解析几何专题03圆锥曲线的定义方程及几何性质

1解析几何专题03圆锥曲线的定义、方程及几何性质学习目标（1）理解圆锥曲线的定义，并能正确运用圆锥曲线的定义解决一些简单的问题；（2）掌握圆锥曲线的标准方程，并能熟练运用“待定系数法”求圆锥曲线的方程；（3）能根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的一些几何性质（尤其是焦点、离心率以及双曲线的渐近线等）。知识回顾及应用1．圆锥曲线的定义(1)椭圆(2)双曲线(3)抛物线2．圆锥曲线的方程(1)椭圆的标准方程(2)双曲线的标准方程(3)抛物线的标准方程3．圆锥曲线的几何性质(1)椭圆的几何性质(2)双曲线的几何性质(3)抛物线的几何性质4．应用所学知识解决问题：【题目】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点53(,)22，求椭圆的方程。答案：221106xy【变式1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）离心率15,14eb,焦点在x轴上；（2）4,15ac,焦点在y轴上；（3）10,25abc。答案：（1）22116xy；（2）22116yx；（3）2213616xy或2213616yx。【变式2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）3ab,且经过点(3,0)P；（2）经过两点373(,),(1,)242。答案：（1）2219xy或221819yx；（2）2214xy。2问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题）【类型一】圆锥曲线的方程例1．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点1,2M，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．求这三条曲线的方程。解：设抛物线方程为220ypxp，将1,2M代入方程得2p24yx抛物线方程为:由题意知椭圆、双曲线的焦点为211,0,1,0,FFc=1对于椭圆，222122112114222aMFMF222222212123222221322222aabacxy椭圆方程为：对于双曲线，122222aMFMF222222213222221322222aabcaxy双曲线方程为：练习：1.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点12,FF在x轴上，离心率为22。过1F的直线L交C于,AB两点，且2ABFV的周长为16，那么C的方程为。答案：221168xy2.若方程222(2)(1)1kkxky表示焦点在y轴上的双曲线，则k(1,1).3.求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。求圆锥曲线的方程主要采用“待定系数法”。需要注意的是在求解此类问题时应遵循“先定位，再定量”的原则。注意：当“焦点所在轴不定”时，要有“分类讨论”意识，但也要能根据场合适当地“避免讨论”：如椭圆可设为221,(0,0)AxByAB等。3答案：292xy或243yx【类型二】圆锥曲线的几何性质例2．（1）若双曲线222xyk的焦距是6，则k。【解析】若0k，则双曲线的标准方程为2212xykk，所以2223,,22kkabkc，又3c，所以392k，6k；若0k，则双曲线的标准方程为2212yxkk，所以2223,,22kkakbc，又3c，所以392k，6k；综上可知，6k。（2）设双曲线12222byax的一条渐近线与抛物线21yx只有一个公共点，则双曲线的离心率等于。【解析】不妨取双曲线12222byax的一条渐近线为byxa，代入21yx并整理得20axbxa由题设知，2222450baca所以双曲线的离心率为5.cea根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的性质的基本程序是：先将方程化为标准方程，再寻找数量关系。特别地，在求圆锥曲线离心率的时候，常常需要列出一个关于,,abc的方程，然后消去b即可。4练习：（1）已知椭圆22:14xGy，求椭圆G的焦点坐标和离心率。【解析】由已知得,1,2ba所以.322bac所以椭圆G的焦点坐标为)0,3(),0,3(；离心率为.23ace（2）在椭圆22221(0)xyabab中,12,FF为其左、右焦点，以21FF为直径的圆与椭圆交于DCBA,,,四个点，若21,FF,DCBA,,,恰好为一个正六边形的六个顶点，则椭圆离心率为(C)A.21B.22C.31D.32【类型三】圆锥曲线的定义例3（1）已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．解设F(x，y)为轨迹上的任意一点，∵A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴长)，∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝122＋92－122＋(－5)2＝2，一般地，对于椭圆和双曲线，只要与两个焦点距离有关的问题就应该优先考虑它们的定义；而对于抛物线，利用其定义将抛物线上的点与焦点间的距离和该点到准线的距离进行互化是基本手段，要加强这方面的认识。5∴|FA|－|FB|＝214.由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下支上，∴点F的轨迹方程是y2－x248＝1(y≤－1)．（2）点P是抛物线xy42上一动点，则点P到点(0,1)A的距离与到直线1x的距离和的最小值是(D)（A）5（B）3（C）2（D）2练习：（1）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6，0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线x225－y211＝1的左支上，则sinA－sinCsinB＝________．56（2）抛物线24yx上一点M与该抛物线的焦点F的距离||4MF，则点M的横坐标x=3.（3）若椭圆122nymx与双曲线qpnmqypx,,,(122均为正数）有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则||||21PFPF等于pm检测1．已知点F1、F2分别是椭圆192522yx的左、右焦点，点P在此椭圆上，则△PF1F2的周长等于（B）A.20B.18C.16D.142．椭圆11522ymx的焦距等于2，则m的值是（B）A.5或3B.16或14C.5D.1663．已知椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且MF1→·MF2→＝0，则点M到y轴的距离为(B)A.233B.263C.33D.34.（2013海淀一模）抛物线24yx的焦点为F，点(,)Pxy为该抛物线上的动点，又点(1,0)A，则||||PFPA的最小值是(B)A.12B.22C.32D.2235．双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为221432xy，渐近线方程为22yx6．抛物线28xy的焦点坐标为)321,0(．7．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°．则椭圆离心率的范围是。解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·m＋n22＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．∴c2a2≥14，即e≥12.又0e1，∴e的取值范围是12，1【能力提升】8．已知点P是椭圆22195xy上一动点，F为椭圆的左焦点，定点(1,1)A，则PFPA的最小值是62．（提示：利用椭圆的定义）79.（1）方程22)1()3(yx-20xy在直角坐标系中表示的曲线是（C）A两条相交直线B椭圆C双曲线D抛物线（提示：移项平方转化即可，也可以利用双曲线的第二定义）（2）方程22)1()3(yx-2202xy在直角坐标系中表示的曲线是（D）A两条相交直线B椭圆C双曲线D抛物线（提示：利用抛物线的定义）（3）方程22)1()3(yx-20xy在直角坐标系中表示的曲线是（A）A两条相交直线B椭圆C双曲线D抛物线（提示：移项平方转化即可。注意：点(3,1)在直线20xy上，故不能使用双曲线的第二定义）纠错矫正总结反思