第四节简谐激励振动理论的应用

1第四节简谐激励振动理论的应用一、旋转不平衡质量引起的强迫振动（一）运动方程及其解在高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源之一。Memt2k2kcxo一个旋转机械的力学模性：设旋转机械总质量为M，转子的偏心质量为m，偏心距为e，转子的转动角速度为。选静平衡位置为坐标原点，坐标x表示机器离开静平衡位置的垂直位移，而偏心质量的位移为sinxet根据牛顿运动定律，列出系统的振动微分方程2222()(sin)dxddxMmmxetckxdtdtdt2整理后，得2sinMxcxkxmet（3-18）上式的形式与方程（3-1）相似，只是由2me代替了0F，故前面所有的分析都可适用。设nkM，2ncM，nr则方程（3-18）的稳态响应为()sin()xtXt式中振幅X为222222222222()()1(1)(2)(1)(2)meXkMcmekrrmerMrr显然，相位差为2221crtgkmr可见，偏心质量引起的强迫振动的振幅与不平衡质量me成正比。为了减小振动，旋转机械的转子通常要作平衡试验，使质量分布尽可能均匀。3（二）幅频特性放大因子定义为2222(1)(2)MXrmerr（3-19）以放大因子MXme为纵坐标，频率比r为横坐标，阻尼比为参数，画出幅频特性曲线。1.02.03.04.01.02.03.0MXmer00.150.25由曲线可见：1.当0nr时，0MXme，即振幅接近于零。42.当1nr时，1MXme，即振幅趋近于常数，即meXM而与激励频率及阻尼比基本上无关。3.共振发生在2112r即212n时，位于1r的右边，共振振幅为2121meXM当阻尼很小时（0.2），可以认为当1r即n发生共振，共振振幅为2memeXMc5例题：一台惯性式激振器安放在机器正上方，以测定机器的振动特性。激振器有一对带有偏心质量、等速反向旋转的齿轮组成。当旋转角速度ω为时，偏心质量的离心惯性力在水平方向合力为零，在垂直方向合成激振力meω2sinωt，其中m为总的偏心质量，e为偏心距。通过改变转速，测得共振时的垂直振幅为1.07cm，而超过共振很远时，垂直振幅趋于定值0.32cm。若偏心质量为12.7kg，偏心距为15cm，支承弹簧刚度为k=976.7N/cm。计算（1）支承阻尼器的阻尼比；（2）转速为N=300r/min时机器的垂直振幅。..Mk/2k/2c6解：设机器和激振器的总质量为M。系统的振动微分方程为2sinMxcxkxmet（1）共振时（r=1）的振幅为max1.072meXcmM而r＞＞1（超过共振很远时）时有0.32meXcmM所以阻尼比max0.320.15221.07XX（2）当转速为N=300r/min时，激励频率为2230031.46060N（rad/s）由nkM和meXM，得97.61000.3212.812.715nkXme（rad/s）频率比31.42.4512.8nr则机器的振幅为22222222.450.320.38()(12.45)(20.(1152.45))(2)merXMrmrc7例3-2：桥式起重机运行机构采用高速空心轴传动，轴的两端由调位轴承支承，轴上无别的零件。空心轴的内径d1为，外径为d2，两支承间距离为l，求轴的临界转速（r/min）。lEI,2m轴的临界转速ncr为:602ncrn。故只要知道梁的固有频率即可求出轴的临界转速ncr。求连续梁第一阶固有频率时，其模型可按如下简化（离散化）：将梁离散为三点：两个端点和一个中点，其中梁的两端端点的质量各为总质量的四分之一，即242mm，中点的质量为总质量的二分之一，即22mm。如图所示。这样处理后，可以把梁看作是抗弯刚度为EI、无质量的弹性梁。lEI·/2l/2m··m/2m/2由静变形法，知348ngEIml8式中Δ是梁中点的静变形，由材力知348mglEI9二、基础运动引起的强迫振动在许多情况下，系统受到的激励来自于支承的运动，例如固定在机器上的仪表，汽车在不平的路面行驶时的振动等等，都是支承运动引起的强迫振动。（一）运动方程及其解ckmxyYtm()kxy()cxy如图所示是受基础激励的振动力学模型。以系统静平衡位置为坐标原点建立坐标系：x----质量块的位移y----基础的位移设基础运动规律为sinyYt由牛顿运动定律，得()()mxkxycxy（3-20）即mxcxkxkycy（a）或也可写成：sincosmxcxkxkYtcYt10利用复指数法求解上式。用jtyYe代换sinyYt，所以jtyjYe，代入式（a），得()jtjtjtmxcxkxkYejcYekjcYe（b）假定方程（b）的解为()jtxtXe（c）式中X----复振幅则()jtxtjXe2()jtxtXe带入方程（b），得2[()]()jtjtkmjcXekjcYe∴2()jtkjcXYXekmjc（d）则实振幅为222222222()()()1(2)(1)(2)kcXXYkmcrYrr（e）相位差11322322()()21(2)mctgkkmcrrr（3-27）故方程（b）的解为()()jtxtXe（f）由于方程（3-20）中的激励力sinyYt是正弦函数，所以方程（3-20）的解也只能取式（f）的虚部，故方程（3-20）的解为()sin()xtXt（g）12（二）幅频特性令振幅放大因子为22221(2)(1)(2)XrYrr（3-28）以放大因子XY为纵坐标，频率比r为横坐标，阻尼比为参数，画出幅频特性曲线。