行列式的计算方法与技巧

行列式的计算方法与技巧学生姓名：指导教师：【摘要】在高等代数中,行列式的求解是非常重要的,直接计算行列式往往是困难和繁琐的,特别当行列式的元素是字母时更加明显，因此熟练的掌握行列式的计算技巧是非常有用的，不同的行列式有不同的计算方法,本文根据行列式的特点,通过例题的形式列举了行列式的几种计算方法:三角形法、递推法、拆行(或列)法、加边法、数学归纳法。并指明了这些方法的使用条件。同时指出求行列式时需要分析行列式的特点选择适当的方法,以便简化计算。关键字：行列式计算方法技巧ThecalculatingmethodsofdeterminantandskilStudentname:Guidanceteacher:Abstract:determinantcomputationalmethodskillsInAdvancedAlgebra,thesolutionstodeterminantareveryimportant.Directlyworkingoutthethedeterminantisusuallydifficultandfinicky,especiallywhentheelementsofdeterminantaregraphemes.Soskilfullymasteringthecomputationaltechniquesindeterminantisfairlyuseful.Differentdeterminantshavedifferentconputationalmethods.Accordingtodifferentdeterminantalcharacteristics,thispaperhaslistedseveralcomputationalmethodsbyuseingexamples,suchastriangularmethod、recurrencemethod、openlinemethodorcolumnlinemethod、addadgemethodandmathematicalinductionmethodandclearlyfiguredouttheiruseingrequirements.Meanwhile,ithasfiguredoutthatthepropermethodshouldmeettheanalysedcharacheristicsofdeterminantswhenfindingtheirsolutions,soastosimplifythecomputation.一定义法1111111111121()21222112()()(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnnjjDjjjjjjiijjiiiiaaaaaaaaaaaaa按定义计算行列式是最原始的，最基本的方法，理论上，按定义可以计算一切行列式但是由于计算量大，我们一般用在4阶或4阶以下的行列式的计算中，但是在多阶行列式中零比较多的情况下也可以用列1计算行列式12137185258213024D的结果解12131213718520421958210231430240615D12130231404219061512131213023140231400847008470083700010二化三角法化三角法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形的行列式计算的一种方法是计算行列式的基本方法之一，因为利用行列式定义已求的上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算，原则上每个行列式都能利用行列式的性质化为三角形行列式，但是由于高阶行列式计算比较繁，因此在很多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。列2求n阶行列式123nxxxxxxxxxxxxaaaa的值123nxxxxxxxxxxxxaaaa112233000000nnnnnaxxxaxxxaxxaxxxxaxaxxxxxaxaxaxaa123121111000()0100()0010()()()()0001()0000()()nnnnniixaxxaxxaxaxaxaxxaxaxaxax12121()()()()()()()()nnnnaxxxaxaxaxaxaxaxax注意能够利用化为三角形法则进行计算的行列式的共同特征是每行(列)有尽可能多的相同的元素.我们利用行列式的性质把某行(列)的倍数加到其它行(列),出现更多的零,进而化为三角形.三利用范德蒙行列式1222212111112111()nnnjiijnnnnnaaaDaaaaaaaa列3计算n阶行列式的值222111111112112(1)12(1)nnnnnXDnXnX解令1211,2,,1,nnaaanaX则有上述公式可得233[(1)(2)((1))][(2)(3)1][(3)(4)1][(32)(21)][21][(1)(2)((1))](2)(3)(4)2nnDXXXnnnnnXXXnnnn四拆行（列）法由行列式的性质可得由已知的行列式拆成若干个行列式之积计算其值再得原行列式值有行列式性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，该行列式可拆成两行列式和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他个行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式这一性质，就可以容易求得其值。列4解n阶行列式nxaaaaxaaDaaxaaaax解nxaaaaaaaxaaaaaxaaaxaaaxaaDaaxaaaxaaaxaaaaxaaaxaaax11()()(1)nnaxaxaDnxaaaaaaaxaaaaaxaaaxaaaxaaDaaxaaaxaaaxaaaaxaaaxaaax11()()(2)nnaxaxaD221221(1)()()()()(2)()()()()()()1[()()]()()2nnnnnnnnnnnxaxaDaxaxaDxaxaDaxaxaDaxaaxaDxaxaxaxa五降阶法设nijaD为n阶行列式，根据行列式按行（列）展开有nD=111iiniininaaAA或111njnjjnjjnaaDAA此种方法旨在降低行列式的阶数，在一般情况下运算量不会减少很多，但是在当某一行或某一列出现零元素比较多时它才能发挥真正的作用。列5计算n阶行列式000000000000nxyxyDxyyx解以第一列展开的1(1)00000000000(1)000000nnnxyyxyxyDxyyxy1(1)nnnxy六递推法利用行列式性质，把n阶行列式表示为有相同结构的较低行列式（比如n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式列6求行列式()0010010000nnD的值解()(1)(1)120010010000000001010()(1)0100100000000()nnnnnnDDD112()nnnnDDDD以此类推12233221()()nnnnDDDDDDDD2123221()()nnnnnDDDDDD并有1D22221()1[()()]nnnnDDD若0便得nnD否则除以n后移项11212212()()()()()1()()nnnnnnnnnnnDDDD如则11nnnD如则(1)nnDn七开阶法（加边法）加边法一般做法是11112131111111112311100100nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaabaaaaDaaaabaaaa特殊情况下取121naaa或121nbbb加边法不是随便加一行或一列就可以，关键要观察每行每列是否有相同的因子。利用行列式按行(列)展开的性质,把n阶行列式通过加行(列)变成与之相等的n+1阶行列式,利用行列式的性质把添加进去的行(列)的适当的倍数加到其它行(列),使其它行(列)出现更多为零的元素后再进行计算.添加的行与列一般有四种方式,分别是添加在:(1)首行首列、(2)首行末列、(3)末行首列、(4)末行末列.当然有时也添加在行列式的一般行与列的位置列7计算行列式211122222111111111nnnnnnaaaaaaaaa的值解211122222111111111nnnnnnaaaaaaaaa2221111111112222222222222221000111121010101111111011111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa221111111112212222222222120001000111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa22111111222222222220001111111111nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa211111111121222222222120001000111(1)(1)111(1)(1)111(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa211111121222221221112(1)(1)(1)1nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa11111111222212121111112(1)(1)(1)11nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa12121[2(1)(1)(1)]()nnjiijnaaaaaaaa八数学归纳法一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再利用数学归纳法给出猜想证明列8证明cos100012cos100cos012cos0000012cosn证明对二级行列式有2cos121cos212coscosnD此时结论成立假设对阶数小于n的行列式也成立对于n阶行列式nD按最后一列展开后的九利用拉普拉斯定理拉普拉斯的四种情形1）0nnnnmnmnmnAABCB2）0nnnmnnmmmmCAABB3）0(1)mnnnnnmmmmmnAABCB40(1)mnnnnmnnmmmmCAABB]列9行列式计算方法除上述方法外还有许多别的方法只是上述方法常用而已.在计算行列式时,要根据行列式自身的特点选择待定的方法进行计算,而且不仅仅局限于某一种算法,而是多种方法综合运用,求出其值.参考文献：[1]杨立英，李成群.n阶行列式的计算方法与技巧[J].广西师范学院学报,2006,23(1):100-105.[2]王丽霞.N阶行列式的几种常见的计算方法[J].山西大同大学学报,2008,24(2):11-14.[3]孔君香.关于行列式计算的探讨[J].科技信