解三角形教案

正余弦定理在解决三角形问题中的应用天长二中刘安乐正余弦定理在解决三角形问题中的应用高考考纲要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形；能利用计算器解决三角形的计算问题。知识点归纳：1．正弦定理：txjy形式一：R2CsincBsinbAsina；形式二：R2aAsin＝；R2bBsin＝；R2cCsin＝；（角到边的转换）形式三：AsinR2a，BsinR2b，CsinR2c；（边到角的转换）形式四：Bsinac21Asinbc21Csinab21S；（求三角形的面积）解决以下两类问题：1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。若给出A,ba，那么解的个数为：无解（Asinba）；一解（AsinbaAsinba或者）；两解（baAsinb）；txjy2．余弦定理：txjy形式一：Acosbc2cba222，Bcosac2cab222，Ccosab2bac222形式二：bc2acbAcos222，ac2bcaBcos222，ab2cbaCcos222，（角到边的转换）解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）txjy3、角平分线定理：DCADBCAB；其中BD为角B的角平分线。txjy正余弦定理在解决三角形问题中的应用天长二中刘安乐典型例题分析：一、判定三角形的形状例1根据下列条件判断三角形ABC的形状：(1)若a2tanB=b2tanA；解：由已知及正弦定理得(2RsinA)2BcosBsin=(2RsinB)2AcosAsin2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B2cos(A+B)sin(A–B)=0∴A+B=90o或A–B=0所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.(2)b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC;解:由正弦定理得sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC∵sinBsinC≠0,∴sinBsinC=cosBcosC,即cos(B+C)=0,∴B+C=90o,A=90o,故△ABC是直角三角形.(3)(sinA+sinB+sinC)–(cosA+cosB+cosC)=1.解：(sinA+sinB+sinC)–(cosA+cosB+cosC)=1[2sin2BAcos2BA+sin(A+B)]–[2cos2BAcos2BA+2cos22C-1]=0[2sin2BAcos2BA+sin(A+B)]–2cos2BAcos2BA-2sin22BA=0(sin2BA-cos2BA)(cos2BA-sin2BA)=0sin(2BA-4)sin4BCAsin4CBA=0△ABC是Rt△。二、三角形中的求角或求边长问题正余弦定理在解决三角形问题中的应用天长二中刘安乐例2、△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形（如图1）。设∠FEC=α，问sinα为何值时，△DEF的边长最短？并求出最短边的长。图1分析：要求最短边的长，需建立边长关于角α的目标函数。解：设△DEF的边长为x，显然∠C=90°，∠B=60°，故EC=x·cosα。因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，所以∠EDB=α。在△BDE中，由正弦定理得，所以，因为BE+EC=BC，所以，所以当，。注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。例2在△ABC中，已知sinB=53,cosA=135,试求cosC的值。解：由cosA=135，得sinA=1312,正余弦定理在解决三角形问题中的应用天长二中刘安乐∵sinBsinA,∴B中能是锐角∴cosB=54,又cosC=-cos(A+B)=sinAsinB–cosAcosB=6516.例3(98年高考题)已知△ABC中,a、b、c为角A、B、C的对边，且a+c=2b,A–B=60o,求sinB的值.解：由a+c=2b,得sinA+sinC=2sinB即2sin2CAcos2CA=2sinB由A+B+C=180o得sin2CA=cos2B.又A–C=60o,得2Bcos23=sinB所以2Bcos23=2sin2Bcos2B又∵0o2B90o,cos2B≠0，所以sin2B=43.从而cos2B=413.所以sinB=839.例4．（2005年湖北卷第18题）在△ABC中，已知ACBAB,66cos,364边上的中线BD=5，求sinA的值.分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=,,36221xBEAB设在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2－2BE·EDcosBED，正余弦定理在解决三角形问题中的应用天长二中刘安乐,6636223852xx,328cos2,2),(37,1222BBCABBCABACBCxx从而故舍去解得.1470sin,6303212sin2,630sin,3212AABAC故又即解法2：以B为坐标原点，xBC为轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.).