第四章1椭球的几何参数与椭球面上有关数学性质

第四章地球椭球及其数学投影变换的基本理论第四章第一讲主要内容一、地球椭球的几何、物理参数二、地球椭球参数间的相互关系三、旋转椭球面上的几种坐标系四、各坐标系间的关系上一讲应掌握的内容1、垂线偏差公式和拉普拉斯方程2、测定垂线偏差的方法天文大地测量方法、重力测量方法、天文重力测量方法、GPS测量方法(维宁.曼尼兹公式)3、测定大地水准面差距的方法地球重力场模型法、斯托克司方法、卫星无线电测高方法、GPS高程拟合法、最小二乘配置法等()cosBLsin)(LA上一讲应掌握的内容（续）4.实现椭球定位的方法一点定位多点定位5.确定地球形状的基本概念天文大地测量方法：弧线法；面积法重力测量方法222minmin新新新或0,00KKKNKKKKKKKKHHABL正,,00022222coscoscossinsin(1sin)(1sin)sin1BLXBLYBZNMeBaeBBa旧旧旧旧旧新旧旧旧旧22'abeb一、旋转椭球基本几何参数旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素)表示:•长半轴a•短半轴b•椭圆的扁率•椭圆的第一偏心率•椭圆的第二偏心率b平行圈赤道K.午子圈OXYZANSaaabaabae22eee和e′是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比。它们之间的几个关系式：2222222211111eeeeeeeeb平行圈赤道K.午子圈OXYZANSaa2222e2'1eba21eab用两个几何元素即可椭球的形状和大小，但至少一个长度元素。通常用:a,或e旋转椭球的直角坐标方程2222221XYZaab二、地球椭球（正常椭球）4个基本参数及关系•地球椭球（正常椭球）仅用几何元素不能反映其物理意义，通称用4个基本参数来反映几何物理特征。•根据4个基本参数可求得椭球扁率：近似公式：精密公式：式中：2,,(),aJfMGM23122298.257qJ2232232222223193112799392281456169878498JqJJqqJJqJqq23aqGM三、旋转椭球计算常用符号及互相关系为简化书写，在旋转椭球计算中常引入以下符号2222,tan,'cosactBeBb22221sin1cosWeBVeB221,'11','1'1,'11,'12222222222eeVWeWVeeeeeeecaeaceabeba222222222221()1'()1sin(1)1(1')bWeVVaaVeWWbWeBeVVeW提前将：a、b、α、c、e、e′、t、η2、W、V写在黑板21cae极点曲率半径WbVa四、经线和纬线的曲线方程•起始子午线的曲线方程：•经度为L的经线方程：两个面的截线•纬度为B的纬线方程：222210XZabY222222:1:tanXYZaabY=LX椭球面子午面22222210XYZaabZ=Z222XYr是一个圆五、经线、纬线、法线的特性BM•经线与纬线互相垂直•除赤道、两极上的法线外，法线不通过椭球中心•纬度较高的点，其法线与旋转轴的交点就较低•同一点的经线切线与纬线切线垂直，也与法线垂直，三者可构成三维直角坐标系•平行圈的主法线、副法线及切线亦可构成三维直角坐标系RSTPONZ六、表示旋转椭球面上的点的几种坐标系1.子午面直角坐标系设椭球面上P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x,y平面直角坐标系。(L,x,y)2.地心纬度坐标系设椭球面上P点的大地经度为L，在此子午面上以椭圆中心O为原点，以地心纬度Φ，向经ρ为参数建立的坐标系。点的位置用（L，Φ，ρ）表示。3.归化纬度坐标系设椭球面上P点的大地经度为L，在此子午面上以椭圆中心O为圆心，以椭球长半径a为半径作辅助圆，延长Ｐ２Ｐ与辅助圆相交Ｐ１点，则OP１与X轴夹角称为P点的归化纬度u，以归化纬度u为参数建立的坐标系。点的位置用（L，u）表示。图4.