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第四章边值问题的分离变量方法本章利用分离变量方法求解波动和扩散的边值问题。掌握分离变量思想方法是本章的关键。§4.1Fourier级数对定义在区间lxl上的周期函数()fx,可定义其Fourier级数,011()~(cossin)2nnnnxnxfxAABll这里,{cos,sin,0,1,2,}nxnxnll构成了一个正交系,即cossin0llmxnxdxll,coscos0,llmxnxdxmnll,sinsin0,llmxnxdxmnll,1coscos1llmxnxdxlll,1sinsin1llmxnxdxlll。由此1cos()lnlnxAfxdxll,1sin()lnlnxBfxdxll。其复数形式:()~nnixlnnfxce,而1()lnixlnlcefxdxl。关于Fourier级数收敛主要有如下结论。定理(点收敛定理)1)如果()fx连续,()fx分段连续,则011()(cossin)2nnnnxnxfxAABll;2)如果()fx,()fx分段连续,则在连续点,011()(cossin)2nnnnxnxfxAABll;在不连续点,01()()1(cossin)22nnnfxfxnxnxAABll。一般2[,]Lab中的Fourier理论简介:2L收敛,正交和完备。(是否要进一步展开?)例对1[0,]()0[0,]xlfxxl,求其Fourier变换。解有两种选择:sinkxl或coskxl。但不能展开成完整的Fourier级数,因为,在[0,]l上,{cos,sin}mnxxll不是正交系。(1)1()sinnnnxfxBl,则022sin()[1(1)]lnnnxBfxdxlln。即4131(21)1{sinsinsin}321nxxxllnl。(2)1()cosnnnxfxAl,则0102cos()00lnnnxAfxdxnll。即2110cos0cos0cosnxxxlll,是平凡的情形。关于(1)形式上的验证:101012/004131(21){sinsinsin}32143(21){coscoscos}sin43(21){coscoscos}sin2sin21sin2lim2limli2sinsin2nlnnnxxxllnlnxxxdxllllxnlxxxdxllllxlnxxldxdxxlnxln2/00sin2sinm1nlnxxdxdxxx§4.2一维波动和扩散方程的分离变量方法考虑波动方程20,0,0(0,)(,)0(,0)(),(,0)()ttxxtucuxltutultuxxuxx。该方程可以通过周期奇延拓方法求得解,但是解的形式较复杂。这里,将利用函数的无限线性组合来表示解。波动方程具有变量分离形式(,)()()uxtXxTt的解应该是什么?把该函数代入方程得,2()()()()0XxTtcXxTt,即2XTXcT,其中是不依赖于,xt的常数。首先分别讨论0和0时,方程0(0)()0XXXXl的解。1)若0,则12()Xxccx,由边界条件,0X;2)若0,则12()xxXxcece,由边界条件,0X;3)若0,则12()cossinXxcxcx,由此,10c,2sin0cl,为使方程有非零解,必须,1lkk。记222kkl,则()sinsinkkkkkXxcxcxl。相应的()Tt为()cossinkkkkkTtacxbcx。所以利用线性叠加(同时如果求导和无限和可交换),则1(,)(cossin)sinkkkkkkuxtactbctxlll是方程的解。现在选取参数,kkab,使解(,)uxt满足初始条件:(,0)(),(,0)()tuxxuxx。即1()sinkkkxaxl,1()sinkkkkxbcxll。利用正交性0sinsin2lmnmnlxxdxll,因此,02()sinlkkxaxdxll,02()sinlkkxbxdxkcl。因此有限弦长固定边界的齐次方程的形式解为1(,)(cossin)sinkkkkkkuxtaatbatxlll10022(()sincos()sinsin)sinllkkkkkkdatdatxlllkalll解的物理意义。上述解显然可以改写为1(,)cos()sinkkkkkuxtNtxl,其中22kkkNab,kkcl,22coskkkkaab,22sinkkkkbab。可见:该波动可以视为振动(,)cos()sinkkkkkuxtNtxl,1k之叠加。而此振动(,)kuxt的频率和位相与位置x无关,振幅则依赖于位置,特别在点,,0kmlmxmkk,其振幅为零,这类振动称为驻波。基音(最低固有频率):1cl,这是叠加振动分量中的最低振动频率。该频率与振动的初始条件无关,只与弦长和弦的材质有关。泛音:1kk,其余叠加振动分量中的振动频率是最低振动频率的整数倍。【end】同样方法可考虑一维齐次扩散方程的初边值问题2,0,0(,0)(),(0,)0,(,)0txxuautxluxxutult。令(,)()()uxtXxTt,则2XTaXT,因此2XTXaT。