计算方法第4章复习(09)

1第4章插值与逼近一、考核知识点拉格朗日插值法及其余项、差商定义及性质、牛顿插值法及其余项、最小二乘法、矛盾方程组。二、考核要求：1．熟练掌握拉格朗日插值法及其余项(包括余项的证明:定理4,2,P89)。2．了解差商定义及性质，熟练掌握牛顿插值法及其余项。3．熟练掌握最小二乘法的基本思想，熟练掌握求线性三、重、难点分析例1已知,3)9(,2)4(ff用线性插值计算)5(f，并估计误差。解取插值节点x0=4,x1=9，两个插值基函数分别为)9(51)(1010xxxxxxl)4(51)(0101xxxxxxl故有565)4(53)9(52)()()(11001xxxyxlyxlxL2.25655)5()5(1Lf误差为)(2)95)(45(!2)()5(2ffR例2已知函数)(xf数值表为x123y137用二次牛顿插值公式求近似值)8.1(f。解作差商表：xy一阶差商二阶差商112323741代入二次牛顿插值公式(P93)得：21)2)(1()1(21)(22xxxxxXN故44.218.1)8.1()8.1()8.1(22Nf例3直线回归方程的建立对于两个相关变量，一个变量用x表示，另一个变量用y表示，如果通过试验或调查获得两个变量的n对观测值：（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn）如两个变量间有直线关系:y=a+bx(回归直线方程),用最小二乘估计法求参数a，b的估计.(最小二乘一次式(一元线性回归))解:(建立样本线性回归方程的方法)最小二乘法a，b应使回归估计值与实际观测值y的偏差平方和最小，即：总的离差回归平方和22ˆ()()iiiiQyyyabx最小,根据微积分学中的求极值的方法，令Q对a、b的一阶偏导数等于0，即：020211niiiiniiixbxaybQbxayaQ经整理，得关于a、b的正规方程组：niiiniiniiniiniiyxbxxayxbna112111解正规方程组，得222)())((/)(/))((xxyyxxnxxnyxxybxbya例4已知数表：x123y3.87.210求最小二乘一次式(一元线性回归)。解设最小一次式为xaay10，由正规方程组得：3n206iix14202iix32021iiy2.4820iiixy于是有法方程组2.4814621631010aaaa解法方程组得1.3*1a8.0*0a(即参数的估计)则最小二乘一次式(一元线性回归方程)为xy1.38.0例5求下列矛盾方程组的最小二乘解。2724212121xxxxxx解令2724213212211xxuxxuxxu23222121uuuxx）（221221221)2()72()4(xxxxxx由0)1662(20)1323(2212211xxxxxx得法方程组166213232121xxxx解得7231x7112x所以最小二乘解为7231x7112x例6已知插值基函数nkxlk,,1,0),(，证明：当nm时，mnkmkkxxxl0)(证明：令mxxf)(，4则有)()!1()()()1(0xnfxxlxnnkmkkm因为0)(,)1(nfnm则，所以mnkmkkxxxl0)(。例7拉格朗日插值余项的证明(定理4,2,P89)niiiniiniiniiniiyxbxxayxbna112111