第四章线性方程组.

§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质第四章线性方程组§3克拉默法则§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质§2线性方程组解的结构§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质一、消元法二、线性方程组解的判定与解的性质1、线性方程组的基本概念2、线性方程组的初等变换3、消元法1、线性方程组解的判定2、线性方程组解的性质§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质(1)一般线性方程组是指形式为(1)11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb是方程的个数;(1,2,,,1,2,,)ijaimjnm12,,,nxxxn的方程组，其中代表个未知量，称为方程组的系数；称为常数项。(1,2,,)ibim一、消元法1、线性方程组的基本概念1,1,2,,.nijjijaxbim简记为§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质(2)方程组的解设是个数，如果分别用12,,,nkkkn12,,,nxxx12,,,nkkk代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式,则称有序数组是（1）的一个解.12(,,,)nkkk(1)的解的全体所成集合称为它的解集合．解集合是空集时就称方程组（1）无解．(3)同解方程组如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们是同解的．§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质(4)方程组的系数矩阵与增广矩阵矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa称为方程组（1）的系数矩阵;而矩阵11121121222212(,)nnmmmmnaaabaaabBAbbaaa称为方程组（1）的增广矩阵．§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质定义线性方程组的初等变换是指下列三种变换①用一个非零的数乘某一个方程；②将一个方程的倍数加到另一个方程上；③交换两个方程的位置．性质线性方程组经初等变换后，得到的线性方程组与原线性方程组同解．倍法消法换法一、消元法2、线性方程组的初等变换§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质注意对线性方程组作消元法相当于对其增广矩阵作初等行变换化成行阶梯阵，同时由这个行阶梯阵能完整重现对应线性方程组.步骤（1）写出增广矩阵；（2）对增广矩阵作初等行变换化成行阶梯阵；（3）由行阶梯阵判断线性方程组解的情况；（4）在有解的情况下，由行阶梯阵写出通解方程组，并求出原方程组的解.§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质1.线性方程组解的判定元线性方程组Axbn（1）无解()(,);RARAb二、线性方程组解的判定与解的性质（2）有唯一解()(,);RARAbn定理1（判定定理1）（3）有无限多个解()(,).RARAbn§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质元线性方程组有解的充分必要条件是Axbn线性方程组理论的基本定理()(,).RARAb定理2（判定定理2）系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即定理3元齐次线性方程组一定有解，且0Axn（1）只有零解();RAn（2）有非零解().RAn§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质2.线性方程组解的性质元非齐次线性方程组(1)Axbn二、线性方程组解的判定与解的性质也是（2）的解.元齐次线性方程组0(2)Axn性质1若是（2）的解，则12,xx12x性质2若是（2）的解，则也是（2）1x1xk的解.§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质性质4若是（1）的解，则12,xx12x性质5若是（1）的解，是对应（2）xx性质3若是（2）的解，则12,,,txxx也是（2）的解.1122ttxkkk是对应（2）的解.的解，则是（1）的解.x§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质一、齐次线性方程组解的结构二、非其次线性方程组解的结构§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质一、齐次线性方程组解的结构111122121122221122000nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax(1)0Ax(1)系数矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质齐次线性方程组(1)一组解向量，12,t,,若满足ii）(1)的任一解向量可由线性表示.12,t,,i）线性无关；12,t,,则称为(1)的一个基础解系．12,t,,1、基础解系定义2§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质2基础解系的存在性定理1在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于，其中n是未知量的个数，nr().rRA§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质推论1任一线性无关的与（1）的某一基础解系等价的向量组都是（1）的基础解系．基础解系．推论2若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为r,则(1)的任意n－r个线性无关的解向量都是(1)的说明：由极大线性无关组的性质及推论2可知，齐次线性方程组(1)的任何n-r个线性无关的解都可构成它的基础解系，即基础解系不唯一。§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质3齐次线性方程组解的结构若为齐次线性方程组（1）的一个12nr,,,1112,nrnrnrxkkkkkR……,,,基础解系，则（1）的通解为11|1,2,,,nrnriSkkRinr令则就是齐次线性方程组（1）的解空间．