行列式的计算方法小论文

行列式的计算方法行列式计算方法总结及简单应用摘要：行列式的计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊例子进行推广。并举出了几种常见的行列式应用。关键词：排列行列式行列式计行列式计算的基本方法：基本的行列式解法包括：性质法、化三角形法、代数余子式法等1、利用行列式的性质计算例1：一个n阶行列式nijDa的元素满足,,1,2,,,ijjiaaijn则称nD为反对称行列式,证明：奇数阶反对称行列式为零.证：由ijjiaa知iiiiaa，即0,1,2,,iiain故行列式nD可表示为1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa，由行列式的性质AA，1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa12131122321323312300(1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa=nnD)1(当n为奇数时，得nD=nD，因而得nD=0.2、化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式.三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的n阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号例2计算n阶行列式nabbbabDbba解：abbabbbnaDn1111bababbbna000011)1()(1nbabna3、代数余子式法在一个n级行列式D中,把元素ija所在的行与列划去后，剩下的2)1(n个元素按照原来的次序组成的一个)1(n阶行列式ijM,称为元ija的余子式，ijM带上符号)()1(ji称为的ija代数余子式,记作ijjiijMA)()1(定理1:行列式等于其第i行诸元素与各自代数余子式的乘积之和,即ijnjijnnnnijijAaAaAaAaAaAaD1131312121111证：先证特殊情况元素11a位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;11212221200nnnnnaaaaDaaa1212121211()()121211(1)(1)nnnnjjjjjjjjnjjjnjjjaaaaaa2223()112()(1)nnnjjjnjjjjaaa1111aM而11111111(1)AMM,故1111DaA;（2）1111100jnijnnjnnaaaaDaaa将D中第i行依次与前1i行对调，调换1i次后位于第一行;将D中第j列依次与前1j列对调，调换1j次后位于第一列;经(1)(1)2ijij次对调后，ija就位于第一行、第一列，即2(1)(1)ijijijijijijijijDaMaMaA.(3)一般地111211212000000niiinnnnnaaaDaaaaaa11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1122iiiiininaAaAaA同理有:njnjjjjjAaAaAaD2211.例3计算四阶行列式400000000ababababDabababab.证:按第1行展开，有1114400()(1)0()(1)00000ababababDabababababababab,对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得22[()()]ababDabababab4222ab.4、范德蒙得行列式法根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去;把所求行列式化成已知的或简单的形式.其中范德蒙行列式就是一种.这种变形法是计算行列式最常用的方法.例1计算行列式1222211221212121122111111nnnnnnnnnnnxxxDxxxxxxxxxxxx解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第1n行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式1222212111112111()nnijnijnnnnxxxDxxxxxxxx参考文献[1]蒋省吾．杨辉三角中的行列式[J]，教学通报，1988，5：8-10[2]张禾瑞．郝新高等代数[M]．北京：人民教育出版社,1996.[3]王品超.高等代数新方法[M].济南,山东教育出版社，1989.[4]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出社,2003.[5]同济大学数学教研室．工程数学线性代数(第三版)[M]．北京：高等教育出版社，1999.[6]王萼芳,石生明修订.高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.[7]李宇寰.组合数学[M].北京：北京师范大学出版社，1988.[8]杨振声.组合数学及其算法[M].北京：中国科学技术出版社，1997.[9]陈景润.组合数学简介[M].天津：天津科学技术出版社，1988.