西点课业--初中数学-勾股定理50题精讲

《勾股定理》一、填空题1．填空：（1）一个直角三角形的三边从小到大依次为x，16，20，则x=_______；（2）在△ABC中∠C=90°，AB=10，AC=6，则另一边BC=________，面积为______，AB边上的高为________；（3）若一个矩形的长为5和12，则它的对角线长为_______．2．三角形三边长分别为6、8、10，那么它最短边上的高为______．3．已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为______．4．若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为_______．5．测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个花坛的面积是________．6．矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图18-1方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=_______cm．7．如图18-2，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形中，与众不同的是_________，不同之处：_________．8．一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．9．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，你能帮助他把旗杆的高度求出来是__________．10．如图18-3，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=3，则BD的长为（）A．3B．12C．1D．411．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则该等腰三角形面积为_______．12．△ABC中，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=______，b=_______．13．等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它底边上的高为_____，面积为____．ABCD图18-2BCAC'ED．如果直角三角形的斜边与一直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是________cm2．15．在△ABC中，若三边长分别为9、12、15，则以这样的三角形拼成的矩形面积为_________．16．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，试写出两种勾股数_______．17．有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是_________cm．18．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是_______．二、选择题19．在△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（）A．BC2=AB2+AC2;B．AB2=AC2+BC2;C．AB2=BC2-AC2;D．AC2=BC2-AB220．三角形三边之比分别为①1：2：3，②3：4：5；③1.5：2：2.5，④4：5：6，其中可以构成直角三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个21．若线段a、b、c能构成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4B．3：4：6C．5：12：13D．4：6：722．一直角三角形的斜边长比一条直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边长为（）A．4B．8C．10D．1223．若直角三角形两角边的比为5：12，则斜边与较小直角边的比为（）A．13：12B．169：25C．13：5D．12：524．下面四组数中是勾股数的有（）（1）1.5，2.5，2（2）2，2，2（3）12，16，20（4）0.5，1.2，1.3A．1组B．2组C．3组D．4组25．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（）A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米26．如图18-4，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A．0B．1C．2D．327．一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC约为（3≈1.732，结果保留三个有效数字）（）A．5.00米B．8.66米C．17.3米D．5.77米28．如图18-5，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯的底部距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯的底部将平滑（）A．9分米B．15分米C．5分米D．8分米BCA图18-4图18-5BCAD．如图18-6，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=3，则BD的长为（）A．3B．12C．1D．430．如图18-7，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为（）A．72B．258C．278D．15431．若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（）A．13B．13或119C．13或15D．1532．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，733．如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2-1、2n（n1），那么它的斜边长是（）A．2nB．n+1C．n2-1D．n2+134．以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（）（1）3，4，5；（2）3，4，5；（3）32，42，52；（4）0.03，0.04，0.05．A．1个B．2个C．3个D．4个35．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A．12米B．13米C．14米D．15米36．放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．不能确定37．如图18-8所示，要在离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.2米，L3=7.8米，L4=10米四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（）A．L1B．L2C．L3D．L438．在△ABC中，∠C=90°，周长为60，斜边与一直角边比是13：5，则这个三角形三边长分别是（）A．5，4，3B．13，12，5C．10，8，6D．26，24，1039．如图18-9所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1B．2C．3D．240．如图18-10所示，有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm图18-7三、解答题41．如图18-11，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．BCAD．如图18-12，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了5003米到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C点，求A、C两点间的距离．43．如图18-13，求图中字母所代表的正方形面积．44．如图18-14，所示，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求该四边形的面积．BCAD45．如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km就找到了宝藏，问：登陆点（A处）到宝藏埋藏点（B处）的直线距离是多少？图18-11图18-12图18-13图18-1415328BA46．如图18-16，古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成如图所示的一个三角形，其中一个角便是直角，请说明这种做法的根据．47．已知，如图18-17所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．48．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图18-18所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？50．阅读材料并解答问题：我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．图18-15图18-16图18-17图18-18关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：方法1：若m为奇数（m≥3），则a=m，b=12（m2-1）和c=12（m2+1）是勾股数．方法2：若任取两个正整数m和n（mn），则a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股数．（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形；（2）请根据方法1和方法2按规律填写下列表格：勾m3511…股12（m2-1）41260…弦12（m2+1）51361…m233444556…n121321435…a=m2-n23587121591611…b=2mn412624168403060…c=m2+n251310252017413461…（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图18-19所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，且每个三角形的各边长之比为5：12：13，那么这四个直角三角形的边长共需植树______棵．．清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步：6S图18-19＝m；第二步：m=k；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长”．（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．52．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心．其中心最大风力为12级，每离台风中心20km，风力就会减弱一级，该台风中心现在正以15km/h的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，如图18-20，若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；（2）若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？该城市受到台风影响的最大风力为几级？BCA参考解析一、填空题1．（1）12；（2）8244.8（点拨：两直角边的积=斜边×斜边上的高）；（3）132．8（点拨：此三角形为直角三角形．）3．5或7（点拨：分4为斜边长和直角边长解．）4．2