第八节空间正多面体

第1页共3页第八节空间正多面体前面几节我们学习了五种正多面体，以及它们在化学中的应用。此节我们将继续对这一内容进行讨论、总结与深化。何为正多面体，顾名思义，正多面体的每个面应为完全相同的正多边形。对顶点来说，每个顶点也是等价的，即有顶点引出的棱的数目是相同的，相邻棱的夹角也应是一样的。那么三维空间里的正多面体究竟有多少种呢？【例题1】利用欧拉定理（顶点数－棱边数＋面数＝2），确定三维空间里的正多面体。【分析】从两个角度考虑：先看每个面，正多边形可以是几边形呢？我们知道三个正六边形共顶点是构成平面图形的。因此最多只可以是正五边形，当然还有正三角形和正方形；再看顶点，每个顶点至少引出三条棱边，最多也只有五条棱边（六条棱边时每个角应小于60°，不存在这样的正多边形）。因此，每个面是正五边形时，三棱共顶点；正方形时，也只有三棱共顶点（四个正方形共顶点是平面的）；正三角形时，可三棱、四棱、五棱共顶点（六个正三角形共顶点也是平面的），当然也可以说，一顶点引出三条棱边时可以为正三角形面、正方形面和正五边形面；一顶点引出四条棱边时只可以为正三角形面；一顶点引出五条棱边时也只可以为正三角形面——共计五种情况，是否各种情况都存在呢？（显然是，各种情况前面均已讨论）我们用欧拉定理来计算。①正三角形，三棱共顶点：设面数为x，则棱边数为3x/2（一面三棱，二面共棱），顶点数为x（一面三顶点，三顶点共面），由欧拉定理得x－3x/2＋x＝2，解得x＝4，即正四面体；②正三角形，四棱共顶点：同理，3x/4－2x＋x＝2，解得x＝8，即正八面体；③正三角形，五棱共顶点：同理，3x/5－3x/2＋x＝2，解得x＝20，即正二十面体；④正方形，三棱共顶点：同理，4x/3－2x＋x＝2，解得x＝6，即正方体；⑤正五边形，三棱共顶点：同理，5x/3－5x/2＋x＝2，解得x＝12，即正十二面体。【解答】共存在五种正多面体，分别是正四面体、正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体。【例题2】确定各正多面体的对称轴类型Cn和数目（Cn表示某一图形绕轴旋转360°/n后能与原图形完全重合）【分析】①正四面体：过一顶点和对面的面心为轴，这是C3轴，显然共有四条；有C2轴吗？过相对棱的中点就是C2轴，共三条。将正四面体放入正方体再研究一下吧（参考第一节）！C3轴不就是体对角线吗（8/2）？而C2轴就是正方体的相对面心（6/2）。②正方体：存在C4轴，即过相对面的面心，有三条；C3轴，过相对顶点，有四条；C2轴呢？用了面心和顶点，是否可用棱边呢？过相对棱的中点，不就是C2轴吗？共有六条。③正八面体：先也看过面心的轴，是C3轴；过顶点的轴，是C4轴；而过棱的中点的轴就是C2轴。④正十二面体：过两个相对面的面心就是C5轴，共有六条（12/2）；过相对顶点就是C3轴，应该有十条（20/2）；过相对棱的中点也存在C2轴，共有十五条（30/2）。⑤正二十面体：过相对面的面心，十条C3轴；过相对顶点，六条C5轴；过相对棱心，十五条C2轴。从上面的分析不难看出，正方体与正八面体、正十二面体与正二十面体有相同的对称性（对称轴种类与数目相同，其实对称面种类和数目，对称中心也相同，此处不讨论），也正如前面几节所说，连接各自的面心可得到相应的正多面体，而对称轴（对称面、对称中心）没有改变，这样一对正多面体称为对偶正多面体。还有一种正四面体，它是自第2页共3页对偶的，连接各自面心还是正四面体。【解答】正四面体：4C3、3C2；正方体：3C4、4C3、6C2；正八面体：3C4、4C3、6C2；正十二面体：6C5、10C3，15C2；正二十面体：6C5、10C3，15C2；【例题3】在富勒烯家族Cx中，找出与正十二面体具有对称轴的Cx。