第八章假设检验《概率论与数理统计》西南交大峨眉校区.

第8章假设检验8.1基本概念与思想8.2单正态总体参数的假设检验8.3双正态总体参数的假设检验8.4分布拟合检验假设检验是统计推断的另一类重要问题，用来推断总体是否具有某种统计特性。如抽查一批产品，考察产品的合格率是否达到标准；抽查一批灯泡，考察灯泡的寿命是否服从指数分布等。解决这类问题的思路是，首先假设总体具有某种性质，以此给出其样本统计量应该具有的特征，然后依据样本观测值是否与这种假设相吻合，来推断假设是否成立。也就是“先提出假设，再根据样本对假设做出检验，判断假设是否成立”，这就是“假设检验”。1.引例8.1基本概念与思想例1：某厂生产一批产品共80件。按规定，次品率不超过1%才能出厂。今在其中任意抽取2件，发现有次品。问这批产品能否允许出厂?记次品率为p,“这批产品能否出厂”转化为根据抽样结果来判断假设“0.01p”是否成立.称此待检验的假设为原假设，记为0H，与原假设对立的假设称为备择假设，记为1H。本例的原假设与备择假设分别为01:0.01;:0.01HpHp例2：某电子元件的寿命（单位：小时）服从正态分布2(1000,)N。现在采用新的生产工艺，想检验在新工艺下该电子元件的寿命的均值与1000相比有无显著变化。设新工艺下生产的电子元件的寿命X仍服从正态分布，均值为，方差不变。从新工艺下生产的产品中抽取一组样本，问题转化为依据此样本检验假设0H：1000是否成立。两个例子的共同点是从样本出发去判断一个“假设”是否成立，这就是“假设检验”。关于总体参数的假设称为参数假设；其余的假设称为非参数假设，如关于总体分布类型的假设。例3：某车间用包装机包装糖果，包装出的每一袋的重量X（单位kg）服从正态分布2(0.5,0.015)N。为检验某日包装机是否正常，随机抽取9袋糖果，称得重量为：0.497，0.506，0.518，0.524，0.498，0.511，0.520，0.515，0.512如果标准差不变，问包装机工作是否正常？0010:0.5;:HH如果接受0H，认为包装机工作正常；如果拒绝0H，则接受1H，认为包装机工作不正常。分析：包装机是否正常工作，就是检验下面的假设：由于样本均值X是总体均值的无偏、一致估计，因此当0H为真时，X与00.5应该比较接近。如果0X很大，超出了能用随机抽样误差来解释的范围，就有理由怀疑0H的正确性，进而拒绝0H。当0H为真时，统计量0~(0,1)XUNn，因此当0H为真时，U的观测值u不应太大，若它太大，则拒绝0H。对于给定的较小的，2PUu例如取0.05，则0.0251.96u，又知0.015，9n，再算得0.511x，从而00.5110.52.20.0159xun因此2Uu是一个小概率事件，我们认为它在一次试验中不应该发生。如果它发生了，则认为生产不正常，从而拒绝0H。于是拒绝0H，即认为包装机工作不正常。0.0251.96u如果此列中通过抽样计算得样本均值为0.508x，仍取0.05，则00.5080.51.60.0159xun在以上检验中，当统计量的观测值2uu即其值落入22(,)(,)uu中时，拒绝0H。因此，称2uu为0H的拒绝域，一般记为2Ruuu。于是接受0H，即认为包装机工作正常。0.0251.96u此列中统计量U对检验起着关键作用，称之为检验统计量，并称该检验法为U检验法。可以看出：（1）假设检验的推理方法利用的是“小概率事件的实际不可能性原理”；（2）假设检验过程用到了反证法思想。（3）必须注意，这种有违“常规”的“矛盾”并不是逻辑上绝对不可能发生的，即不是逻辑上的矛盾。我们所用的反证法是基于“小概率事件的实际不可能性原理”的概率反证法。①根据问题要求，提出原假设0H及备择假设1H；③在显著性水平下，确定0H的拒绝域R，若检验统计量的观测值tR，则拒绝0H，否则接受0H。②在0H成立的条件下，选择检验统计量12(,,,)nTXXX并确定其分布；假设检验的一般步骤：2.假设检验可能犯的两类错误（1）第一类错误（2）第二类错误原假设0H事实上是假的，由于抽样的随机性，统计量的观测值没有落入拒绝域R，从而接受0H，即接受了错误的假设，这时犯了“纳伪”的错误。原假设0H事实上是真的，由于抽样的随机性，统计量的观测值落入了拒绝域R，从而拒绝了0H。这时犯了“弃真”的错误，即将正确的假设摒弃了。记犯第一类错误的概率不超过，则有简记为00=HPH拒绝。00PHH拒绝为真在实践中，通常取等号，即00=PHH拒绝为真在例3中2PUu，显著性水平就是犯第一类错误的概率。记犯第二类错误的概率不超过，则有在实践中通常取等号，即00=PHH接受不真。00PHH接受不真已有的研究表明，当样本容量n给定后，犯第一类错误的概率减小时，犯第二类错误的概率就会增大，要使它们同时都很小是不可能的。基于这种情况，统计学家奈曼和皮尔逊提出了一个原则，即在控制犯第一类错误的概率的前提下，使犯第二类错误的概率尽量小。在这种原则下，只需控制犯第一类错误的概率。这种假设检验问题称为显著性检验问题，犯第一类错误的概率称为显著性水平。3.单边检验例3中，0H的拒绝域为22(,)(,)Ruu，分别位于数轴两侧，把这类假设检验称为双边假设检验或双侧假设检验，简称双边检验或双侧检验。0010:,HH：除了双边检验外，有时还需要用到单边或单侧检验。以例3来说，如果有迹象表明“包装的糖果的平均重量不小于0.5kg”，问这种看法是否成立？