西工大复变函数期末试卷

11-12学年第二学期A卷评分标准一．填空题（每题3分，共30分）1.设2(1)2zi时，则100z-1；2.关于函数2()fzz在复平面内的解析性为处处不解析；3.ii(2)2()kekZ；4.1100:21tan(1)Czzdzz=0；5.两个级数1()(1)2nnnniA，1(1)()[]2nnniBn中绝对收敛的幂级数为A，条件收敛的幂级数为B；6.0z为函数3101sinzz的13级极点；7.函数1wz将z平面上的曲线226xy映到w平面上的曲线方程为2216uv；8.设22()(2)fzxyyixyy，则'()fz2xi；9.函数(1)(2)zzz在02z的泰勒展开式成立的圆域半径R3；10.复数方程0chzi的解z(2),2ikkZ.二．(6分)设12,zz为单位园内的任意两点，证明：12121zzzz证明：2212121zzzz-----2分12121212()()(1)(1)zzzzzzzz--------4分222212121zzzz2212(1)(1)0,zz因此12121zzzz-------------6分三.(10分)已知2,vxyy求解析函数()fzuiv使得(2)2.f解：因为21uvxxy----------3分所以2(21)()uxdxxxgy--------------5分又因为'()2uvgyyyx故2(),gyyc22()(2)fzxxycixyy--------------9分由(2)2f得4,c所以22()4(2)fzxxyixyy----------10分四.计算题(每题7分，共35分)1.设C表示正向圆周223,xy2371()d,(1).Cfzfz求解：由柯西积分公式得当z在C内时，22371d2(371)(),Cizzfzz-------------------4分而当1在C内，因此1(1)2(67)26zfizi----------7分2.22Czdzz，其中:22,Cz起点为0，终点为4解：令22,:0,ize----------2分则022222iiCzedziedz----------5分022idi----------7分3.求21109Cdzzz,其中:2Cz，取逆时针方向.解：21()109fzzz在C内的奇点有1z，为一级极点。--------2分因此212{Re[(),1]109Cdzisfzzz-------------------------------4分2111lim(1)1098zzzz-------------------------------7分4.0132cosd解：20011132cos232cosdd-----------------------------2分211231zidzzz------------4分21352Re[,]2312iiszz------------6分55-----------------------------------------7分5.2sin4xxdxx解：24ixxedxx--------------2分22Re[,2]4izzeisiz---------------------4分2ie--------------------5分因此2sin4xxdxx2sinIm()4xxdxx=2e------------7分五.(4分)设()fz在0zR内解析，且()()fzfz，证明：Re[(),0]0sfz证明：设当0zR时()nnnfzcz，---------------------2分则()(1)nnnnfzcz，因此1()(1(1))2nnnnfzcz，---------------------3分故111Re[(),0](1(1))02sfzc---------------------4分六.(7分)求出函数21()fzizz在以i为中心的所有解析环域内对应的洛朗级数.解：21()fzizz在以i为中心的所有解析环域有01,1zz。--------------2分当01z时110111()()()()1nnnifziziziziizizii--------------5分当1z时32201111()()()()1nnnfziziiziizizizi----------------7分七．选做题(以下1,2两题必须选做一题，每题8分)1.(1).求3()sin2tfttet的拉氏变换；(2)求21()413Fsss的拉氏逆变换解：(1)33()(sin2)((sin2))'ttLftLtetLet---------------2分22'(3)4s-------------------------4分224(3)((3)4)ss-------------------------5分(2)11122113(())()()4133(2)9LFsLLsss-------------------------7分21sin33tet-------------------------8分2.设21,1,()0,1,ttftt求函数()ft的傅氏变换解：因为()(),ftft所以