第四章理想流体动力学

1.先建立理想流体动力学的基本方程—欧拉运动微分方程2.在一种特定的条件下积分可得到拉格朗日积分3.另一特定的条件下积分可得到伯努利积分。4.两个积分的实际应用5.导出动量及动量矩定理，及其应用。第四章理想流体动力学本章内容：课堂提问：支持飞机升空，机翼的升力是怎么产生的？为什么在江河、海洋中游泳时不能在靠近船坞等岸边建筑物附近下水？§４-１欧拉运动微分方程式欧拉运动微分方程式即理想流体动力学基本方程，欧拉于1775年由牛顿第二定律导出。某瞬间在理想流体中棱边为dx,dy,dz的平行六面体，顶点A(x,y,z)处的推导如下：ｐ(x，y，z)压力速度V（x，y，z)pppdxxyxzdydzdxA(x,y,z)由牛顿第二定律：Ｆi＝ｍａi(ｉ=x，y，z）（4-1）以ｘ方向为例：()pppdydzpdxdydzdxdydzxx表面力沿ｘ向的合力：理想流体，各面上无切应力,质量力在ｘ轴上的投影：ρXdxdydz加速度在ｘ方向的投影：xxxxxxyzvvvvdxavvvdttxyzpppdxxyxzdydzdxA(x,y,z)将以上各式代入（4-1）式中，并取ｉ＝ｘ，得如下第一式。同理可得其余的两式：即为理想流体的欧拉运动微分方程式。（4-2）111xxxxxyzyyyyxyzxzzzxyzpXxpYypXzvvvvvvvtxyzvvvvvvvtxyzvvvvvvvtxyz用矢量表示为：1FpDVDt该方程适用条件:理想流体,即无论流动定常与否，可压缩还是不可压缩均适用。方程（4-2）有三个分量式，再加上连续方程式共四个方程组成一方程组，方程封闭，可求解四个未知函数ｖx,ｖy,ｖz和ｐ。若要使所求的ｖx,ｖy,ｖz,ｐ是某个实际问题的解，还要满足所提问题的边界条件，初始条件。§４-２拉格朗日积分式欧拉方程是非线性的，很难求得普遍条件下的精确解，只能求得某些特定条件下的解析解。拉格朗日积分式有如下假设条件：（1）理想不可压缩流体：ρ＝const.（3）若运动无旋则存在速度势函数φ，满足1()ppxx所以有：,,xyzvvvxyz（2）质量力具有势函数：,,UUUXYZxyz因此()()xvttxxt()()yxvvyyxxyx()()xzvvzzxxzx代入欧拉方程1xxxxyzxvvvvvvxytzpXvx222())2](1[)(yxzxyzxyzvvvvvvxxxvxtxvUxtvxp有上式移项可得下面第一式，同理可得另外两式2()02pvUxt2()02pvUyt2()02pvUzt（4-3）括弧内函数不随空间坐标(ｘ，ｙ，ｚ)变化,只可能是时间的函数。2()2pvUFtt所以（4-4）为书写简单，引入0()tFtdt将Φ对ｘ，ｙ，ｚ求偏导数，仍为速度的投影xVxxyVyyzVzz引入Φ后，式（４-４）可改写成：22pVUt（４-5）22pVgzt若流体的质量力只有重力，取ｚ轴铅直向上，有U＝－ｇｚ，故212pvzggt(4-7)或上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式。对于定常无旋运动，式（4－3）括弧内的函数不随空间坐标ｘ，ｙ，ｚ和时间ｔ变化，因此它在整个流场为常数。22pVUC(通用常数)对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的定常无、旋运动，因Ｕ＝－ｇｚ，上式可写成22pVzCg(通用常数)上式为上述条件下的拉格朗日积分式，Ｃ在整个流场都适用的通用常数，因此它在整个流场建立了速度和压力之间的关系。