第四章高数课件何满喜44两种基本积分方法

由杨艳制作第四章一元积分学4.4两种基本积分法4.4.1换元积分法4.4.2分部积分法4.4.3小结问题3cosxdx3sin,xC解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令3tx13,dxdt3cosxdx13costdt13sintC133sin.xC4.4.1换元积分法4.4.1.1不定积分的第一类换元积分法在一般情况下：设),()(ufuF则.)()(CuFduuf如果)(xu（可微）dxxxfxdF)()]([)]([CxFdxxxf)]([)()]([)(])([xuduuf由此可得换元法定理(())()(())()(())fxxdxfxdxFxC第一类换元公式又俗称凑微分法.说明使用此公式的关键在于将dxxg)(化为(())().fxxdx定理1（不定积分的第一类换元积分法）)(xu是可微函数，设.)()(CuFduuf则作变量代换后，有)(xu例1求解121dxx1121221()xdxxduu121Culn211212ln.xCdxbaxf)(baxuduufa])([1一般地121dxx例2求22121()sin()xxxdxdxx例3求.2sinxdx解（一）xdx2sin)2(2sin21xxd;2cos21Cx解（二）xdx2sinxdxxcossin2)(sinsin2xxd;sin2Cx解（三）xdx2sinxdxxcossin2)(coscos2xxd.cos2Cx同一个积分用不同方法计算,可能得到表面上不一致的结果,但实际上都表示同一族函数.例4.求解:xxxdcossinxxcoscosdxxxsindcosxxsinsind类似例5求2210()dxaax解dxxa221dxaxa222111axdaxa2111.arctan1Caxa例6求2210()dxaax解221dxax2111()dxaxa211()xdaxaarcsin.xCaCaxaxaln21例7.求解:221ax))((axax)()(axaxa21)11(21axaxa故原式=a21axxaxxdda21axax)(da21axlnaxlnCaxax)(d例8求解（一）dxxsin1.cscxdxxdxcscdxxx2cos2sin2122cos2tan12xdxx2tan2tan1xdx2lntanxClncsccot.xxC解（二）dxxsin1xdxcscdxxx2sinsin)(coscos112xdxxucosduu211duuu1111211121lnuCu1121cosln.cosxCx类似地可推出seclnsectan.xdxxxC常用基本积分公式的补充例9求2123.dxxx解2221112312()()dxdxxxx112412lnxCx1143lnxCx例10求2sin.xdx21122sin(cos)xdxxdx解111222cosdxxdx11224sinxxC,有一个是奇数时、当nm,都是偶数时、当nm,cossin积分xxnm凑微分;用倍角公式降幂,再积分.注例11求32sincos.xxdx32sincosxxdx解221(cos)cos(cos)xxdx22sincos(cos)xxdx24cos(cos)cos(cos)xdxxdx351135coscosxxC例12求解53sincos.xxdx53sincosxxdx1822(sinsin).xxdx118222sinsinxdxxdx1182164coscosxxC例13求.lndxxx(ln)lnlndxdxxxx解lnlnxC例14求32tansec.xxdx解414tanxC注323tansectantanxxdxxdx对于或型积分2tansecnkxx21tansecknxx可依次做代换或以方便计算.tanuxsecux问题?125dxxx解决方法改变中间变量的设置方法.过程令txsin,costdtdxdxxx251tdtttcossin1)(sin25tdtt25cossin（应用“凑微分”即可求出结果）4.4.1.2不定积分的第二类换元积分法定理2(不定积分的第二类换元积分法)设f(x)连续，是单调的、可导的函数()xt且，若，则0()t(())()()fttdtFtC()(())()()fxdxfttdtFtC1(())FxC例15求11.dxx12212111tdtdtdxdtttx令，则，因此xt202(),xttdxtdt解221ln()ttC221ln()xxC例16求3.dxxx例17求解220().axdxa令sinxat22,ttax22ax2222cos(sin)cosaxdxatdatatdt221122222(cos)(sin)aatdtttC2212arcsin()axxxCaaa22212arcsinxaxaxCa例18求解).0(122adxax（1）当xa时，令02sec()xattdxax