西南大学数学分析选讲第三次作业

《数学分析选讲》第三次作业一、判断下列命题的正误1.若函数)(xf在点0x处的左、右导数都存在，则)(xf在0x处必连续.（正确）2.若)(xf在0x处可导，则)(xf在0x处可微．（正确）3.若两个函数在区间I上的导数处处相等,则这两个函数必相等.（错误）4.若)(xf是可导的偶函数，则(0)0f.（正确）5．若0(,)xab是)(xf的导函数的间断点，则0x是()fx的第二类间断点.（正确）二、选择题1．设f是奇函数，且0)(lim0xxfx，则（c）A0x是f的极小值点；B0x是f的极大值点；C)(xfy在0x的切线平行于x轴；D)(xfy在0x的切线不平行于x轴2．设)()()(xaxxf，其中)(x在ax处连续但不可导，则()fa（c）A不存在；B()a；C)(a；D－()a3．设f可导，则(sec)dfx（d）A2(sec)secfxxdx；B2(sec)tanfxxdx；C(sec)secfxxdx；D(sec)sectanfxxxdx4．设函数()fx可导且下列极限均存在，则不成立的是（B）A0()(0)lim(0)xfxffx；B0000(2)()lim()hfxhfxfxh；C0000()()lim()2hfxhfxhfxh；D0000()()lim()hfxfxhfxh5．设()lnfxxx，且0()2fx，则0()fx（C）Ae2；B2e；Ce；D16.已知xfey，则y=（D）A()()fxefx；Bxfe；C()[()()]fxefxfx；D()2{[()]()}fxefxfx7．下列结论中正确的有（D）A如果点0x是函数()fx的极值点，则有0()0fx；B如果0()0fx，则点0x必是函数()fx的极值点；C函数()fx在区间(,)ab内的极大值一定大于极小值；D如果点0x是函数()fx的极值点，且0()fx存在，则必有0()0fx8．设)(xf可导，则220()()limhfxhfxh（C）A2()()fxfx；B2()fx；C0；D()fx三、计算题1．已知221ln(1)yxxx，求y.解:11221122222xxxxxxy11111222xxxxx2．2．设21arcsinyxxx，求y3．设11)(2xbaxxxxf，试确定a，b的值，使f在1x可导.解：要使f在1x可导，f在1x必连续，于是必左连续.1)1()(lim)(lim11fbabaxxfxx，从而ab1.f在1x的右导数211lim1)1()(lim)1(2231xxxfxffxx.左导数为axaaxxbaxxfxffxxx111lim11lim1)1()(lim)1(1211，只要2a，则f在1x的左导数与右导数相等，从而可导。这时1b.4．用洛比塔法则求极限)111(lim0xxex解：00001111limlimlimlim1(1)12xxxxxxxxxxxxxexeexexeexeexe011lim22xx.四、证明题证明：当)3,0(x时，3tan3xxx证明：设，则在连续，且.因为，，故在严格单调递增，又因在连续，于是，从而，.