由此可见，它与简谐激励力0sinFt作用下的响应曲线基本相同。所不同的是：1.02.03.04.0r1.02.03.02ζ=0ζ=0.125ζ=0.25XY1.当2(2)nr时，振幅X等于基础运动振幅Y，与阻尼无关。132.当2(2)nr时，振幅X小于基础运动振幅Y，增加阻尼反而使振幅X增大。14例题：试求图示系统在上端有基础运动的稳态响应。已知1sinxat和激励频率12kkm。解：系统的运动微分方程为111()mxkkxkx即11()sinmxkkxkat固有频率为1nkkm频率比为2nr思考问题：（1）此题是用3.2中的式（3-4）还是用3.4.2基础激励中的公式（h）来求解该题的响应？（2）此题相位差为多少？mk1kx1x15振幅为11222111114()()()3kakaXkkkkmkkmmkakk相位差为则系统的响应为sin()sinxXtXt16例题3-3：如图为汽车的拖车在波形道路上行驶，引起垂直方向振动的简化模型。已知350kNkm，车速100kmvh。满载时拖车质量11000mkg，10.5。空载时拖车质量2250mkg。路面成正弦波形，可表示成2sinvtyYL，其中5Lm。LyYmc2k2kxv求：满载和空载时车辆的振幅比12XX。解：（1）基础激励的频率31001022(6060)34.9()5vradsL17（2）空载时的阻尼比2∵阻尼系数112222cmkmk∴121210000.51250mm（3）满载和空载时的频率比满载时系统的固有频率3113501018.7()1000nkradsm满载时频率比1134.91.8718.7nr空载时系统的固有频率3223501037.4()250nkradsm空载时频率比2234.90.9337.4nr（4）满载和空载时车辆的振幅比12XX满载时21112221111(2)0.68(1)(2)XrYrr空载时22222222221(2)1.13(1)(2)XrYrr∴120.6XX18三、隔振机器超过允许范围的振动影响着本身的正常运行及寿命，而且还造成环境污染，影响周围设备的正常工作和人体健康，有效地隔振是相当重要的问题。隔振就是在振源和振体之间设置隔振系统或隔振装置，以减少或隔离振动的传递。隔振分为两类：主动隔振------隔离机械设备通过支座传递至地基的振动，以减少动力的传递。被动隔振------防止地基的振动通过支座传递至需保护的精密设备或仪器仪表，以减少运动的传递。隔振装置通常由合适的弹性材料及阻尼材料组成，例如钢弹簧、橡胶、软木、毡类等。191.主动隔振ckmxm0sinFt0sinFtkXcXcX振源是机器本身。主动隔振的目的是减少传递到地基上的力。其隔振效果用力传递率（系数）FT表示，它定义为0()1()TFFTF隔振后传递到地基上的力隔振前传递到地基上的力隔振后机器的强迫振动为sin()xXt，sin()xXt故机器通过弹簧传递到地基上的力为kX机器通过阻尼器传递到地基上的力为kXkX其合力为2022220222()()1(2)1(2)(1)(2)TFkXcXkXrrFrr式中0222(1)(2)FkXrr（3-3）所以力传递率为222201(2)(1)(2)TFFrTFrr（3-29）2.被动隔振ckmxmytytsinyYt被动隔振振源来自地基运动。被动隔振的目的是减小传递到机器的运动，其隔振效果用位移传递率（系数）DT来表示，它定义为1DT隔振后机器的振幅(X)隔振前机器的振幅(Y)显然有2122221(2)(1)(2)DrTrr（3-28）比较主动隔振式（3-29）和被动隔振式（3-28）可知，主动隔振式和被动隔振的原理是相似的。故此，力传递率（系数）FT和位移传递率（系数）DT统称为传递率（系数），用符号T表示。所以有22221(2)1(1)(2)rTrr传递率T有如下特点：（1）不论阻尼大小，只有当频率比2r（即2n）时，才有传递率1T，即隔振才起作用。（2）当频率比2r后，随着r的增加，传递率T逐渐减小；当频率比5r之后，传递率T的减小趋于平缓。故隔振效果提高是有限度的。通常频率比r取值范围在2.5－5内。（3）当频率比2r后，增加阻尼反而使隔振效果变坏，即,T22例题3-4一电动机质量为68kg，安装在质量为1200kg的隔振铁块上，两者装在一起后的固有频率为2.667Hz，阻尼比0.1，因电机失衡而产生激振力()100sin(31.4)FttN。试求：（1）隔振块的振幅；（2）传递到基础上的力TF。电机隔振块基础ckmx0sinFt解：（1）由题已知0100FN，0.1质量6812001268mkg22.66716.757()nrads31.41.87416.757nr22126816.757356050.7()Nkmm23由式（3-3），得隔振块的位移02222224(1)(2)100356050.7(11.874)(20.11.874)1.10610()0.11()FkXrrmmm（2）则通过弹簧和阻尼器传递到地基上的合力为22242()1(2)356050.71.106101(20.11.874)42.05442()TFXkckXrN阻尼系数22126816.7570.14249.6()ncmsNm