等差数列知识点及类型题

1等差数列知识点及类型题一、数列由na与nS的关系求na由nS求na时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2)nnnSnaSSn。〖例1〗根据下列条件，确定数列na的通项公式。nnnSaa222,0分析：将无理问题有理化，而后利用na与nS的关系求解。二、等差数列及其前n项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，1()(2)nnaadn常数，第二种是利用等差中项，即112(2)nnnaaan。2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。（1）通项法：若数列{na}的通项公式为n的一次函数，即na=An+B,则{na}是等差数列；（2）前n项和法：若数列{na}的前n项和nS是2nSAnBn的形式（A，B是常数），则{na}是等差数列。注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。〖例2〗已知数列{na}的前n项和为nS，且满足111120(2),2nnnnSSSSna（1）求证：{1nS}是等差数列；（2）求na的表达式。2【变式】已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前n项和Sn满足2Sn＝2pa2n＋an－p(p∈R)，则{an}的通项公式为________．（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式na=1a+（n-1）d及前n项和公式11()(1)22nnnaannSnad，共涉及五个量1a，na，d,n,nS,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为11(1)222nSdddnaann，故数列{nSn}是等差数列。〖例3〗已知数列{nx}的首项1x=3，通项2(,,)nnxpnqnNpq为常数，且1x，4x，5x成等差数列。求：（1）,pq的值；（2）数列{nx}的前n项和nS的公式。分析：（1）由1x=3与1x，4x，5x成等差数列列出方程组即可求出,pq；（2）通过nx利用条件分成两个可求和的数列分别求和。（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d，若d0,则数列递增；若d0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。★2、等差数列的简单性质：已知数列{na}是等差数列，nS是其前n项和。（1）若m+n=p+q,则mnpqaaaa,特别：若m+n=2p，则2mnpaaa。（2）23,,,,mmkmkmkaaaa仍是等差数列，公差为kd;（3）数列232,,,mmmmmSSSSSL--也是等差数列；(4)若等差数列的项数为2Nnn，则，奇偶ndSS1nnaaSS偶奇；（5）若等差数列的项数为Nnn12，则nnanS1212，且naSS偶奇，1nnSS偶奇（6）也是等差数列。是等差数列，则数列如果数列nnnnnnnnbqapbaacacba,,,,（其中cpq、、均为常数）。典型例题1．等差数列na中,若100,252nnSS，则nS3＝________；2.（厦门）在等差数列na中，284aa,则其前9项的和S9等于（）A．18B27C36D93、（全国卷Ⅰ理）设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=34、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()(A)130(B)170(C)210(D)1605.(湖北卷)已知两个等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为An和nB，且7453nnAnBn，则使得nnab为整数的正整数n的个数是（）A．2B．3C．4D．56、已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m－n|的值等于________．7、在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________．8.若两个等差数列na和nb的前n项和分别为nS和nT，且满足733nnSnTn，则88ab.★等差数列的最值：若{}na是等差数列，求前n项和的最值时，（1）若a10,d0,且满足100nnaa，前n项和nS最大；（2）若a10,d0，且满足100nnaa，前n项和nS最小；（3）除上面方法外，还可将{}na的前n项和的最值问题看作nS关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意nN。〖例4〗在等差数列{}na中，161718936aaaa，其前n项和为nS。（1）求nS的最小值，并求出nS取最小值时n的值；（2）求12nnTaaa。分析：（1）可由已知条件，求出a1,d,利用100nnaa求解，亦可用nS利用二次函数求最值；（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。〖例5〗已知数列{}na是等差数列。（1）若,(),;mnmnanammna求（2）若,(),.mnmnSnSmmnS求4【变式】已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式2Sn＝3an－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝1log3an·log3an＋1，前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，总有Tn1.跟踪训练1.已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有（）A．13项B．14项C．15项D．