同样讨论何时,0XX,(0)0,()0XXl方程有非零解。类似当0时,方程只有零解,只有当222kkl时,方程有非零解()sinsinkkkkkXtaxaxl。相应,2()katkkTtde,即2(,)sinkatlkkkuxtAexl。寻找一般解211(,)(,)sinkatlkkkkkuxtuxtAel,使其满足初始条件:(,0)()uxx。这时,仍得02sin()lkkaxxdxll。【end】对很多齐次边界条件问题,分离变量法都能得到解的级数展开表示形式。例如,1)Dirichlet条件:(0,)(,)0utult;((0)()0XXl)2)Neumann条件:(0,)(,)0xxutult;((0)()0XXl)3)Robin条件:()0uaxun;(0((0)(0),()()lXaXXlaXl)§4.3非齐次方程的分离变量方法对一般的非齐次波动方程2(,),0,0(0,)(),(,)()(,0)(),(,0)()ttxxtucuftxxltutgtulthtuxxuxx,利用叠加原理,可以把问题的解分解为振动的叠加。令uvw,2()(,),0,0(0,)(0,)(),(,)(,)()(,0)(,0)(),(,0)(,0)()ttttxxxxttvwcvwftxxltvtwtgtvltwlthtvxwxxvxwxx选择w,使边界条件齐次化,即:(0,)(),(,)()wtgtwltht。这类函数很多,例如,(,)()()wxtatxbt,其中,1()[()()],()()athtgtbtgtl。这样,问题转化为齐次边界问题2(,),0,0(0,)(,)0(,0)(),(,0)()ttxxtucuftxxltutultuxxuxx的求解。而该问题又可分解为uvw,(为方便起见,u等,仍记为u),2(,),0,0(0,)(,)0(,0)(,0)0ttxxtvcvftxxltvtvltvxvx和uvw,2,0,0(0,)(,)0(,0)(),(,0)()ttxxtwcwxltwtwltwxxwxx第二个问题可用分离变量方法求解。第一个问题利用固有函数方法也可用分离变量方法解。设1(,)()sinnnnvxtvtxl,这时边界条件自然满足,而初始条件,使(0)(0)0nnvv。为确定()nvt,代入方程得2111()sin()()sin(,)()sinnnnnnnnnnnvtxvtxfxtftxllll即需2()()()(0)(0)0nnnnncnvvtftlvv。利用拉普拉斯变换方法:221()()()nnnlVsFsnnsll,所以0()()sin()tnnlcnvtftdcnl。总结一般步骤:1)处理的必须是齐次边界问题;2)对只有齐次边界的问题进行变量分离后得到常微分方程的定解问题;3)由常微分方程定解问题有非零解,确定特征值和特征函数序列;4)得到不考虑初始条件的解序列;进行无限线性组合;5)确定系数,使其满足初始条件。这样就能得到形式解,但是否是经典意义解则需验证。§4.4分离变量法的例子如何使用分离变量方法,要通过练习才能熟练掌握。所以,这里再给出一些具体问题的解。例1热传导方程2,0,0(,0)()(0,)0,(,)(,)0txxxucuxltuxxutulthult解此问题的边界条件是混合的(Dirichlet和Robin)。步骤一。不考虑初值条件的问题2,0,0(0,)0,(,)(,)0txxxucuxltutulthult,寻找变量分离形式的解(,)()()uxtXxTt。相应的常微分方程组:2(0)0,()()TXcTXXXlhXl。步骤二。确定特征值和特征函数序列。为使方程(0)0,()()XXXXlhXl有非零解,必须0(论证过程与前类似),则()cossinXxaxbx。由(0)0X即知:0a。再由()()XlhXl得:cossinblhbl。可见,要使方程有非零解,必须1tan()lllhl。所以特征值是方程tan()ll的解。该方程组有可列个根(由图显然,严格证明略),特征值序列为{,0}nn。不能给出特征值序列的解析式,但它们满足等式:tan()nnll。相应的特征函数序列{()sin,0}nnXxxn(不计相应的常数倍),同时相应的2()nctnTte。因此,2(,)sinnctnnuxtex,0n。步骤三。选择适当的系数,无限线性组合后,使其满足初始条件:211(,)(,)sinnctnnnnnnuxtauxtaex。由初始条件知:1()(,0)sinnnnxuxax。所以,220001cos2sin2()sinsin[][]2222()4lllnnnnnnnnnnxlllhxxdxaxdxadxaah即得到na。注这里必须证明{()sin,0}nnXxxn是正交完备系。只证明正交性:直接计算有困难,因为n没有显式解。但是对这类两次线性方程的解的正交性有一般的处理方法:()(),()(),nnnmmmXxXxXxXx所以,()()()()mnnmnmmnmnnmXXXXXXXXXxXx
本文标题:第四章边值问题的分离变量方法
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