第六章电容元件与电感元件

第六章电容元件与电感元件•6－1电容元件•6－2电容的VCR•6－3电容电压的连续性质和记忆性质•6－4电容的储能•6－5电感元件•6－6电感的VCR•6–7电容与电感的对偶性状态变量•6–8电容、电感的串、并联§6－1电容元件电容元件的定义是：如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间的关系由u－q平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电容元件。图7-5a)电容元件的符号(c)线性时不变电容元件的符号b)电容元件的特性曲线(d)线性时不变电容元件的特性曲线图7-5电容元件的符号和特性曲线如图7-5(a)和(b)所示。其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容元件称为线性电容元件，否则称为非线性电容元件。线性时不变电容元件的符号与特性曲线如图(c)和(d)所示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为)117(Cuq式中的系数C为常量，与直线的斜率成正比，称为电容，单位是法[拉],用F表示。图7-5实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围变化很大，大多数电容器的漏电很小，在工作电压低的情况下，可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏电不能忽略时，则需要用一个电阻与电容的并联作为它的电路模型。在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感来构成电容器的电路模型,如图7－6所示。图7－6电容器的几种电路模型§6－2电容的伏安关系对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式)127(ddd)(ddd)(tuCtCutqti此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束关系。在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路(i=0)。在已知电容电压u(t)的条件下，用式(7－12)容易求出其电流i(t)。例如已知C=1F电容上的电压为u(t)=10sin(5t)V，其波形如图7－7(a)所示，与电压参考方向关联的电流为A)5cos(50A)5cos(1050d)]5sin(10[d10dd)(66tttttuCti图7－7例7-1已知C=0.5F电容上的电压波形如图7－8(a)所示，试求电压电流采用关联参考方向时的电流iC(t),并画出波形图。图7－8例7－13.当3st5s时，uC(t)=-8+2t，根据式7－12可以得到A1A101d)28(d105.0dd)(66CCtttuCti4.当5st时，uC(t)=12-2t，根据式7－12可以得到A1A101d)212(d105.0dd)(66CCtttuCti图7－8例7－1在已知电容电流iC(t)的条件下，其电压uC(t)为)137(d)(1)0(d)(1d)(1d)(1)(0CC00CCCCtttiCuiCiCiCtu其中0CCd)(1)0(iCu称为电容电压的初始值。从上式可以看出电容具有两个基本的性质(1)电容电压的记忆性。从式（7－13）可见，任意时刻T电容电压的数值uC(T)，要由从-到时刻T之间的全部电流iC(t)来确定。也就是说，此时刻以前流过电容的任何电流对时刻T的电压都有一定的贡献。这与电阻元件的电压或电流仅仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电容是一种记忆元件。)137(d)(1)0(d)(1d)(1d)(1)(0CC00CCCCtttiCuiCiCiCtu例7-2C=0.5F的电容电流波形如图7-9(b)所示，试求电容电压uC(t)。图7-9解：根据图(b)波形的情况，按照时间分段来进行计算1．当t0时，iC(t)=0，根据式7-13可以得到ttiCtu6CC0d0102d)(1)(2．当0t1s时，iC(t)=1A，根据式7-13可以得到V2)s1(s1220d10102)0(d)(1)(C066CCCutttuiCtutt时当3．当1st3s时，iC(t)=0，根据式7－13可以得到V2)s3(s32V=0+V2d0102)1(d)(1)(C16CCutuiCtutCt时当4．当3st5s时，iC(t)=1A，根据式7－13可以得到6V=4V+V2)s5(s53)2(t+2d10102)3(d)(1)(C366CCCutuiCtutt时当5．当5st时，iC(t)=0，根据式7－13可以得到6V0+V6d0102)5(d)(1)(56CCCttuiCtu根据以上计算结果，可以画出电容电压的波形如图(c)所示，由此可见任意时刻电容电压的数值与此时刻以前的全部电容电流均有关系。例如，当1st3s时，电容电流iC(t)=0，但是电容电压并不等于零，电容上的2V电压是0t1s时间内电流作用的结果。图7-9图7－10(a)所示的峰值检波器电路，就是利用电容的记忆性，使输出电压波形[如图(b)中实线所示]保持输入电压uin(t)波形[如图(b)中虚线所示]中的峰值。图7－10峰值检波器电路的输入输出波形(2)电容电压的连续性从例7－2的计算结果可以看出，电容电流的波形是不连续的矩形波，而电容电压的波形是连续的。从这个平滑的电容电压波形可以看出电容电压是连续的一般性质。即电容电流在闭区间[t1,t2]有界时，电容电压在开区间(t1,t2)内是连续的。这可以从电容电压、电流的积分关系式中得到证明。