求出流场速度分布（理论或实验方法），拉格朗日积分式求流场压力分布将压力分布沿固体表面积分可求流体与固体之间的相互作用力。应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引的“船吸现象”；以及在浅水航道行驶的船舶为什么会产生“吸底现象”等等。讨论：1.如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流动且只有重力作用时，同一水平面上的两点，其速度和压力的关系如何？2.两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引的“船吸现象”。3.浅水航道行驶的船舶为什么会产生“吸底现象”§４-３伯努利积分式及其应用111(),(),(),ppppppxxyyzz伯努利积分：欧拉方程在定常运动沿流线的积分假设条件：（１）理想不可压缩，质量力有势；（２）定常运动；（３）沿流线积分。由（1），（2）有则欧拉方程可写成()xxxxyzVVVUpVVVxxxyz()yyyxyzVVVUpVVVyyxyz()zzzxyzVVVUpVVVzzxyz（1）（2）（3）定常运动流线与轨迹重合，在轨迹上下式成立xdxVdt（4）（5）（6）yzdyVdtdzVdt同理有:()xxxxyxxzxxVdtVdtVVVVpUVVVxxydtVdzt式(1),(2),(3)的两边分别乘以式(4),(5),(6)以第一式为:2()()2xVpUdxdx即（7）2()()2yVpUdydy2()()2zVpUdzdz同理(8)（9）()xxxxxyzxdxdxVVVVpUVVVxxydtzVdt222xxxVVVxyzdxdydz将(７),(８),(９）三式相加，考虑到速度的模ｖ2＝ｖx2＋ｖy2＋ｖz2，有:2()()2pVdUd2()02pVdU在流线上有(10)括弧内沿流线上的全微分等于零，则沿流线一定是常数:22lpVUC（11）22lpvgzC在重力场中Ｕ＝－ｇｚ，则沿流线:22lpvzCg或为（12）拉氏积分和伯氏积分虽在形式上相同，但不同之点有二：Ｃl称为流线常数(１)应用条件不同。拉格朗日积分只能用于无旋流运动，伯努利积分既可用于无旋运动，又可用于有旋运动。（２）常数Ｃ性质不同。拉格朗日积分中的常数在整个流场中不变，故称为普遍常数，伯努利积分常数Ｃｌ只在同一根流线上不变，不同流线取值不同，称为流线常数或者说拉氏积分在整个空间成立，而伯氏积分只在同一条流线上成立。为了工程上的应用，现将伯氏方程推广到有限大的流束。渐变流动:流线近似平行，而且流线的曲率很小的流动，否则称为急变流动。()pz渐变流动特点：项在整个过水（过流）断面上为常数。为简单计，约定取过水断面形心处的数值。流线上任意一点的速度ｖ近似地用过流断面上的平均流速U来代替即用近似代替22vg22Ug适用于有限大流束的伯努利方成为：22pUzconstg（13）2211221222pUpUzzgg（14）或（１）理想流体，定常流动；（２）只有重力的作用；（３）流体是不可压缩的；（4）１.２截面处流动须是渐变流。但1.2两断面间不必要求为渐变流动。方程适用条件：讨论：1.关于渐变流动（缓变流动）过流断面上的压力分布，是否与静止流体的压力分布相同？2.为什么在急变流动的过流断面上，(Z+P/)项不保持常数？一、几何意义：长度量纲，流体质点或空间点在基准面以上的几何高度，又称位置水头。z§4－4伯努利方程的几何意义和能量意义：长度量纲，测压管中液面上升的高度，称为压力高度、或测管高度，或称压力水头、测管水头记为PHp：具有长度的量纲，称为流速高度或速度水头。