16项2.已知等差数列的通项公式为an=-3n+a，a为常数，则公差d=（）3.在等差数列{an}中，若a1+a2=-18，a5+a6=-2，则30是这个数列的（）A．第22项B．第21项C．第20项D．第19项4.已知数列a，-15，b，c，45是等差数列，则a+b+c的值是（）A．-5B．0C．5D．105.已知等差数列{an}中，a1+a2+a3=-15，a3+a4=-16，则a1=（）A．-1B．-3C．-5D．-76.已知等差数列{an}满足a2+a7=2a3+a4，那么这个数列的首项是（）7.已知数列{an}是等差数列，且a3+a11=40，则a6+a7+a8等于（）A．84B．72C．60D．438.已知等差数列{an}中，a1+a3+a5=3，则a2+a4=（）A．3B．2C．1D．-19.已知数列na：3，7，11，15，19……，则191在此数列na中应是（）A．第21项B．第41项C．第48项D．第49项10.已知数列{}na中，，31a前n和1(1)(1)12nnSna（1）求证：数列{}na是等差数列（2）求数列{}na的通项公式（3）设数列11nnaa的前n项和为nT，是否存在实数M，使得MTn对一切正整数n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由。5等差数列知识点及类型题一、数列由na与nS的关系求na由nS求na时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2)nnnSnaSSn。〖例1〗根据下列条件，确定数列na的通项公式。nnnSaa222,0分析：将无理问题有理化，而后利用na与nS的关系求解。解答：二、等差数列及其前n项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，1()(2)nnaadn常数，第二种是利用等差中项，即112(2)nnnaaan。2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。（1）通项法：若数列{na}的通项公式为n的一次函数，即na=An+B,则{na}是等差数列；（2）前n项和法：若数列{na}的前n项和nS是2nSAnBn的形式（A，B是常数），则{na}是等差数列。注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。〖例2〗已知数列{na}的前n项和为nS，且满足111120(2),2nnnnSSSSna（1）求证：{1nS}是等差数列；（2）求na的表达式。分析：（1）1120nnnnSSSS1nS与11nS的关系结论；（2）由1nS的关系式nS的关系式na6解答：（1）等式两边同除以1nnSS得11nS-1nS+2=0，即1nS-11nS=2（n≥2）.∴{1nS}是以11S=11a=2为首项，以2为公差的等差数列。（2）由（1）知1nS=11S+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴nS=12n,当n≥2时，na=2nS·1nS=12(1)nn。又∵112a，不适合上式，故1(1)21(2)2(1)nnannn。【变式】已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前n项和Sn满足2Sn＝2pa2n＋an－p(p∈R)，则{an}的通项公式为________．∵a1＝1，∴2a1＝2pa21＋a1－p，即2＝2p＋1－p，得p＝1.于是2Sn＝2a2n＋an－1.当n≥2时，有2Sn－1＝2a2n－1＋an－1－1，两式相减，得2an＝2a2n－2a2n－1＋an－an－1，整理，得2(an＋an－1)·(an－an－1－12)＝0.又∵an0，∴an－an－1＝12，于是{an}是等差数列，故an＝1＋(n－1)·12＝n＋12.（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式na=1a+（n-1）d及前n项和公式11()(1)22nnnaannSnad，共涉及五个量1a，na，d,n,nS,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为11(1)222nSdddnaann，故数列{nSn}是等差数列。〖例3〗已知数列{nx}的首项1x=3，通项2(,,)nnxpnqnNpq为常数，且1x，4x，5x成等差数列。求：（1）,pq的值；（2）数列{nx}的前n项和nS的公式。分析：（1）由1x=3与1x，4x，5x成等差数列列出方程组即可求出,pq；（2）通过nx利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答：（1）由1x=3得23pq……………………………………①又454515424,25,2xpqxpqxxx且，得5532528pqpq…………………②由①②联立得1,1pq。（2）由（1）得2nnnx，（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d，若d0,则数列递增；若d0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。★2、等差数列的简单性质：已知数列{na}是等差数列，nS是其前n项和。7（1）若m+n=p+q,则mnpqaaaa,特别：若m+n=2p，则2mnpaaa。（2）23,,,,mmkmkmkaaaa仍是等差数列，公差为kd;（3）数列232,,,mmmmmSSSSSL--也是等差数列；(4)若等差数列的项数为2Nnn，则，奇偶ndSS1nnaaSS偶奇；（5）若等差数列的项数为Nnn12，则nnanS1212，且naSS偶奇，1nnSS偶奇（6）也是等差数列。是等差数列，则数列如果数列nnnnnnnnbqapbaacacba,,,,（其中cpq、、均为常数）。典型例题1．等差数列na中,若100,252nnSS，则nS3＝_____225___；2.（厦门）在等差数列na中，284aa