将t=T和t=T+dt代入式(7－13)中，其中t1Tt2和t1T+dtt2得到有界时当)(0d)(1)()d(d0dCCCiiCTutTuutTTt当电容电流有界时，电容电压不能突变的性质，常用下式表示对于初始时刻t=0来说，上式表示为)147()0()0(CCuu)()(CCtutu利用电容电压的连续性，可以确定电路中开关发生作用后一瞬间的电容电压值，下面举例加以说明。例7-3图7-11所示电路的开关闭合已久，求开关在t=0时刻断开瞬间电容电压的初始值uC(0+)。解：开关闭合已久，各电压电流均为不随时间变化的恒定值，造成电容电流等于零，即0dd)(CCtuCti图7-11例7-4电路如图7－12所示。已知两个电容在开关闭合前一瞬间的电压分别为uC1(0-)=0V,uC2(0-)=6V，试求在开关闭合后一瞬间，电容电压uC1(0+),uC2(0+)。解：开关闭合后，两个电容并联，按照KVL的约束，两个电容电压必须相等，得到以下方程)0()0(C2C1uu图7－12例7－4再根据在开关闭合前后结点的总电荷相等的电荷守恒定律，可以得到以下方程)0()0()0()0(C22C11C22C11uCuCuCuC联立求解以上两个方程，代入数据后得到V3)0()0(C2C1uu两个电容的电压都发生了变化，uC1(t)由0V升高到3V，uC2(t)则由6V降低到3V。从物理上讲，这是因为电容C2上有3微库仑的电荷移动到C1上所形成的结果，由于电路中电阻为零，电荷的移动可以迅速完成而不需要时间，从而形成无穷大的电流，造成电容电压可以发生跃变。三、电容的储能在电压电流采用关联参考方向的情况下，电容的吸收功率为tuCtutitutpdd)()()()(由此式可以看出电容是一种储能元件，它在从初始时刻t0到任意时刻t时间内得到的能量为)]()([21)()(),(022)()(0000tutuCuduCddduuCdpttWtututttt若电容的初始储能为零，即u(t0)=0,则任意时刻储存在电容中的能量为)157()(21)(2CtuCtW此式说明某时刻电容的储能取决于该时刻电容的电压值，与电容的电流值无关。电容电压的绝对值增大时，电容储能增加；电容电压的绝对值减小时，电容储能减少。当C0时，W(t)不可能为负值，电容不可能放出多于它储存的能量，这说明电容是一种储能元件。由于电容电压确定了电容的储能状态，称电容电压为状态变量。从式(7－15)也可以理解为什么电容电压不能轻易跃变，这是因为电容电压的跃变要伴随电容储存能量的跃变，在电流有界的情况下，是不可能造成电场能量发生跃变和电容电压发生跃变的。)157()(21)(2CtuCtW§6－3电容电压的连续性质和记忆性质求解n阶微分方程时，需要知道n个初始条件。利用电感电流和电容电压的连续性，可以求出动态电路在电路结构和元件参数变化(常称为换路)后，电路变量（电压、电流）的初始值。本节讨论含有开关的动态电路，假设开关都是在t=0时刻转换，我们的任务是计算开关转换前一瞬间t=0-和开关转换后一瞬间t=0+的电压电流值。所讨论的电路均由直流电源驱动，并且在开关转换前电路已经处于直流稳定状态，此时各电压电流均为恒定数值。由于电感中电流恒定时，电感电压等于零，电感相当于短路；由于电容上电压恒定时，电容电流等于零，电容相当于开路。我们用短路代替电感以及用开路代替电容后，得到一个直流电阻电路，由此电路可以求出t=0-的各电压电流。在开关转换后的一瞬间t=0+，根据电感电流和电容电压不能跃变的连续性质，我们可以得到此时刻的电感电流iL(0+)=iL(0-)和电容电压uC(0+)=uC(0-)用数值为iL(0+)的电流源代替电感以及用数值为uC(0+)的电压源代替电容后，得到一个直流电阻电路，由此电路可以求出t=0+时刻各电压电流值，根据这些数值可以得到求解微分方程所需的初始条件。下面举例加以说明。例7-13图7-23(a)电路中的开关闭合已经很久，t=0时断开开关，试求开关转换前和转换后瞬间的电容电压和电容电流。(a)t=0-的电路(b)t=0+的电路图7-23解：在图(a)所示电路中，电容相当于开路。此时得到电容电压V5V1021V10)0()0(212C2RRRuuR此时电阻R1和R2的电流i1(0-)=i2(0-)=10V/2=5A。(a)t=0-的电路(b)t=0+的电路图7-23开关断开后的电路如图(b)所示。此时由于t=0时刻电容电流有界，电容电压不能跃变，由此得到V5)0()0(CCuu(a)t=0-的电路(b)t=0+的电路图7-23此时电容电流与电阻R2的电流相同，由此求得A51V5)0()0(2Cii电容电流由iC(0-)=0A变化到iC(0+)=-5A。电阻R1的电流由i1(0-)=5A变化到i1(0+)=0A。§6－4电容的储能电容是一种储能元件，已知在第一节中所述。本节讨论电容的储能公式。先从电容的功率谈起。由第一章第二节可知，任何元件的功率都可由该元件两端电压u和流过的电流i的乘积来计算。若电压、电流都是随时间变化的，那么，算得的功率也是随时间变化的。每一瞬间的功率，称为瞬时功率，以符号p表示，则p（t）=u（t）i（t）（6-11）其中u、i采用关联参考方向，p为正值时表示该元件消耗或吸收功率，p为负值时表明该元件提供或释放功率。以例6-1所示电容来说，把同一瞬间的电压和电流相乘可逐点绘出功率随时间变化的曲线，称为功率波形图，如图6-2（d）中所示。从功率波形图可以看到：功率有时为正，有时为负，这和电阻的功率总为正值是大不相同的。电容功率的这个特点表明：电容有时吸收功率，有时却又放出功率。确实，如果考虑到p=dw/dt（6-12）因而电容的能量wc（t）应为功率对时间t的积分，并由此绘出wc的波形如图6-3（b）中所示（与u绘在一起），就可看到电容的能量总为正值，但有时增长，有时减少。在它增长的期间，亦即吸收能量的期间，功率p为正值；在wc减少的期间，功率p为负值。在一段时期，尽管电容吸收了能量，但在另一段