计算方法综合测试试题四

综合测试试题四一、填空题（20分）1、我们用，（为重力加速度）来描述物体自由下落时距离与时间的关系。设自由落体在时间时的实际下落距离为，则就是。2、设一根铝棒在温度时的实际长度为，在时的实际长度为，用来表示铝棒在温度为时的长度计算值，并建立数学模型：，其中是实验观测到的常数：，则称为，是的。3、向量的各种范数分别为：＝、＝、＝。4、形如的求积公式至少具有次代数精度的充要条件是它是。二、（15分）已知测得某三角形的物体底边长为20米，高为5米，若已知米，米．试求其面积的绝对误差限与相对误差限。三、（10分）证明：用改进的欧拉方法可精确求解常微分方程初值问题：。四、（15分）用列主元消去法解方程组五、（10分）证明：方程在内有一根。若要求误差，估计用对分法至少需要对分多少次？六、（15分）求证满足条件的n次多项式存在且唯一。七、（15分）求一个三次多项式使其满足插值条件：；；；。答案二、（15分）解：因，由(1.7)式知其中米，米，米，米，于是绝对误差限（平方米），相对误差限。三、（10分）证明：，假设，而以代入，得即四、（15分）解：用增广矩阵的形式计算如下从而可知原方程组等价于下面的三角方程组可得原方程组的解为：。五、（10分）解：易见在上连续，，，且，，故在内有唯一根。为使误差，只需，即，所以只需对分17次就能达到给定的精度。六、（15分）证明：设，显然是由个实数所确定的．要使满足（2.1）式，实际上就是要求满足(2.2)这是一个关于的阶线性方程组．这样，要证明定理2.1的结论，就等价于证明方程组（2.2）存在唯一的解，显然后一问题的证明是比较容易的．由线性代数的知识可以知道，方程组（2.2）的系数行列式为著名的范德蒙（Vandermonde）行列式由于为互异节点，可知，所以方程组（2.2）存在唯一的解，从而定理2.1的结论成立．七、（15分）解：