第八章特征值问题的计算方法1.

第八章特征值问题计算一、特征值和特征向量的基本概念与性质§1基本概念与性质1Def设，若存在向量和复数满足nnACnxCAxx，则称是矩阵的特征值，是特征值xA相应的特征向量。0det()IA()det()ApIA特征多项式的根的集合：谱集()A()max{||:()}AA矩阵A的特征根模的最大值称为矩阵A的谱半径：于是得到两个特征根分别为：例8.1求矩阵A的特征根与特征向量特征多项式为：3113A31101301det()detAI3113det331()()26824()()对应的特征向量分别为：24,11x11x于是得到两个特征根分别为：例8.2求矩阵A的特征根与特征向量特征多项式为：0110A01101001det()detAI11det21对应的特征向量分别为：,ii1xi1ix1212det()()()()pnnnpIA其中12;()pijnnnnij称为的代数重数（简称重数）；ini()iimnrankIA为的几何重数。iiimn2Def设，nnACiimn对于矩阵的特征值，如果Ai，则称该特征值为的一个半单特征值。Ai若的所有特征值都是半单的，则称是非亏损的。AA是非亏损的等价条件是有n个线性无关的特征向量AA一般的，对矩阵A，其特征多项式可表示为3Def设，,nnABC若存在矩阵，使得P1BPAP则称和是相似的。AB相似矩阵有相同的特征值1AxxPAPPxPxBPxPxAxx设寻求已知矩阵的相似矩阵，要求：矩阵的特征值和特征向量容易计算ABB本章QR算法的计算思想：关于矩阵相似，有后面的结论811..Th1(,,)iir设，有r个互不相同的特征值，nnAC其重数分别为，则一定存在非奇异矩阵11()((),,,());iiinniikiJdiagJJCir使得（Jordan分解）1(,,)inirnnPC其中112((),(),,())rPAPdiagJJJJ11()iijiiJ()jiJ且除了的排列次序外，是唯一的。J称作的Jordan标准型AJ812..Th设，则存在酉矩阵，使得：nnAC（Schur分解）其中是上三角矩阵，且适当选择，可使的元素HUAUTnnUCTUT按任意指定的顺序排列。813..Th设，令()nnijAaC（圆盘定理）/*DiscTheorem*/则1(){:};,,iiiijjiGAzCzaain12()()()()nAGAGAGA814..Th设为对称矩阵，则存在正交矩阵nnAR（谱分解定理）/*SpectralDecomposition*/其中是的n个特征值。nnQR使得1(,,)TnQAQdiag1,,nA815..Th设为对称矩阵，且的特征值为nnAR（极大极小定理）其中表示中所有k维子空间的全体。则有12nA0maxminniTiTuuAuuu10minmaxnniTTuuAuuunknR设为对称矩阵，其特征值分别为816..Th,nnABR（Weyl定理）则有1212;nn212;,,,iiABin说明：对称矩阵的特征值总是良态的。注意：实际问题中矩阵一般都是由计算或实验得到，本身必然存在误差，不妨假设BAA212;,,,iiAin例8.3求矩阵A的特征根与特征向量15050515....A其特征多项式为：150510051501..det()det..AI232于是得到两个特征根分别为：21,若取初始向量为：001x先做xk+1=A*xk迭代，并计算||xk+1||/||xk||可发现对应的特征向量分别为：11x11x||xk||表示的分量模长的最大值，即取无穷范数1.500000000000001.666666666666671.800000000000001.888888888888891.941176470588241.969696969696971.984615384615381.992248062015501.996108949416341.998050682261211.99901.99951.99981.99991.9999||xk+1||/||xk||xk0.5,1.51.5,2.53.5,4.57.5,8.515.5,16.531.5,32.563.5,64.5127.5,128.5255.5,256.5511.5,512.51023.5,1024.52047.5,2048.54095.5,4096.58191.5,8192.51638.4,1638.5结果表明||xk+1||/||xk||收敛到最大特征根，xk收敛到对应的特征向量。k123456789101112131415但xk的绝对值越来越大，xk/||xk||即为对应特征向量[1;1]考虑对每次迭代结果归一化，若做如下迭代：xk+1=A*xk/||A*xk||则有xk收敛到对应的特征向量，||A*xk||收敛到最大特征根。