第60章Black-Scholes期权定价模型

第六章Black-Scholes期权定价模型2思考：当我们从1987年的抢购风潮中一路走来，再也不相信“物超所值，买就赚，多买多赚”的谎言时，是我们认清了冰冷的商业规则，还是我们从上当中得到的教训太多？热心的顾客在一次次失望之后，对商家的华丽承诺又怎会投去相信的眼神？期权，能容下用来画饼充饥式的欺骗吗？？3最大信息熵的启示一个事件有n种可能，每种可能的概率为Pi，则Shannon信息熵公式为（一）在不知外界其它情况的条件下，H最大Pi=1/n，i=1,2,…,n（二）在已知每种可能的概率为Pi0的条件下，最大Pi=Pi0，i=1,2,…,n1log()niiiHPP==01log(/)niiiiHPPP用市场上发生的概率作为决策的依据==Ellsberg:人们厌恶主观或模糊不确定性甚于厌恶客观不确定性4本章学习目的（1）掌握Black-Scholes期权定价模型（2）理解用概率或随机过程等架起现在与未来“桥梁”的方法（3）理解期权的“杠杆”特征5主要内容股票价格的运动规律Black-Scholes定价模型风险中性定价B-S模型的推广小结6股票价格的运动规律二叉树的局限性1)股票价格不是要么按比例u上升，要么按比例d下降；2)市场上的状态个数也不一定都为2；3)要想逼近真实情况，要将时间间隔划分的很细.随机过程一系列随机变量组成的序列过程或随时间变化的过程.股票价格变化的基本假设1)不同时刻股票的收益率相互独立，且分布相同；2)股票的价格变化是连续可微的.继续思考思考7),(~))0()(~log(2TTNSTS上述两个条件相当于(1)其中为股票在T时的价格，S(0)为股票的即时价格.记或，则注意不是.式(1)表示的股票价格称为满足对数正态分布或几何布朗运动或维纳过程.)(~TS))0()(~log(STSyyeSTS)0()(~)21exp()0())(~(2TTSTSE)exp()0())(~(TSTSE返回（为什么？）8Black-Scholes定价模型假设条件1)市场的无摩擦性，包括无税，无交易成本；所有的资产可以无限细分；没有卖空限制.2)从时刻t=0到t=T,都可以以一相同的不变的利率借贷，利率按连续复利r计算；3)从时刻t=0到t=T,股票不分红；4)标的物股票价格的变化遵循对数正态分布的随机过程，包括以下条件：股票价格连续变化；在整个期权的生命期内，股票的预期收益率和收益率方差保持不变；任何时间段股票的收益和其他时间段股票的收益相互独立；任何时间段股票的复利收益率服从正态分布：))(),((~))()(log(1221212ttttNtStS继续9其中S为标的物股票的价格；为漂移率(drift):连续计算收益率的股票在单位时间内收益的预期收益率值，为连续计算收益率的股票在单位时间内收益的自然对数的数学期望值.为波动率(volatility):连续计算收益率的股票在单位时间内收益的自然对数的标准差.,z为布朗运动（Brownianmotion,维纳过程Wienerprocess)，满足标准正态分布，其数学期望值为0，方差为1；伊藤引理(Itolemma)若f=f(S,t)是衍生品的价格，则有下列关系SdzSdtSdzSdtdS)(221**dtdzSdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222*继续比较人口模型思考10套头比(hedgeratio)或期权的含义为期权价格的单位变化需要股票的股数，即在复制期权的组合中股票的权重(股数).Black-Scholes随机微分方程记，其中L为无风险证券的价值.，利用c=f(T)=max{S(T)-X,0}或p=f(T)=max{X-S(T),0}可以得到Black-Scholes期权定价公式.（注：边界条件还需要利用上一章的基本关系，如，c«S(t),c(S=0)=0等）SfLSSfffSSfLtSSftffSSfL)21(2222tLrLf)(frSfSSfSrtfff222221比较ITO返回套利定价的思路组合！11ITO与Black-Scholes的比较：在ITO公式中，取，则令得到Black-Scholes公式.SdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222*frSfSSfSrtfff222221fr*dtSSftfSrSfdfEf)21()(2222dtrdfEf)(12Black-Scholes期权定价公式：其中返上页)()()(2)(1dXNedNtSctTrftTtTrXtSdf))(()/)(log(2211tTdd12d1是什么含义？d2呢？【d2违约距离，N(d2)是S(T)大于X的概率，N(-d2)是止损概率】13在Black-Scholes微分方程和Black-Scholes期权定价公式中不含，代之以rf,说明期权定价在形式上与投资者的风险偏好无关(真的吗?为什么?)在风险中性的世界里的记为，相当于=rf.在风险中性的世界里，未来的带有不确定性的现金流的数学期望用无风险利率折现后的现值就是均衡价格.风险中性定价))(exp(])()(~[*tTrtSTSEf)](21)(exp[)())(~(2tTtTtSTSE)](21)(exp[)())(~(2*tTtTtSTSE221urf*继续14形式上确实是真的：原因在于(1)Black-Scholes模型的假设条件过于理性化；(2)不同投资者的偏好、预期等通过供求关系反映在S(t)、上；(3)股票的真实价格运动不服从对数正态分布，而服从“尖峰胖尾”的Levy分布等.