解一元二次方程教学设计

解一元二次方程教学设计教学设计思想解一元二次方程有四种方法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，这四种方法各有千秋。为保证学生掌握基本的运算技能，教学中进行了一定量的训练，但要避免学生简单的模仿。我们在探究一元二次方程解法的过程中，要加强思想方法的渗透，发展学生的思维能力。在解一元二次方程的几种方法中，均需要用到转化的思想方法。如配方法需要将方程转化为能直接开平方的形式，公式法能根据一元二次方程转化为两个一元一次方程，所有这些均体现了转化的思想。在教学时老师引导学生在主动进行观察、思考核探究的基础上，体会数学思想方法在其中的作用，充分发展学生的思维能力。教学目标知识与技能：1．会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。2．能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法，体会解决问题策略的多样性。过程与方法：1．参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，对结果比较、验证、归纳、理清几种解法之间的关系，并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。2．在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。情感态度价值观：在解一元二次方程的实践中，交流、总结经验和规律，体验数学活动乐趣。教学重难点重点：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤，并熟练运用上述方法解题。难点：根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。教学方法探索发现，讲练结合教学媒体多媒体课时安排4课时教学过程设计第一课时一、复习引入：1．一元二次方程的一般形式是什么？其中a应具备什么条件？2．042x是一元二次方程吗？其中二次项的系数，一次项的系数，常数项各是什么？（是。二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－4）3．解下列方程：（1）x2=4（2）(x+3)2=9学生依次回答上述问题。师总结强调：（1）象这种通过直接开平方求得x的值的方法，实际上就是求x2=a（a≥0）这种特殊形式的一元二次方程的解方法。（2）对于形如“(x+a)2=b(b≥0)”型的方程，只要把x+a看作一个整体，就可以转化为x2=b(b≥0)型的方法去解决，这里渗透了“换元”的方法。（3）在对方程(x+3)2=9两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。要向学生指出，这种变形实质上是将原方程“降次”。“降次”也是一种数学方法二、试着做做1．如果（x+2）2=9，那么x=_______________。2．如果（x-3）2=7，那么x=_______________。3．完全平方公式是什么？4．如果x2+2x+1=4，那么x=_______________。学生独立求解5．对于x2+2x-3=0这样的方程，该怎样求解呢？能否经过适当变形，将方程转化为（x+m）2=n（m，n是常数，n≥0）的形式，然后应用直接开平法求解呢？你能总结出你解这个方程的步骤吗？学生活动：小组讨论，利用完全平方公式及上述提示寻求解法，将x2+2x-3=0变形为x2+2x+1=4，即（x+1）2=4。并总结出解方程x2+2x-3=0的一种方法：三、做一做把下列方程化为（x+m）2=n（m，n是常数，n≥0）的形式，并求出它们的解。（1）x2+2x=48；（2）x2-4x=12；（3）x2-6x+6=0；（4）2504xx。学生活动：初步体验用配方法解一元二次方程的步骤。例1解方程x2-10x-11=0该例题师生共同完成，学生通过此题明白每步变形的依据和目的。然后师生一起总结：通过配方，把方程的一边化为完全平方式，另一边化为非负数，然后利用开平方的方法求出一元二次方程的根，这种方法叫做解一元二次方程的配方法。四、练习：1．配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x2+12x+=(x+6)2（2）x2―12x+=(x―)2（3）x2+8x+=(x+)22．解方程：课本P34练习五、小结这节课你的收获是什么？六、作业课本P341，2，3七、板书设计解一元二次方程——配方法x2=a（a≥0）试着做做做一做例1练习直接开平方法x2+bx+c=0配方法第二课时一、复习引入上节课我们学习了解一元二次方程的什么方法？解下列方程：（1）x2-6x+4=0（2）x2+4x-16=0今天我们一起来学习方程的二次项系数不是1的一元二次方程。二、做一做解方程3x2-32x-48=0师：引导学生观察，此方程和上节课方程进行比较有什么不同，能否转化成二次项系数为1的形式。学生独立思考，积极探究，解答题目。解：略。见课本P35师：请同学们总结用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？学生小组讨论，相互交流自己的想法。利用配方法解一元二次方程，其一般步骤为：A．先把方程整理为一般形式B．用二次项系数去除方程两边，把二次项系数化为1C．把常数项移到方程的右边（移项）D．方程两边各加上一次项系数一半的平方，把方程化为（nmx2)的形式（配方）E．利用直接开方法求得方程的解（当右边是负数时，方程无解）三、练一练解下列方程（1）x2-4x=12；（2）3x2+2x-5=0；（3）2y2+y-6=0；（4）2x2+5x+1=0四、实际应用例3有一张长方形桌子，它的长为2m，宽为1m。有一块长方形台布，它的面积是桌面面积的2倍，将台布铺在桌面上时，各边垂下的长相等。求这块台布的长和宽（均精确到0.01m）。小组讨论：（1）题目中有哪些等量关系？（2）如何设未知数？根据你所设的未知数列出一元二次方程，并解答。（3）算出的x值都可取么？为什么老师引导学生注意验证方程的解的合理性，并对学习困难的学生给予及时的点拨和引导。