(314,2.5)352()634(||).352,634(),0,(),354,34()sin364,cos364(,630sin22舍去从而由条件得则设则由xxxBDxBDxBCBBBAB),354,32(CA故.1470cos1sin,141439809498091698098||||cos2AACABACABAA于是解法3：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC，过P作PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=,354,34AH正余弦定理在解决三角形问题中的应用天长二中刘安乐.1470sin,6303212sin2.3212,32,2,34,310)354()52(22222222AAHCAHACHCCNBNBCHBCNAHBPPNBPBN故由正弦定理得而例5、(2005年天津卷第17题)在ABC中，CBA、、所对的边长分别为cba、、，设cba、、满足条件222abccb和321bc，求A和Btan的值分析：本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力..解法一：由余弦定理212cos222bcacbA，因此，60A在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理BBBCbcsin)120sin(sinsin321,21cot23sinsin120coscos120sinBBBB解得,2cotB从而.21tanB解法二：由余弦定理212cos222bcacbA，因此，60A，由222abccb，得.41532133411)(1)(22bcbcba所以.215ba①正余弦定理在解决三角形问题中的应用天长二中刘安乐由正弦定理5123152sinsinAabB.由①式知,ba故∠B∠A，因此∠B为锐角，于是152sin1cos2BB，从而.21cossintanBBB例6、（2005年全国高考数学试卷三（四川理））ABC中，内角ABC、、的对边分别是abc、、，已知abc、、成等比数列，且3cos4B（Ⅰ）求cotcotAC的值（Ⅱ）设32BABC，求ac的值。解：（Ⅰ）由3cos4B得237sin144B由2bac及正弦定理得2sinsinsinBAC于是11cotcottantanACACcoscossinsinACACcossincossinsinsinACCAAC2sinsinACB2sinsinBB1sinB477（Ⅱ）由32BABC得3cos2caB，由3cos4B可得2ca，即22b由余弦定理2222cosbacacB得2222cos5acbacB2222549acacac∴3ac正余弦定理在解决三角形问题中的应用天长二中刘安乐例7．（2004年浙江高考数学·理工第17题，文史第18题，）在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且31cosA.（Ⅰ）求ACB2cos2sin2的值；（Ⅱ）若3a，求bc的最大值.解:(Ⅰ)ACB2cos2sin2=)1cos2()]cos(1[212ACB=)1cos2()cos1(212AA=)192()311(21=91(Ⅱ)∵31cos2222Abcacb∴2222232abcacbbc,又∵3a∴.49bc当且仅当b=c=23时,bc=49,故bc的最大值是49.三、解平面几何问题例8（2002年全国高考题）已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。正余弦定理在解决三角形问题中的应用天长二中刘安乐分析：如图2，连结对角线BD，将四边形面积转化为三角形面积来求，而要求三角形面积，需求出∠A、∠C，这可由余弦定理列方程求得。解：因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以A+C=180°，所以sinA=sinC。连结BD，则四边形ABCD的面积。由余弦定理，在△ABD中，。在△CDB中，。所以20�16cosA=52�48cosC,又因为cosC=�cosA，所以64cosA=�32，cosA=,所以A=120°。所以S=16×sin120°=.注：在应用正弦定理解题时要注意方程思想的运用。四、解实际应用问题例9某观测站C在A城的南偏西20°方向，由A城出发有一条公路定向是南偏东40°，由C处测得距C为31km的公路上B处有1人沿公路向A城以v=5km/h的速度走了4h后到达D处，此时测得C、D间距离为21km。问这人以v的速度至少还要走多少h才能到达A城。解：如图6，由已知得CD=21，BD=20，CB=31，∠CAD=60°。设AD=x，AC=y。在△ACB和△ACD中，分别由余弦定理得，（1）�（2）得2x�y=6，将y=2x�6代入（2）得，所以x=15，x=�9（舍去）。所以。故此人以v的速度至少还要走3h才能到达A城。正余弦定理在解决三角形问题中的应用天长二中刘安乐五、证明三角恒等式例10在△ABC中，求证：BcosAcosba22+CcosBcoscb22+AcosCcosac22=0.解：因为BcosAcosba22=BcosAcos)BsinR2()AsinR2(22=BcosAcos)]Bcos1()Acos1[(R4222=BcosAcos)AcosB(cosR4222=4R2(cosB–cosA),同理CcosBcoscb22=4R2(cosC–cosB)AcosCcosac22=4R2(cosA–cosC).所以左边=4R2(cosB–cosA)+4R2(cosC–cosB)+4R2(cosA–cosC)=0得证.例11（2000年北京春季高考题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,证明：。正余弦定理在解决三角形问题中的应用天长二中刘安乐证明：由余弦定理知，两式相减得。所以，所以。由正弦定理，，所以=。故等式成立。例12（1999年全国高中数学联赛题）在△