返上页15买权的风险中性定价期末t=T时的取值为在真实的世界里，服从概率P,在风险中性的世界里，服从概率P*,所以在风险中性的世界里，记风险中性的概率密度函数，在风险中性的世界里，因此做变换可以得到Black-Scholes期权定价公式.}0,)(~max{XTS)(~TS)(~TS}]0,)(~[max{)),((*)(XTSEettSctTrf))(~(*TSfXtTrTSdTSfXTSettScf)(~))(~())(~()),(()())(),((~))()(~log(2tTtTNtSTS)1,0(~)())()(~log(NtTtTtSTSz继续16N(d2)的含义在风险中性的世界里，在到期日股票价格高于预定价的概率就是N(d2).欧式卖权的定价由买权和卖权的平价关系可得套头率XetSttScttSptTrf)()()),(()),(()()()(12)(dNtSdXNetTrf)(1dNc1()pNd返回17标的物股票支付红利的情况现在为时刻t，欧式期权的到期日为T,标的股票在t1时刻支付红利D，tt1T.标的物股票的现在价值S(t)由下列两部分组成：1)红利折现到t时的价值D*；2)支付红利后T时刻股票价值折现到t时的价值Srisky(t)；当在到期日前多次支付红利时，上述陈述依然成立.即因此T时股票价格折现至t的现值为用Srisky(t)代替S(t)代入Black-Scholes模型中可以得到相应的欧式期权定价公式.B-S模型的推广*)()(DtStSrisky*)()(DtStSrisky继续18标的物股票具有已知红利率的情况假设任何单位时间短dt内标的物股票都发放红利Sdt，类似于离散红利的情况，标的物股票的现在价值S(t)由下列两部分组成：1)红利折现到t时的价值D*；2)支付红利后T时刻股票价值折现到t时的价值Srisky(t)；由于连续发放红利相当于在每一时刻都将剩余股票价值的比例为dt的带走(操作上是利率的反向)，即或用Srisky(t)代替S(t)代入Black-Scholes模型中可以得到相应的欧式期权定价公式.)()()(tTriskyetStS)()()(tTriskyetStS继续19外汇期权的定价外汇期权的定价类似于支付已知红利率的股票的期权定价.例如，德国马克对美元的汇率在t时刻为S(t)=0.66美元/德国马克,记为德国马克的无风险利率，为美元的无风险利率，则在任何时间段dt内，1德国马克就相当于支付美元的红利，因此利用红利率的情况可以得到相应的定价.分红股票美式买权的近似解假设标的物股票在t1时刻分红，tt1T.美式买权的持有者要么在t1时执行期权，要么在T时执行期权，因此，我们可以把这个美式买权近似地看作两个欧式买权的取大值的那个.这两个欧式买权为：1）到t1时刻到期的欧式买权，标的物股票不分红；2)到T时到期的欧式买权，标的物股票在t1时刻分红.DMfr$frdttSrDMf)(继续20记表示到期日为，不分红的欧式期权在时刻t的价值，则分红股票的美式买权的近似解为这个解略微偏小了点.在Black-Scholes模型条件下，美式买权没有解析解，只有近似解.)),((ttSc)},)((),),((max{)()(11tTDetSctttSctCttrf21其他方面的推广关于波动率的讨论在B-S模型中，波动率被当作常数对待，但实际上可能是随机变化的，此时需用期权生命期内各阶段的方差之和来代替，这种处理方法只适合波动率只跟时间和标的物股票价格有关的情况，若波动率还与其他因素有关，或者波动率和股票的价格变化不是高度相关的，情况变得比较复杂.)(2tT继续22跳跃(JUMP)式的价格变化在B-S模型中，股票的价格变化遵循的是热扩散型的随机过程，但有时股票的价格会发生剧烈的波动，处理的方式相当于离散红利的情况.利率的变化在B-S模型中，利率是不变的.一般而言，利率的变化对期权价格的影响不大（除非是利率期权）.在波动率不变时，可以用到期日与期权相同的零息票债券的累计收益率来代替rf(T-t).继续23【思考】期权与标的物之间的相关系数是多大？(,)(,)(,)ffSSCovfSCovSLSCovSS2(,)(,)()(,)fffSSSCovffCovSLSLCovSS(,)1(,)(,)CovfSCovffCovSS24当标的物多于1个时：iiifSL(,)(,)(,)jiijiijiiCovfSCovSLSCovSS1212(,)(,)(,,...,)(,,...,)iiiiiiTnnCovffCovSLSLM1221212212212(,)...(,)(,)...(,)............(,)(,)...nSnSnnnSCovSSCovSSCovSSCovSSMCovSSCovSS12122(,)(,)(,)(,)(,,...,)(,,...,)(,)[(,)]jjjiijjifSTjjnnSiijijSiijjiCovSSCovfSCovffCovSSMCovSSCovSS25不同级别债券的价值共有S个级别，第i级别的负债面值为Fi,则级别s的价值为Ds(V,Fi=1,2,…,S,t)=VtN(d1,s-1)–exp(-rt)N(d2,s-1)–[VtN(d1,s)–exp(-rt)N(d2,s)]其中1siiFtrFVdsiis/)]()[log(2,12tddss,1,2siiF26带跳的随机微分方程其中，为y的违约强度；为风险中性概率测度下，跳跃幅度z的概率分布。【解释】为[t,t+dt]内F变化的条件期望值，为[t,t+dt]内F变化的无