221dttattatantansectdtsec1lnsectanttCtax22ax221lnxxaCaa22lnxxaC（2）当x-a时，令x=-u，则ua.dxax221222lnuuaC由（1）知22duua22lnxxaCdxax22122lnxxaC综上可知例19求解).0(122adxax令taxtantdtadx2secdxax221tdtata2secsec1tdtsec1lnsectanttCtax22ax221lnxxaCaa2,2t22lnxxaC说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa可令22sin,;xatt22)2(xa22)3(ax可令22tan,;xatt可令或02sec,xatt002t，根据情况有时需分段讨论积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(2)例20求dxxx251（三角代换很繁琐）21xt令,122tx,tdtxdxdxxx251tdttt221dttt1224Cttt353251.1)348(151242Cxxx解说明(3)有理函数中分母的阶较高时,可采用倒代换.1tx例21求dxxx)2(17令tx1,12dttdxdxxx)2(17dtttt27121dttt7621Ct|21|ln1417.||ln21|2|ln1417Cxx解1()(),();ab设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数满足条件:)(t)(t则112()()[,]([,]),tCC且[,]Rab4.4.1.3定积分的换元积分法定理3（定积分的换元积分法）说明:1)必须注意换元必换限、换限必对应,原函数中的变量不必代回.2)换元公式也可反过来使用,即))((tx令xxfbad)(但此时必须注意配元不换限.)(t)(t)(t)(t或配元)(t)(dt)(t)(t例22计算2200().aaxdxa解设，当x=0时，t=0；当x=a时sinxat2222222000122cos(cos)aaaxdxatdttdt2t，因此222012224(sin)aatt201101,(),cosxxexfxxx401()fxdx例23设求.例24证明(1)若f(x)在[-a,a]上连续且为偶函数，则证aaxxfd)(.d)(d)(00aaxxfxxf0()d.aafxx02()d()d;aaafxxfxx(2)若f(x)在[-a,a]上连续且为奇函数，则令x=-t，0d)(axxf0)d)((attfattf0d)(.d)(0axxf故;d)()(0axxfxf(1)因为f(x)是偶函数，即f(-x)=f(x)，得()daafxxaxxfxf0d)()(axxfxf0d)()(；axxf0d)(2(2)因为f(x)是奇函数，即f(-x)=-f(x)，得()daafxxaxxfxf0d)()(.0d)()(0axxfxf例25求下列定积分的值1211()dxxx11221cos()xxdxx“偶倍奇零”的性质可简化奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算.例26计算520cossindxxx解552200cossindcosd(cos)xxxxx6201166cosx配元不换限例27计算350sinsindxxx4.4.2分部积分法4.4.2.1不定积分的分部积分法问题?dxxex解决思路易算，利用两个函数乘积的设函数)(xuu和)(xvv具有连续导数,,vuvuuv,vuuvvuuvdxuvuvdx分部积分公式xedx求导法则.定理4（不定积分的分部积分法）说明：分部积分法的应用中恰当选取u和v是一v要易求;个关键,选取u和v的一般原则是:(1)dvux(2)duvx比易求.若函数u(x)与v(x)具有连续的导数，则()()()()()()uxvxdxuxvxuxvxdx()()uxvxdx()()uxvxdx与均存在，且例28求.cosxdxx解（一）令,cosxudvdxxdx221xdxxcosxdxxxxsin2cos222显然，u、v选择不当，导致积分更难计算.解（二）令,xudvxdxdxsincosxdxxcosxxdsinxdxxxsinsin.cossinCxxx在许多情况下，按照“反对幂三指”的顺序来选择u(x)（即被积函数是两个不同类型型的函数乘积时，在上述排列中次序在前的函数作为u(x)）可以简化积分计算.例29求arctan.xdx解令,arctanxuarctanarctanxdxxxdx21arctanxxxdxx2112arctanln()xxxC例30求3ln.xxdx解令ln,ux3414ln()lnxxdxxxdx44311414416ln(ln)xxxxdxxC例31求.2dxexx解,2xudxexx2dxxeexx