【分析】足球烯C60是Cx中最典型的物质，它的模型类似足球，对称性很好，有12个正五边形和20正六边形组成。第五节曾谈到C60可由正二十面体消去12个顶点得到，因此过相对正五边形的面心就是C5轴（12/2），过相对正六边形的面心就是C3轴（20/2），也分别有6条和10条。除了C60还有吗？再回顾第五节提到的C180，它有12个正五边形，与它们相邻的是60个正六边形（12×5），还应有20个正六边形，它们周围都有相同的环境（都是正六边形），其面心就构成正十二面体。因此过相对面的面心就是C3轴。与正十二面体具有相同的对称轴及其数目。从20→60→180，（都有12个正五边形），下一个是否应该是540呢？由第五节知识可求得正五边形12个，正六边形(540－20)/2＝260个，与12个正五边形相邻的正六边形有60个，再与这些正六边形（6条边一边与正五边形共用，相邻两边与正六边形共用，还剩三边）相邻的正六边形有60×3＝180个，还剩下20个，这20个面的面心不就是正二十面体吗？C540的下一个就是C1620了。正六边形有(1620－20)/2＝800个，依次为60、180、540、20个。【解答】C20×3n【讨论】空间正多面体由一种正多边形构成，若我们削弱条件，可要求由两种正多边形构成，但每个顶点仍完全等价的空间多面体，称为亚正多面体。显然，C60是一种典型的亚正多面体模型，它由正二十面体削去12个顶点得到，C60模型每个顶点都是等价的，由两个正六边形和一个正五边形共用一个顶点，从这儿我们也能得到C60中，正五边形与正六边形的数目比为1/5:2/6＝3:5。利用得到C60的启示，我们在其它正多面体的适当位置削去其顶点，也可得到亚正多面体。例如正四面体削去顶点后为4个正三角形与4个正六边形构成的亚正多面体。那么亚正多面体有多少种呢？答案是无限多个，至少有两个系列是无限多个。其一为正棱柱系列：底面正多边形（有无数种情况），调节高使与边长相等，即侧面为正方形。在这一系列中，两底面正好是重叠式的，能否是交叉式呢？此时一底面上顶点与另一底面上两顶点相连，构成的面是三角形。我们还是来调节高度，使这三角形正好是正三角形，这又是一个无穷系列。正方形和正八面体正好分别是这两个系列的特殊情况。【例题4】C24H24有三种特殊的同分异构体，它们都是笼状结构，不含有双键和三键；它们都只有一种一氯取代物，而二氯取代物不完全相同。试画出或说明A、B、C的碳原子空间构型和二氯取代物的具体数目，并比较它们分子的稳定性。【分析】C60骨架类型是一种亚正多面体。一种显然是上文提到的正棱柱体（另一系列不可以，每个顶点连了四条键），底面是正十二边形，它的二氯取代物为13种。还有两种呢？24是12的倍数，12是正方体和正八面体的棱边数，每条棱的相同位置上取两点，其位置不都是等价的吗？即我们把正方体削去八个顶点——正八边形和正三角形构成的亚正多面体；把正八面体削去六个顶点——正六边形和正方形构成的亚正多面体。再来确定它们的二氯取代物，右上图所示为正方体削去顶点的亚正多面体一底面放大，并投影到这一底面上的平面图，从其一点到相对一点（最远）走最近距离为六条线段，故第3页共3页该二氯取代物为6种；右下图所示为正八面体削去顶点的亚正多面体的投影图，从其一点到相对一点（最远）走最近距离也为六条线段，即该二氯取代物也为6种。从键的张力再来分析这三个分子的稳定性。每个碳均是sp3是杂化的，正八面体削去顶点的构型中键角为120°和90°，最接近109°28’，键的张力最小，稳定性最强；正十二棱柱键角为150°和90°，稳定性次之；正方体削去顶点的构型中键角为135°和60°，稳定性最差。【参考答案】略