通过此题我们发现在解决实际问题时，设未知数要灵活选择，同时注意检验方程的解是否符合题意，从而确定实际问题的答案。五、小结1．配方法的基本步骤。2．配方法是一种重要的数学方法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到。3．在解决实际问题时，要注意检验方程的解是否符合题意。六、作业课本P371，2五、板书设计配方法（2）配方法的一般步骤例2例3练习第三课时一、导入新课：1．配方法的步骤是什么？学生回答：（1）将方程二次项系数化成1；（2）移项；（3）配方；（4）化为（x+m）2=n（m，n是常数，n≥0）的形式；（5）用直接开平方法求得方程的解。2．用配方法解方程：2x2+7x=4解：系数化成1，得：x2+227x配方，得：164921649272xx（x+1681)472开平方，得：4947x211x42x学生活动：用配方法解一元二次方程。师：直接开平方法解一元二次方程有一定的局限性，必须符合直接开平方的条件才能利用直接开平方法；配方法虽然对任意一个一元一次方程都适用，但每做一题都要配方一次，显得比较麻烦，所以我们就产生了推导一个公式来求一元二次方程的解的想法。二、一起探究用配方法解方程：ax2+bx+c=0(a)0学生活动：自主探究，按照配方法的步骤逐步求解。解：系数化成1，（两边同除以a）得：02acxabx移项（把常数项移到方程右边），得：acxabx2配方（两边同时加上2()2ba），得：2222244abacabxabx化为（x+m）2=n（m，n是常数，n≥0）的形式，得：22244)2(aacbabx师：接着让学生讨论：此时可以用开平方法求解吗？让学生充分发表意见后，教师指出：因为0a，所以042a，当042acb时，可以用开平方法得22442aacbabx再让学生讨论aacbaacb2444222吗？(学生讨论，教师讲解：aacbaacb2444222,但因为式子前面已有符号“±”，所以无论0a还是0a，最终结果总是aacb242)所以aacbabx2422，aacbbaacbabx2424222这样我们就得到了一元二次方程02cbxax(0a)的求根公式：)04(2422acbaacbbx用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。说明：(1)用公式法解一元二次方程，实际上就是给出a、b、c的数值，然后求代数式：aacbb242进行求值的运算。由于这样的计算较复杂，所以要提醒学生计算时注意a、b、c的符号，讲究计算的正确性。(2)在运用求根公式求解时，应先计算acb42的值；当acb42≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数根；当acb420时，方程没有实数根。三、知识应用例解方程4x2+x-3=0解：这里a=4，b=1，c=-3∵b2-4ac=12-4×4×（-3）=490,∴24149172228bbacxa即123,1.4xx说明：师生共同完成，教师规范格式并强调注意事项。注意:(1)如果方程不是一般形式，要化为一般形式后，再确定a，b，c的值(2)对a，b，c的值，要注意其正负符号，如此题中c=-3．四、课堂训练：P38练习题（1）---（4）。找四名同学上黑板做。五、小结1．本节课我们推导出了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，即求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合运用，对于0a，acb42≥0，以及由0a，知042a等条件在推导过程中的应用，亦要弄懂其道理。2．应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写成a、b、c的数值以及计算acb42的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程。六、作业：课本习题P381，2七、板书设计解一元二次方程——公式法练习：推导公式：例练习-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------第四课时一、复习引入1．一元二次方程的解法，已经学过了哪几种？(直接开平方法，配方法，求根公式法)2．对于方程x2-9=0，上述三种解法是不是都可用？哪一种解法比较简便？(直接开平方法)从上面的例子可见，同一个题目可以用多种方法来解，我们应该“因题而宜”，选取一种较好的解法，方法越多，我们选取的可能性就越大.今天我们再学一种方法，叫做一元二次方程的因式分解法．二、一起探究我们以方程x2-9=0为例，这个方程的右边是0，左边可以分解成两个一次因式的乘积即(x+3)(x-3)=0①我们知道a·b=0a=0或b=0。语言表述：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．提问：1．什么叫方程的根？(使方程左右两边相等的未知数的值)2．观察什么数是方程①的根？即什么数使方程①的左边乘积为零？(使x+3等于0或使x-3等于0).注意用或字，意思是两个因式中有一个等于0就可使乘积为0，不必要两个因式同时为0.因此我们可以得到x=-3或x=3，即x1=-3，x2=-3像这样，把一元二次方程的一边划为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解。三、做一做用因式分解法解下列方程：22221(1)70;(2);2(3)490;(4)210.xxxxxxx学生独立运用因式分解法完成求解过程，老师对学生困难的学生给与帮助。例用因式分解法解下列方程：(1)3(x-1)2=2(x-1);(2)(x+5)2=49.分析：这两个方程有什么特点？（可以把x-1和x+5分别看作整体）解：（1）原方程可化为3(x-1)2-2(x-1)=0（x-1)（3x-5）=0得x-1=0，或3x-5=0所以1251,3xx（2）原方程可化为(x+5)2-72=0(x+12)(x-2)=0.得x+12=0,或x-2=0所以1212,2xx四、大家