多的数码、符号、字母呢？用编码可以解决此问题。用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、符号等信息称为编码。二-十进制代码：用4位二进制数b3b2b1b0来表示十进制数中的0~9十个数码。简称BCD码。1.用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码，因各位的权值依次为8、4、2、1，故称8421BCD码。第八章码制常用BCD码十进制数8421码余3码格雷码2421码5421码012345678900000001001000110100010101100111100010010011010001010110011110001001101010111100000000010011001001100111010101001100110100000001001000110100101111001101111011110000000100100011010010001001101010111100权842124215421第八章逻辑代数及逻辑门8.1概述8.1.1逻辑代数的基本概念英国数学家乔治·布尔(G.Boole)提出了用逻辑代数描述逻辑关系，反映了逻辑变量运算规律的数学，从而诞生了著名的“布尔代数”。逻辑代数只能用‘0’和‘1’来表示两个相反的量8.1.2逻辑电路与逻辑代数的关系逻辑电路：指输入量与输出量之间具有一定逻辑关系的电路。三种基本门电路为“与”门电路、“或”门电路和“非”门电路。8.1.3门电路简介逻辑门电路是用来实现基本逻辑关系的电路，是组成数字电路的最基本的单元电路。小规模IC（SSI）1~10个逻辑门中规模IC（MSI）10~100个逻辑门最常用的为TTL门电路。电路图L=ABEABY8.2基本逻辑运算和逻辑门一、逻辑变量和逻辑常量逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0和1称为逻辑常量，并不表示数量的大小，无大小、正负之分，而是表示两种对立的逻辑状态。二、逻辑基本运算8.2.1、与逻辑（与运算）与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：Y＝A·B功能表真值表开关A开关B灯Y断开断开断开闭合闭合断开闭合闭合灭灭灭亮ABY000110110001YAB&逻辑符号8.2.1“与”运算8.2.2‘或’运算2、或逻辑（或运算）或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：Y=A+B电路图L=ABEABY功能表开关A开关B灯Y断开断开断开闭合闭合断开闭合闭合灭亮亮亮真值表ABY000110110111AB≥1逻辑符号8.2.2‘或’运算8.2.3‘非’运算3、非逻辑（非运算）非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：Y=AEAYREAYRYA1逻辑符号开关A灯Y断开闭合亮灭功能表AY0110真值表8.2.3“非”门电路三、常用的逻辑运算（1）与非运算：逻辑表达式为：ABYABY000110111110真值表YAB与非门的逻辑符号L=A+B&BAYABY000110111000真值表YAB或非门的逻辑符号L=A+B≥1（2）或非运算：逻辑表达式为：8.3复合逻辑运算和复合逻辑门（3）异或运算：逻辑表达式为：BABABAYABY000110110110真值表YAB异或门的逻辑符号L=A+B=1（4）与或非运算：逻辑表达式为：CDABYY≥1&ABCD与或非门的逻辑符号ABCD&&≥1Y与或非门的等效电路8.4逻辑代数中的三种基本运算8.5逻辑代数的基本定理、公式8.5.1基本公式（1）常量之间的关系与运算：111001010000或运算：1111011100008.5逻辑代数的基本公式、定理、规则（2）基本公式0-1律：AAAA100011AA互补律：01AAAA等幂律：AAAAAA双重否定律：AA（3）基本定理交换律：ABBAABBA结合律：)()()()(CBACBACBACBA分配律：)()()(CABACBACABACBA反演律（摩根定律）：BABABABA.8.5逻辑代数的基本公式、定理、规则8.5逻辑代数的基本公式、定理、规则（4）常用公式证明：))((BAAABAA)(1BABAABAABABAAABABAABAA)(冗余律：CAABBCCAAB证明：BCCAABBCAABCCAABBCAACAAB)()1()1(BCACABCAAB8.5逻辑代数的基本公式、定理、规则8.5.2逻辑代数的基本定理例如，已知等式，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：（1）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。CBABACBAC)(BAAB8.5.2逻辑代数的基本定理（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演规则。例如：EDCBAY))((EDCBAYEDCBAYEDCBAY(3)对偶定理例如：对偶定理:若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。定义：若将其中的·和＋交换0和1交换得到的式子叫做Y的对偶式，记做Y’。或者说Y、Y`互为对偶式。