即需要检验假设：0H成立时，选择检验统计量~(0,1)XUNn，则当0H成立即0时，0XX，进而有=XPUuPun0XXuunn0XXnn于是，若0Xun，则必有Xun，即上述推理表明，在原假设0H：0成立的条件下，0XPun，所以事件0Xun是小概率事件。如果抽样结果表明，统计量U的观测值满足0xun，即小概率事件发生了，则拒绝0H而接受1H；否则，接受0H。所以0XXPuPunn0H的拒绝域均为uu。因此，假设也常常写成后一种形式。由于其拒绝域uu在左侧，也称这类假设检验为左边或左侧检验。0010:,HH：综上所述，不论假设为0010:=,HH：还是为0010:,HH：类似地，右边检验为0010:=,HH：或记为4.如何提出假设例4：要求某种元件的平均使用寿命不得低于1000小时。今从某厂生产的这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为980小时，已知该种元件寿命服从标准差为100的正态分布。在显著性水平0.05下，（1）从生产厂家的角度，确定这批元件是否合格；（2）从采购员的角度，确定这批元件是否合格。在假设检验中，原假设是要加以保护的假设，往往也是提出假设者希望接受的假设，没有充分的理由是不能拒绝的。因此立场不同，提出的原假设也不同，这时得出的结论可能大相径庭。解：设X表示元件使用寿命，则2~(,)XN。其中01000，选择检验统计量XUn，0H的拒绝域为uu，现在100，n25，x980，查附表4有0.05u1.645，则（1）厂家自然希望这批产品合格，因此提出如下假设0010:,HH：00.05980100011.64510025xun统计量的观测值没有落入拒绝域，接受0H，认为这批元件合格。其中100。选择检验统计量0XUn，按照前面的分析方法可得0H的拒绝域为uu，此时因为（2）采购员为了采购到的合格产品的可能性更大，当然尽可能认为这批产品不合格，就会提出如下假设0010:,HH：00.05980100011.64510025xun统计量的观测值没有落入拒绝域，接受0H，认为这批元件不合格。本例对于同一组数据，同一检验统计量的观测值，却因原假设不同，也就是看问题的角度不一样、侧重点不同、立场不同，而得到截然相反的结论。对于一个实际问题，选择哪一个为原假设，哪一个为备择假设是非常重要的。由于原假设是作为检验的前提提出来的，因而通常受到保护，要拒绝原假设必须有充分的理由，而备择假设是当原假设被拒绝后才能被接受，这就决定了原假设和备择假设不是处于对等的地位。将0H为真时拒绝0H的概率定为很小的概率，使得原假设不能被轻易拒绝，这就体现了保护原假设的思想。（1）将久已存在的状况作为原假设。比如某药厂生产了某种新药，他们声称新药的疗效1p好于旧药的疗效0p，一般将“10pp”作为原假设，而将“10pp”作为备择假设。（2）将后果更严重的错误作为第一类错误。比如在一般的刑事审判中，原假设往往是“被告无罪”，备择假设才是“被告有罪”，没有非常充足的证据是不能轻易推翻原假设的，否则就会造成冤假错案，这也符合现代司法观念“疑罪从无”。在实际应用中，通常从两个角度考虑：8.2单正态总体参数的假设检验1.均值的检验设总体2(,)XN，12,,,nXXX是从总体抽出的一组样本。本节在显著性水平下，讨论均值和方差的假设检验。设0是已知的数，下面分两种情况讨论。（1）方差2已知（2）方差2未知0H检验统计量0H为真时统计量的分布1H拒绝域0uu0uu0000XUn(0,1)N02||uu（1）方差2已知（U检验法）例1：已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布2(4.55,0.11)N，测得5炉铁水含碳量如下：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37，如果标准差不变。是否可以认为：（1）铁水含碳量的平均值是否有显著变化？（2）铁水含碳量的平均值是否有显著降低？(取0.05)解：设X表示铁水含碳量，则2~(,0.11)XN，由题知04，0.11。方差2已知时，检验统计量为0(0,1)XUNn0H的拒绝域为2uu。由样本观测值计算得x4.364，因此当0.05时，查附表4得0.02521.96uu，所以04.3644.553.780.11/5xun0.0253.781.96uu则拒绝0H，接受1H，即可以认为铁水含碳量有显著变化。0010:4.55,:HH（1）提出假设0H的拒绝域为uu。根据样本观测值计算得当0.05时，查附表4得0.051.645uu，从而得04.3644.553.780.11/5xun0.053.781.645uuu所以拒绝0H，接受1H，即可以认为铁水含碳量显著降低。（2）提出假设0010:4.55,:HH0H检验统计量0H为真时统计量的分布1H拒绝域0(1)ttn0(1)ttn0000XTSn(1)tn02||(1)ttn（2）方差2未知（t检验法）例2：设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分。问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程。解：设考生成绩为X，则2~(,)XN。提出假设0010:70,:HH由题知36n，66.5x，15s，检验统计量为0XTSn当0.05