可用皮托管和测压管中液面高度差来表示，记为VH22Vg结论：对于理想流体，定常运动，质量力只有重力作用时，沿流线有：几何高度、压力高度和流速高度之和为一常数。Z+Hp+Hv=Ｈ三个高度（水头）之和称为总水头。其端点的连线——总水头线为一条水平线。如下图所示。212Vg222Vg1p2p总水头线H压力水头线二、能量意义(物理意义)伯努利方程表明单位重量流体的总机械量沿流线守恒。：代表单位重量流体的位能，记为zez：单位重量流体的压力能，记为pep：单位重量流体的动能，记为Ve22Vg单位重量流体的总机械能：zpveeeE对于理想、不可压缩流体，定常运动，只有重力作用时，单位重量流体的位能，压力能和动能之和在流线上为一常数。因为在定常运动中流线与轨迹重合，所以同一流体微团在运动过程中单位重量的位能、压力能和动能之和保持不变。讨论：1.实际流动中总水头线不是水平线，单位重量流体的总机械能沿流线也不守恒,为什么？2.对于管流，已经知道可作为一元流动处理。对于不可压缩流体，由连续性方程知道过流断面大处流速小，对于水平放置的管内不可压缩流体的定常流动，若已知流量、面积、能否知道该过流断面上的流体压力？3.如图所示的管内定常水流，若在处开一口，将会发生情况？伯努利方程的应用：实例一：小孔口出流（如船舶舱壁上破一洞）图示容器装有液体，在重力作用下从小孔流出。求流量。设小孔面积比容器中液面面积小很多，液面高度ｈ近似认为不变（近似为定常流），不计流体粘性，此时流体的质量力只有重力。满足伯氏方程来求解的前提。取小孔轴线为基准，整个容器看成一个大流管取容器液面为截面Ⅰ，出流流束截面收缩到最小处为截面Ⅱ，该处流动满足渐变流的条件。在此两截面上，各物理量分别为：截面Ⅰ：ｚ1＝ｈｐ1＝ｐ0Ｕ1＝０截面Ⅱ：ｚ2＝０ｐ2＝ｐ0Ｕ2＝Ｕ200002ppUhgⅠ,Ⅱ截面列伯氏方程：这样就可解出小孔理想出流的速度公式：2Ugh（15）实际上因为粘性对阻力的影响，出流速度小于此值，一般用一个流速系数来修正，则Ｕ实际＝Ｕ（16）由实验确定，=0.96～１流量Q=平均流速Ｕσc收缩断面：出流中，流体从四面八方向到孔口处汇集时，因惯性的作用，流线不可能突然转到水平方向，射出的流注因之必然出现颈缩现象。2cQUgh实际实际令μ＝ψ为流量系数2cQUgh实际实际称为收缩系数cμ由实验测定，如圆形孔口，值为0.61～0.63。实例二文德利管（一种流量计）应用伯努利方程的原理可制成各种测量流速或流量的仪器。文德利管就是其中的一种。Ⅰ和Ⅱ处的压力差由测压管读出来，为已知量。令Ｕ1和Ｕ2分别为Ⅰ和Ⅱ截面上的平均流速取管轴为基准列伯努利方程:22112222pUpUgg连续性方程:221244DdUU24121[()1]2ppUDgd联立得：解出12142[()1]DdppUg流量121211142()1DdppppgQUk12hpp汞（）∪形管（内装水银）：hQk汞（）或注意：这里没考虑流体粘性的影响，实际应用时按上式算得的Ｑ还应乘上修正流量的系数μ，它的值约为0.98。因此Qkh实例三汽化器汽化器原理如图,空气由活塞的抽吸作用从自由大气中吸入,细管将汽油自油箱引来。求:汽化器的真空度解：取主管轴为基准，整个汽化器作一个流管.ＩⅡ取入口远前方为截面Ｉ最小截面处为截面ⅡＱＤｄ截面Ⅰ：ｚ＝０，ｐ＝ｐ0，Ｕ≈０截面Ⅱ：ｚ＝０，ｐ待求，2022221160002()ppQgDd列立伯氏方程：2022228()QppDd汽化器的真空度为：ＩⅡ由连续性方程得:2214()QUDd流线上Ａ，Ｂ，管Ⅰ（测压管）的口部平行于流线，可测Ａ点的静压ｐ，90°弯管Ⅱ迎向水流，使其口部垂