裘宗沪教授朱华伟冯祖鸣吴伟朝教授钱展望讲座3

3月22日下午冯祖鸣北京大学毕美国一所私立中学教师美国国家队IMO领队email:[e-mail]主讲美国数学奥林匹克（含部分伊朗内容）风格：先让学员自己做。然后让学员讲，不会，则他给出提示。1．n－序列：1，2，3，…,n.找出最小的n,存在一个n－序列是个“回尾数”，在19－列中有多少个“回尾数”。“回尾数”是指从头到尾读或从尾到头读是一样的数。如12321。解：（1）2，13，4，15，6，17，8，19，1，10，11，9，18，7，16，5，14，3，12（2）9，18，7，16，5，14，3，12，1，10，11，2，13，4，15，6，17，8，192．设S=}222{200310，，，，22004是以1开头的604位数，求S中以4开头的数的个数。解：以1开头的数有603个，则以2，3开头的数有603个，以4，5，6，7开头的数有603个，以8，9开头的数有2004－（603+603+603）=1809个。所以以4开头的数有1809个。3月22日下午冯祖鸣美国一所私立中学教师美国国家队IMO领队主讲美国数学奥林匹克（含部分伊朗内容）风格：先让学员自己做。然后让学员讲，不会，则他给出提示。3月23日上午吴伟朝中国数学奥林匹克高级教练员数学奥林匹克命题专家IMO中国国家代表队教练MO方向硕士生导师地址：广州大学理学院数学系020－86198971（宅）13600078895Email:[e-mail]主讲函数与函数方程1．求证：任何一个其定义域关于原点对称的函数，都可表示为一个奇函数与一个偶函数之和，并且表示是唯一的。解：y=f(x),x∈D,若x∈D则－x∈D设f(x)=g(x)+h(x),g(x)是奇函数，h(x)是偶函数f(－x)=g(－x)+h(－x)=－g(x)+h(x)两式相加和相减分别得到h(x)=21(f(x)+f(－x))g(x)=21(f(x)－f(－x))2.设a∈R,若函数y=f(x)与y=10x+3关于直线y=x对称，且y=f(x)与y=lg(x2－x+a)有公共点，求a的取值范围。解：y=f(x)是y=10x+3的反函数，即y=lg(x－3)∵y=f(x)与y=lg(x2－x+a)有公共点，∴方程lg(x2－x+a)=lg(x－3)有解0332xaxxx∵由x2－x+a=lg(x－3)得a=－x2+2x－3=－(x－1)2－2再由x3得a-63.在正三角形的三个顶点上各放置一个整数，使得三个数的和为正。若某个顶点上的数x0,则三个顶点上的数x,y,z分别被换为－x,y+x,z+x.只要三个数中还有一个是负数，这种“操作”就进行下去，一直到不出现负数时才停止。问：是否存在有限多次之后，这种“操作”x0z+x－x一定会停止。解：构造函数设f(x,y,z)=x2+y2+z2条件:(1)f(x,y,z)≥0;(2)f(x,y,z)为整数;(3)f(x,y,z)严格下降即f(x,y,z)f(－x,y+x,z+x).f(x,y,z)－f(－x,y+x,z+x)=x2+y2+z2－[(－x)2+(y+x)2+(z+x)2]=－2x(x+y+z)……..以下为函数方程4．求出所有的函数f:R--R,使得对于所有的a,b∈R,都有f(a·f(b))=ab(*)解法一：特殊到一般取a=1,f(f(b))=b(1)对（*）两边取f,并利用(1)f(ab)=f(f(a·f(b)))=af(b)(2)对（2）中取b=1,f(a)=af(1)(3)把（3）带入（*），左右互换ab=f(1)2·ab所以f(1)=1或f(1)=－1∴所求函数为f(x)=x或f(x)=－x解法二：利用满射3月28日李兴怀华南师大附中4月1日钱展望中学数学特级教师，湖北省数学学会理事，中国数学奥林匹克高级教练。所带学生共获得7块金牌。现为珠海人大附中副校长。1.证明：（1）若x0,y0,则432yxyxx；(2)若x,y,z∈R+,则2333zxyzxyxzzzyyyxx。证：（1）234xxyxy24()(3)xxyxy2220xxyy（2）3332xyzxyyzzxxyyzzx2222xyzxyyzzxxyzxyyzzx2434343zxyzxyzxzyzyxyxzxyzxyxzzyyx222222222点评：不要把问题考虑的太复杂。用“爬坡推理”2．若)2.(,...,2,1),1,0(nnixi,证明：（1）)...(1)1)...