例如：()'YABCYABC'()()YABCDYABCD8.5.2逻辑代数的基本定理8.5.3逻辑函数及其表示方法1.51.逻辑函数事务间的因果关系是一种逻辑关系，可用逻辑函数表示如：前面介绍灯与开关间的逻辑关系又如举重裁判的例子：设有三个裁判，分别用A,B,C表示，其中是主裁判。规定至少有两个裁判确认（其中必须包含主裁判）时，运动员的试举才算成功。当用表示举重结果时，A,B,C的逻辑关系可表示为：Y=A(B+C)ABCL1.5.2逻辑函数的表示方法常用的有四种：真值表；逻辑函数式；逻辑图；卡诺图。1.真值表左侧是输入变量的所有取值，右侧是输出变量的值，即函数值。当输入变量个数为n时，真值表共有时，真值表共有2n8.5.3逻辑函数及其表示方法11111110110101000011001000010000YABC2.函数式举重裁判的函数式：Y=A(B+C)特点：便于运算、化简；便于画逻辑图；不便从逻辑问题直接得到。8.5.3逻辑函数及其表示方法3.逻辑图举重裁判函数的逻辑图：特点：便于用电路实现。&1AYBC8.5.3逻辑函数及其表示方法8.5.3逻辑函数及其表示方法4.各种表示方法间的互相转换（1）由真值表写出逻辑函数。1.找出真值表中输出Y＝1的输入变量的组合。2.每组输入变量的组合对应一个乘积项，取值为1的用原变量表示、为0的用反变量表示。3.将乘积项相加，即为Y的逻辑函数式。(2)由逻辑式列出真值表YABCABCABC8.5.3逻辑函数及其表示方法3由逻辑式画出逻辑图用图形符号代替逻运算符号例如：YABCABCC8.5.3逻辑函数及其表示方法4.由逻辑图写出逻辑式8.5.2逻辑函数及其表示方法()()YABABABABABABAB逻辑函数的公式化简法逻辑函数式最简的标准化简的意义：将逻辑函数化成最简形式便于在用电路实现时节省器件。逻辑函数式有多种形式，如与或式，或与式，与非与非式，或非或非式等等。与或式使用最多，因此我们只讨论与或式的最简标准：•包含的与项最少；•在满足1项的前提下，每个与项包含的变量个数最少。8.6逻辑函数的公式化简法1.6.2常用化简方法一、并项法利用基本公式ACDBACDBAY1CDBCDBACDBACDABAACDBAY)()(23()()YABCACBCABCCABCABABCABABA)()(4DDBCDDCBBCDDCBDBCDCBYBBCCBBDCBDCBBCDDCBDBCDCBY)()(48.6逻辑函数的公式化简法二、吸收法利用公式ADADBCBAADADABDCBAY)()(1AABA)(2DCABABDCABABYABDCDCAB)1(BCDCBABCAAY)(3BCADCBABCABCA))((8.6逻辑函数的公式化简法3.消项法：利用公式CAABBCCAABBAACCBBAACCBBAACY1EDCEBADCBAEDCBEEADCBAY)(2EBADCBAEDCEBADCBA8.6逻辑函数的公式化简法4.消因子法：利用公式BABAAACBABCBY1CBCDACBCDAACBACDAAY)(2DCBACBADCBAY3DACDACACDCAACDCDAACY)(48.6逻辑函数的公式化简法5.配项法：①利用AAAABCBCABCACBAABCBCACBAYBCBAAABCCCBA)()(②利用1AACBAACBCCBABACBCBBABAY)()(CBACBACBCBABCABA(1)(1)()ABCBCAABCABCABBCAC8.6逻辑函数的公式化简法()YACBCBDCDABCABCDABDEACBCBDCDABCABDEACBCBDCDAABDEBCBDCDAABCBD1.逻辑函数的最小项及性质一、最小项,最大项1）.最小项n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的与项，且这些变量均以原变量或反变量的形式出现一次，则称m为该组变量的最小项。以三变量为例如表。8.6.2卡诺图化简法2）.最小项的性质可见三变量逻辑函数的最小项有8个（23），四变量逻辑函数的最小项有16个（24），则n变量逻辑函数的最小项有2n个2).最小项的性质：•对应输入变量任何取值，都会有一个最小项，且仅有一个最小项的值为1，•任意两个最小项之积为0ABC.ABC=0•全体最小项之和为1；•两个逻辑相邻的最小项之和可合并成一项，且消去一个因子定义：如两个最小项只有一个变量不相同，则称之为逻辑相邻。和是逻辑相邻的最小项，当它们相加时，会消去变量AABCABC()ABCABCAABC2.逻辑函数的最小项表达式()()YABACABCCACBBABCABCABC最小表达式的常用方法：展开法和真值表法（1）展开法利用基本公式A+A=1可以把任何一个函数化为最小项之和的标准形式。3.用卡诺图表示逻辑函数一、表示最小项的卡诺图将变量的全部最小项用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列，所得到的图形叫做变量的卡诺图。二、用卡诺图表示逻辑函数1.把逻辑函数划简为最小项之和。2.在卡诺图相应位置标“1”14689101115()()()()YABCDABDACDABABCDABCCDABBCDABCCDDmmmmmmmm4逻辑函数的卡诺图化简法一、合并最小项的规则两个相邻最小项可合并并消去一个因子。合并的结果中只剩下公共因子。四个相邻最小项可合并并消去两个因子，合并的结果中只剩下公共因子。()ABCABCAABCBC()()()ABCDABCDABCDAB