1.500000000000001.666666666666671.800000000000001.888888888888891.941176470588241.969696969696971.984615384615381.992248062015501.996108949416341.998050682261211.99901.99951.99981.99991.9999||A*xk||xk0.3333,1.00000.6000,1.00000.7778,1.00000.8824,1.00000.9394,1.00000.9692,1.00000.9845,1.00000.9922,1.00000.9961,1.00000.9980,1.00000.9990,1.00000.9995,1.00000.9998,1.00000.9999,1.00000.9999,1.0000结果表明||A*xk||收敛到A的最大特征根，xk收敛到对应的特征向量。k123456789101112131415由此得到幂法的思想：任取初始向量x0做以下迭代：xk+1=A*xk/||A*xk||若干步后，用||A*xk||作为最大特征根的近似，用xk作为对应的特征向量的近似。§2幂法/*PowerMethod*/幂法是计算一个矩阵的模最大的特征值和对应的特征向量的一种迭代方法（又称为乘幂法）。基本思想假设是可对角化的，即存在如下分解：nnACA1AXX其中1(,,)ndiag1;[,,]nnnXxxC不妨假设12n对于0nuC01122;nniuxxxC011nnkkkjjjjjjjAuAxx11121(())njkkjjjxx011211(())knjkjjkjAuxx11()xk01kkkAuu说明：当k充分大时,的一个近似特征向量为1特征向量可以相差一个倍数01kkkAuu因为向量中含有未知量，实际不能计算1ku但我们关心的仅是的方向，故作如下处理：0kkkAuu令其中为的模最大分量k0kAu11121011121(()))(()))njkkjjkjnkjkkjjjxxAuxx11()xkx1kkkAuu若用下式迭代，收敛性依然成立幂法迭代算法：1kkkAuu1limlimlimkkkkkkAuu1Axx1kFork=1,2,3,…1kkyAukkyif1kkuu输出和kukkkkyu001,uu设和均收敛，由算法知kuk幂法可以计算矩阵的模最大的特征值和对应的特征向量1ku1kkkAuu因解：Step1210131014A例4：利用幂法求下列矩阵的模最大的特征值及相应的特征向量.A0111()Tu(取初始向量为)10355()TyAu151113115()TyuStep2212311555()TyAu25222231112525()TyuStep3321842492(...)TyAu3492.33303659085371(..)TyuStep443158543926848537(...)TyAu448537.44403266080901(..)Tyu特征值及相应的特征向量精确值为:47321.02679073201(..)Tu幂法的收敛性：821..Th12p设有p个互不相同的特征值满足：nnAC且模最大特征值是半单的，如果初始向量在的特征子空间上的投影不为零，则由幂法算法产生的1ku向量序列收敛到的一个特征向量，且数值10u11x序列收敛到。k1特征子空间：0VxAxx证明：设有如下Jordan分解：A11(,,)pAXdiagJJXiinniJC是属于的Jordan块构成的块上三角矩阵i111nJI是半单的特征值110yXu令将和如下分块：yX12(,,,)TTTTpyyyy12pnnn12(,,)pXXXX12pnnn1010(,,)kkkpAuXdiagJJXu111222kkkPppXJyXJyXJy111222kkkpppXyXJyXJy21112211(()())pkkkppJJXyXyXy0111222kkkkPppAuXJyXJyXJy021122111()()kpkkppkJAuJXyXyXy1111110()/()kiiiJJ01110lim()kkkAuXy记11111XyxXyAXXJ11111AXXJX11111AXyXy111Axx1kkkAuu011kkkAu0110kkkkAuAu1111()kXyukXy1limkkux是属于的一个特征向量11x1kkkAuu1()kk几点说明：定理8.2.1条件不满足时，幂法产生的向量序列ku可能有若干个收敛于不同向量的子序列；幂法的收敛速度取决于的大小；21:021122111()()kpkkppkJAuJXyXyXy加速方法：适当选取，对应用幂法AI称之为原点平移法1Axx1Axxxx1()()AIxx原点平移法不改变矩阵的特征向量A幂法可以计算第二个模最大特征值2常用的方法：降阶方法（收缩技巧）设已经计算出模最大特征值及其特征向量11x根据对称矩阵的性质，有1()AA令2111111()()/()TTAAxxxx构造如何求出其他特征值，及其特征向量23,,23,,xx1023,(,,)Tixxi2111111111211111110()()()()()/()/()TTTTiiiiiiAxAxxxxxx