(1)(1(2121nnxxxxxx（2）设1)52(1iia,求证：511...21naaa分析用数学归纳法当n=1时，显然成立当n=2时，12(1)(1)xx12121()xxxx121()xx当n=3时，123(1)(1)(1)xxx1231223311231()xxxxxxxxxxxx已不好判断，因为后面的项正负交错。当若设n=k时，结论成立，判断n=k+1比较简单。因为121(1)(1)...(1)(1)kkxxxx121[1(...)](1)nkxxxx（2）])52(1]......[)52(1][)52(1[...13221nnaaa2312221[()()......()]555n22()512151115思考：前两道题若没有第一问，是否能做出来。3．设x,y,z∈R,满足)0()2(2)1(2222aazyxazyx，试证：x,y,z都不是负数，也都不大于32a.分析：本题为60年代华罗庚老一辈数学家提出的问题，估计考查两问解法一：（华罗庚老一辈数学家给出）(1)消去a得22221()2xyzxyz222222xyzxyyzzx0)(2)(22yxzzyx若z0，则x+y≤0x+y+z0，矛盾.故z≥0.同理可证x≥0,y≥0.(2)令zaZyaYxaX32,32,32经验证X，Y，Z满足)0()2(2)1(2222aaZYXaZYX由第一问知X，Y，Z都不是负数，所以x,y,z都不大于32a.以下为新的解法。解法二由（1）得z=a－(x+y),代入（2）得2)(2)(22222ayxayxayx变形为关于x的方程：0222)22(2222aayyxayx△=0812)222(8)22(2222ayyaayyay所以0≤y≤32a;同理0≤x≤32a，0≤z≤32a解法3由(1)(2)得22222,zayxazyx∵(x+y)2≤2(x2+y2)∴)2(2)(222zaza,解得0≤z≤32a同理0≤x≤32a，0≤y≤32a4.设在桌面上有一个丝线做成的线圈，它的周长是4a,我们又用纸剪成一个直径是2a的圆纸片，证明：（1）当线圈作成一个平行四边形时，我们可以用所做的圆纸片完全盖住它。（2）当线圈作成任一形状时，我们都可以用一直片完全盖住它。分析：(1)如图4－1，在平行四边形上任取一点P，要使圆纸片完全盖住它，一要确定圆的圆心，把圆纸片的圆心取在平行四边形的对角线交点上（图中的点O），另外需证明OP≤a)证明：(1)在平行四边形上任取一点P，则OP≤max{OD,OC}不妨设ODOC,则只需证OC≤a.∵AC≤AD+DC=2a,∴OC≤a(2)在线圈上任取两点P、Q,使P、Q把线圈分成长度相等的两部分,取PQ的中点O,我们考虑一半图形.在其中一半图形上任取一点M,只需证OM≤a.∵OM≤21(PM+MQ)又∵PM+MQ≤曲线PMQ=2a∴OMOM≤a5.有两个矩形纸片ABCD与AB’C’D’固定叠合,如图,其中AB=a,AD=b,AB’=xa,AD’=yb,设P,Q是小矩形纸片上任意两点，R是大矩形纸片上任意一点.证明:PQRS≤21ab(x+y－xy),并说明P,Q,R在什么位置时,等号成立.分析：P、Q的位置有以下几种情况第一种：当P、Q在DA或AB上不妨设P、Q在DA上，则DABCoPMPOQybaABADSPQR21'21,此时PQRS不是最大。第二种：点P、Q都不同在DA或AB上。如图5－1（1）CBDS’‘=CBBDABCDDABCDSSSS’‘’‘=21ab(x+y－xy)求CBDS’‘的另外一种方法为如图5－2CBDS’‘=‘’’‘DABCABCADSSS=21ab(x+y－xy)（以下将还用此种方法）分别过点P、Q作AB、AD的平行线相交于点T。若点R在∠GTH的内部，则ABCDD’C’B’RPQ图5－2ABCDD’C’B’RPQHGT图5－3ABCDD’C’B’RPQ图5－1ABCDD’C’B’R’PQHGT图5－4ReffRGeHRSSSSPQRTPRTRQPQR212121(设TP=f,TQ=e))])(([21212121212121ebfaabeffbeaeffADeAB)])(([21ybbxaaab（因为xa≥f,yb≥e）=21ab(x+y－xy)若点R在∠GTH的外部(如图5－4)，则过点R作PQ的平行线L，在L上移动点R，使其在∠GTH的内部，设其为R’，则有平行线间的面积相等)(21xyyxabSSPQRPQR‘6．已知四边形4321PPPP的四个顶点位于△ABC的边上。证明：四个三角形432431421321PPPPPPPPPPPP，，，至少有一个面积不大于△ABC的41。，而此式易证.