S的维数是,是其一个基．Snr12nr,,,说明：基础解系不唯一→通解不唯一§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质例1求齐次线性方程组的基础解系．1234123412341234502303803970xxxxxxxxxxxxxxxx解：对方程组的系数矩阵作初等行变换化行最简形矩阵1151112331811397A115102740000000011510172200000000103210172200000000§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质令得34(,)(1,0),TTxx原方程组的同解方程组为13423432722xxxxxx137(,,1,0)22T为方程组的一个基础解系，方程组的通解为12,令得34(,)(0,1),TTxx2(1,2,0,1)T12341237(,,,)(,,1,0)(1,2,0,1).22TTTxxxxkk§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质求基础解系的一般方法对方程组(1)的系数矩阵A作初等行变换，化A为行最简形．不妨设111,212,1,1000100010000000000nrnrrrnrbbbbAbb初等行变换第一步：§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质写出方程组(1)的同解方程组：第二步：11111,22112,11,rnrnrnrnrrrrnrnxbxbxxbxbxxbxbx第三步：为自由未知量.12,,,rrnxxx代入自由未知量，12(,,,)Trrnxxxnr用组数(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,,0,1)TTT得出方程组(1)的解：nr§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质111211212222-1,2,,(,,,,1,0,,0)(,,,,0,1,,0)(,,,,0,0,,1)TrTrTnrnrnrrnrbbbbbbbbb向量组即为方程组(1)的一个基础解系.12,,,nr1112,nrnrnrxkkkkkR……,,,而方程组(1)的通解为§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质二、非其次线性方程组解的结构设线性方程组则齐次线性方程组（2）11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb111122121122221122000nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax称为（2）的导出组．§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质1非齐次线性方程组解的结构定理2如果是非齐次线性方程组（2）的一个x为其导出组的一个解．从而，方程组（2）的通解为11nrnrxkk12,,,nr为导出组的一个基础解系．特解，那么方程组（2）的任一个解都可以表成x§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质求出(2)的导出组的一个基础解系12,,,nr2求非线性方程组(2)的通解的步骤第二步：第三步：写出(2)的通解若有无限多个解，先写出(2)的一个特解.11.nrnrxkk对(2)的增广矩阵作初等行变换化行阶梯阵,第一步：根据行阶梯阵判断(2)是否有解．(行最简形矩阵)§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质1234123411234203123xxxxxxxxxxxx例2求解非其次方程组解：1111011131112312B对方程组的增广矩阵作初等行变换12131111000241001212rrrr11011200121200000()§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质由(),()()24,RARB1243412122xxxxx令240,xx11(,0,,0)22T即得原方程组的一个特解得1312xx由，原方程组的导出组与下方程组同解()124342xxxxx原方程组有解，并有§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质令，得24(,)(1,0)TTxx1(1,1,0,0)T即为导出组的一个基础解系．12,故原方程组的通解为令，得24(,)(0,1)TTxx2(1,0,2,1)T123411,,,,0,,022TTxxxxx121,1,0,01,0,2,1.TTkk§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质一、克拉默法则二、克拉默法则的应用§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质一、克拉默法则定理1如果线性方程组（1）的系数矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa的行列式，则方程组(１)有唯一解||0DA1212,,,nnDDDxxxDDD§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质||0DA其中是把行列式中第列(1,2,,)jdjnDj所得的一个n级行列式，即的元素用方程组（1）的常数项代换12,,,nbbb111,111,11212,122,121,1,1jjnjjnjnnjnnjnnaabaaaabaaDaabaa1122jjnnjbAbAbA1.nssjsbA§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质撇开求解公式，可得下面的定理定理2如果线性方程组（1）有解，则（1）有唯一解的充要条件是系数行列式0.A（2）有无限多个解的充要条件是系数行列式0.A§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质111122121122221122000nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（2）对于齐次线性方程组（2）的除零解外的解（若还有的话）称为非零解．120nxxx一定是