大地极坐标系yxoPP2xyyxoPΦρPP1P2yxouNPMAS七、各坐标系间的关系（一）子午平面坐标系与大地坐标系的关系22221xyabyxabdxdy22222c(1)bxxtgBeayyBexytan)1(2WBaBeBaxcossin1cos22ctgBBdxdy)90tan(0N子午平面坐标系与大地坐标系的关系(续)221sinWeBWBaBeBaxcossin1cos22cosxNBWaNBeNysin)1(2BPQysin)1(2eNPQ2NeQncosxNBL（二）空间直角坐标与子午面直角坐标系的关系cos,sin,XxLYxLZyyxx（三）空间直角坐标系与大地坐标系的关系2coscoscossincossin(1)sinXxLNBLYxLNBLZyNeB2()coscos()cossin[(1)]sinXNHBLYNHBLZNeHB在椭球面上的点：不在椭球面上的点：由空间直角坐标计算相应大地坐标arctanYLX222sintanYXBNeZB2(1)sinZHNeB书上错xy（四）空间直角坐标系与归化纬度坐标系的关系00cossin00x=auybuzBcoscoscossinsinX=auLYauLZbu始子午线的参数方程空间直角坐标系同归化纬度坐标系的关系对于经度为任意值的椭球面上有cosB0r=xaubayΦM0xOρ（五）空间直角坐标系与地心纬度坐标系的关系2022202201cos1cos1sin1cos0exaeeyaezφφφφ2221:1cos由椭圆方程可导出φeae2222222221coscos1cos1cossin1cos1sin1coseXaLeeYaLeeZaeφφφφφφ00cossin00x=yz（六）B、u、φ之间的关系•在赤道圈上：B=u=φ=0•在两极处:B=u=φ=90°•在其他处:∣B∣＞∣u∣＞∣φ∣uVBsinsinuBφBetan)1(tan2'8.11)('9.5)('9.5)(maxmaxmaxBuuB大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当B=45°时八、旋转椭球面的几何性质•对称性：对于三个坐标面、三个坐标轴、坐标原点都是对称的。•有界性：•正则性：旋转椭球面是一个连续、封闭的正则曲面，即每个曲面点都有唯一确定的非零的法向量。•不可展性：（柱面、锥面是可展曲面）地图投影须顾及旋转椭球面不可展性。,,XaYaZb结束•再见!天文大地测量方法•弧线法：按子午圈弧长或平行圈弧长的弧度测量法。在子午圈上测量纬度差，在平行圈上测量经度差。•面积法：现代推求新的椭球元素是在原有旧的椭球元素基础上，综合利用天文、大地、重力及空间测量等资料，同椭球定向、定位等一起实现的。43222111,,,(),,,(BBafSBBafS000sinsincoscoscos)(cos)(sinsin)(cossin0)(cos)(sinZYXBLBLBHMBHMLBHMLBHNLHNLN旧新新新222sincossinsincossincos0sincossinsincoscos0xyzBLBLBLLNeBBLNeBBL旧广义弧度测量方程式广义弧度测量方程式()cosLBaBN旧2222222222000(2sin)sincossincossincos()()(1)(1sin)(1sin)(1sin)sin1NNMeBeBBmeBBBBMMHaMHNeBNMeBeBBa旧旧其未知数是三个平移参数：△X0，△Y0，△Z0，三个旋转参数：εx，εy，εz，一个尺度比参数m，及椭球大小和形状参数△a，△α。通常，在实用上舍去旋转和尺度比参数。在每个天文大地点上都可以列出如上的弧度方程式，依据条件下求出椭球元素、定位元素、定向元素等222minminN新新新或多点定位的方法过程（对于我国）1)由广义弧度测量方程采用最小二乘法求椭球定位参数采用IUGG75椭球参数。2)由广义弧度测量方程计算得到大地原点上的:大地原点处80椭球的垂线偏差ξK=-1.9″及ηK=-1.6″，高程异常值差ζK=-14.2m。忽略两种椭球坐标轴指向不平行的影响。3)再由大地原点上测得的，按垂线偏差公式与拉普拉斯方程计算大地原点的起算数据。000(,,)XYZ,,,KKKKLBHA,,KKK利用拉普拉斯点的成果和以有椭球参数求解,,,kkKkH常重力测量方法•应用克莱罗定理确定椭球大小和形状参数。•在地面上至少测定二个点的重力，并把它们归算到平均海水面上，并用天文方法测定这两点大地纬度及地球自转角速度，用几何方法确定椭球长半轴a，就可用克莱罗定理求解椭球扁率α。211222(1sin)(1sin)eegBgBq252eaq