算法分析与复杂性理论实验报告背包问题

深圳大学实验报告课程名称：算法分析与复杂性理论实验名称：实验四动态规划学院：计算机与软件学院专业：软件工程报告人：文成学号：2150230509班级：学术型同组人：无指导教师：杨烜实验时间：2015/11/5——2015/11/18实验报告提交时间：2015/11/18教务处制一．实验目的与实验内容实验目的：（1）掌握动态规划算法设计思想。（2）掌握背包问题的动态规划解法。实验内容：1.编写背包问题的动态规划求解代码。2．背包容量为W，物品个数为n，随机产生n个物品的体积（物品的体积不可大于W）与价值，求解该实例的最优解。3.分别针对以下情况求解第一组：（n=10,W=10），（n=10,W=20），（n=10,W=30）第二组：（n=20,W=10），（n=20,W=20），（n=20,W=30）第三组：（n=30,W=10），（n=30,W=20），（n=30,W=30）4.画出三组实验的时间效率的折线图，其中x轴是W的值，y轴是所花费的时间，用不同的颜色表示不同n所花费的时间。二．实验步骤与结果背包问题的问题描述：给定n种物品和一个背包。物品i的重量是iw，其价值为iv，背包容量为C。问应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？背包问题的算法思想：考虑一个由前i个物品（1=i=n）定义的实例，物品的重量分别为w1，…，w2、价值分别为v1，…，vi，背包的承重量为j（1=j=w）。设v[i,j]为该实例的最优解的物品总价值，也就是说，是能够放进承重量为j的背包中的前i个物品中最有价值子集的总价值。可以把前i个物品中能够放进承重量为j的背包中的子集分成两个类别：包括第i个物品的子集和不包括第i个物品的子集。1.根据定义，在不包括第i个物品的子集中，最优子集的价值是V[i-1,j]。2.在包括第i个物品的子集中（因此，j-wi=0），最优子集是由该物品和前i-1个物品中能够放进承重量为j-wi的背包的最优子集组成。这种最优子集的总价值等于vi+V[i-1,j-wi]。因此，在前i个物品中最优解得总价值等于这两个价值中的最大值。当然，如果第i个物品不能放进背包，从前i个物品中选出的最优子集的总价值等于从前i-1个物品中选出的最优子集的总价值。这个结果导致了下面的这个递推关系式：初始条件：当i,j0时，V为了计算第i行第j列的单元格[i,j]，我们拿前一行同一列的单元格与vi加上前一行左边wi列的单元格的和做比较，计算出两者的较大值。相关代码;voidknapsack(intv[],intw[],int**m,intc,intn)//求最优值{intjmax=min(w[n]-1,c);for(intj=0;j=jmax;j++)m[n][j]=0;for(intjj=w[n];jj=c;jj++)m[n][jj]=v[n];for(inti=n-1;i1;i--)//递归部分{jmax=min(w[i]-1,c);for(intj=0;j=jmax;j++)m[i][j]=m[i+1][j];for(intjj=w[i];jj=c;jj++)m[i][jj]=max(m[i+1][jj],m[i+1][jj-w[i]]+v[i]);}m[1][c]=m[2][c];if(c=w[1])m[1][c]=max(m[1][c],m[2][c-w[1]]+v[1]);coutendl最优值：m[1][c]endl;coutendl;coutendl;}inttraceback(intx[],intw[],int**m,intc,intn)//求最优解{coutendl得到的一组最优解如下:endl;for(inti=1;in;i++){if(m[i][c]==m[i+1][c])x[i]=0;else{x[i]=1;c-=w[i];}}x[n]=(m[n][c])?1:0;for(inty=1;y=n;y++)coutx[y]\t;coutendl;returnx[n];}用课本上的一个例子进行测试：预期结果应该是物品1，2和4。价值为37美元。背包问题中，对于一个物品，只有放入背包和不放入背包两种状态，用0表示物品不放入背包，用1表示放入背包。上图的结果显示最优值为37,物品一、二、四放入包中，与预期结果相同。随机产生n个物品的重量与价值，求解该实例的最优解。产生随机数的代码如下：调用以上两个方法求解对n=20，w=20做测试V[i]和w[i]都是随机产生的，正确地得到了结果。注：（1）为了保证不使用特殊数字，采用随机生成数组的方法。for(inti=0;in;i++){a[i]=rand()%10;b[i]=rand()%10;}为了保证每次得到的数字不同，必须使用种子，给不同的初始值srand((unsigned)time(NULL));（2）用取系统时间的方法，来获取该算法的时间。由于time只能取到毫秒级别，当算法的时间太小时，用多次执行算法的方法来获取算法执行时间time_ttime1,time2;time1=time(NULL);for(i=0;i100;i++)////////////////////////////time2=time(NULL);cout(time2-time1)/100endl;三．实验分析分别针对以下情况求解：（先展示结果，时间太短，运行时间显示为零，稍后再做处理）第一组：（n=10,W=10），（n=10,W=20），（n=10,W=30）第二组：（n=20,W=10），（n=20,W=20），（n=20,W=30）第三组：（n=30,W=10），（n=30,W=20），（n=30,W=30）用取系统时间的方法，来获取该算法的时间。由于time只能取到毫秒级别，当算法的时间太小时，用多次执行算法的方法来获取算法执行时间time_ttime1,time2;time1=time(NULL);for(i=0;i1000000;i++)////////////////////////////time2=time(NULL);cout(time2-time1)/100000endl;如图所示，统计的时间为运行1000000次数后的时间以上统计的时间为运行1000000次数后的时间毫秒n=10n=20n=30w=100.00010.00020.0004w=200.00020.00040.0005w=300.00020.00050.0008三组实验的时间效率的折线图，其中x轴是W的值，y轴是所花费的时间，用不同的颜色表示不同n所花费的时间。00.00010.00020.00030.00040.00050.00060.00070.00080.0009w=10w=20w=30n=10n=20n=30结论：可以发现n的规模越大，所花费的时间越多。当n固定时，花费时间随着w的增大而增大。但n的影响力是最大的。因为动态规划将复杂的多阶段决策问题分解为一系列简单的、离散的单阶段决策问题,采用顺序求解方法,通过解一系列小问题达到求解整个问题目的。所以分解的小问题的规模，直接决定了算法的效率。四．实验心得本次实验虽然花费很大的心思，但确实让我动态规划的认识更加深刻。动态规划没有准确的数学表达式和定义精确的算法，它强调具体问题具体分析。这次实验结束后让我感觉到好的算法是多么的重要，当然合理利用算法也是不可忽视的。这次实验虽然花了很大精力，却收获累累。指导教师批阅意见：成绩评定：指导教师签字：年月日备注：注：1、报告内的项目或内容设置，可根据实际情况加以调整和补充。2、教师批改学生实验报告时间应在学生提交实验报告时间后10日内。